选修42第二节

《选修42第二节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《选修42第二节（36页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第二节 线性变换与矩阵运算1.1.线性变换的基本性质线性变换的基本性质(1)(1)定理定理1:1:设设 t,kt,k是实数，则是实数，则A(tXA(tX1 1)=_)=_；AXAX1 1+AX+AX2 2=_=_；A(tXA(tX1 1+kX+kX2 2)=_.)=_.121212xxabA,X,X,cdyyt(AXt(AX1 1)A(XA(X1 1+X+X2 2)tAXtAX1 1+kAX+kAX2 2(2)(2)定理定理2 2：可逆的线性变换具有如下性质：可逆的线性变换具有如下性质将直线变成将直线变成_；将线段变成将线段变成_；将平行四边形变成将平行四边形变成_._.直线直线线段线段平行四

2、边形平行四边形2.2.复合变换与矩阵乘法复合变换与矩阵乘法(1)(1)复合变换：一般地，设复合变换：一般地，设A，B是平面上的两个变换，将平面是平面上的两个变换，将平面上每个点上每个点P P先用变换先用变换A变到变到PP，再用变换，再用变换B将将PP变到变到PP，则从，则从P P到到PP也是平面上的一个变换，称为也是平面上的一个变换，称为A，B的复合变换，也称为的复合变换，也称为B与与A的乘积，记作的乘积，记作_._.BA(2)(2)矩阵乘法法则：对任意两个矩阵乘法法则：对任意两个2 22 2矩阵矩阵A=A=和和B=B=，规定它们的乘积，规定它们的乘积BA=BA=矩阵的乘法不满足矩阵的乘法不满

3、足_律与律与_律，满足律，满足_律律.(3)(3)变换的乘法与矩阵的乘法都不满足变换的乘法与矩阵的乘法都不满足_._.1111abcd2222abcd212 12121212 12121a ab ca bb d.c ad cc bd d交换交换消去消去结合结合交换律交换律 纯量矩阵纯量矩阵零矩阵零矩阵单位方阵单位方阵对角阵对角阵_k00k00001001a00b(4)(4)特殊矩阵特殊矩阵【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：矩阵的乘法与实数的乘法是否完全相同？思考：矩阵的乘法与实数的乘法是否完全相同？提示：提示：不完全相同不完全相同.矩阵的乘法与实数的乘法相比较，最重要矩阵的乘法与实数的

4、乘法相比较，最重要的差别是，矩阵的乘法不满足交换律和消去律的差别是，矩阵的乘法不满足交换律和消去律.(2)(2)已知梯形已知梯形ABCD,ABCD,其中其中A(0,0),B(3,0),C(1,2),A(0,0),B(3,0),C(1,2),D(2,2),D(2,2),先将梯形作关于先将梯形作关于x x轴的反射变换轴的反射变换,再将所得图形绕再将所得图形绕原点逆时针旋转原点逆时针旋转9090,则连续两次变换所对应的变换矩阵则连续两次变换所对应的变换矩阵M=_,=_,它的几何意义是它的几何意义是_._.【解析】【解析】由条件得由条件得 这个复合变换的几何意这个复合变换的几何意义表示将原图形沿直线义

5、表示将原图形沿直线y=xy=x翻折变换翻折变换.答案：答案：表示将原图形沿直线表示将原图形沿直线y=xy=x翻折变换翻折变换cos90sin901001,sin90cos900110M0110(3)=_.(3)=_.【解析】【解析】答案：答案：1243342112431 42 21 32 185.34213 44 23 34 12013 852013(4)(4)设设 若若ABABBABA，则，则k k的值为的值为_._.【解析】【解析】由由ABABBABA，得，得k k3.3.答案：答案：3 31242AB34k7，4 2k161016ABBA12 4k34k212k28，3.3.逆变换与逆矩

6、阵逆变换与逆矩阵(1)(1)若矩阵若矩阵A A，B B满足满足_,_,则称则称A A，B B是可逆矩阵，是可逆矩阵，B B是是A A的的逆，记为逆，记为B=_B=_，反过来，反过来A=_.A=_.(2)(2)定理定理1 1：设：设A=,A=,记记=ad-bc,=ad-bc,则则A A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是_；AB=BA=EAB=BA=EA A-1-1B B-1-1abcd00当当00时，时，A A-1-1=ad-bc=ad-bc称为矩阵称为矩阵A A的行列式，的行列式，记作记作 ,且且 =_.=_.矩阵矩阵A A的行列式记作的行列式记作|A|A|，也记，也记作作detA.de

7、tA.(3)(3)定理定理2:2:如果如果_，则，则ABAB可逆，且可逆，且(AB)(AB)-1-1=_.=_.4.4.逆矩阵与二元一次方程组逆矩阵与二元一次方程组记记 若若A A可逆，则方程可逆，则方程AX=BAX=B的解的解X=_.X=_.abcdabcdad-bcad-bcA,BA,B都可逆都可逆abxeA,X,B,cdyf A A-1-1B BB B-1-1A A-1-1db.ca【即时应用】【即时应用】根据变换的几何意义，矩阵根据变换的几何意义，矩阵A=A=的逆矩阵为的逆矩阵为_._.【解析】【解析】矩阵矩阵A A表示的变换是绕原点逆时针旋转表示的变换是绕原点逆时针旋转 ，其逆变换，

8、其逆变换是绕原点逆时针旋转是绕原点逆时针旋转-，它的矩阵就是所求的逆矩阵，即，它的矩阵就是所求的逆矩阵，即132231223311322A.3122答案：答案：13223122热点考向热点考向 1 1 矩阵乘法及其应用矩阵乘法及其应用【方法点睛】【方法点睛】关于矩阵的乘法运算注意的问题关于矩阵的乘法运算注意的问题(1)(1)矩阵的乘法要严格按照乘法法则进行，特别注意位置的对应矩阵的乘法要严格按照乘法法则进行，特别注意位置的对应要准确要准确.(2)(2)对于某一向量进行多次矩阵变换时，通常先进行矩阵乘法运对于某一向量进行多次矩阵变换时，通常先进行矩阵乘法运算，使多次变换转化为一次变换，再利用矩阵

9、与向量的乘法运算，使多次变换转化为一次变换，再利用矩阵与向量的乘法运算求向量算求向量.【例【例1 1】已知矩阵已知矩阵A=A=，向量，向量 求向量求向量 ，使得，使得【解题指南】【解题指南】本题是已知向量本题是已知向量 进行两次矩阵变换进行两次矩阵变换A A后后,变为向变为向量量 ,故先进行矩阵的乘法故先进行矩阵的乘法,得得A A2 2,再利用待定系数法求向量再利用待定系数法求向量 .112112 ，2A.【规范解答】【规范解答】因因 故设故设 =由由 得：得：2111132A,212143xy，32x143y2 ，3x2y1x11,.4x3y2y22 2A.【反思【反思感悟】感悟】1.1.解

10、答本题的关键是计算解答本题的关键是计算A A2 2.2.2.矩阵的乘法是矩阵的基本运算，在解题中作为基础工具广泛矩阵的乘法是矩阵的基本运算，在解题中作为基础工具广泛应用于矩阵相关知识中应用于矩阵相关知识中.【变式训练】【变式训练】若若 试求试求x x的值的值.【解析】【解析】3x=1,3x=1,31x110101，31x1x1x1x0101010112x1x13x11,010101011x.3【变式备选】【变式备选】设数列设数列aan n、bbn n 满足满足a an n1 12a2an n3b3bn n，b bn n1 12b2bn n，且满足，且满足 求二阶矩阵求二阶矩阵M.M.【解析】【

11、解析】依题设有依题设有令令A A ，则，则M MA A4 4，n4nn4naaMbb，n1nn1naa23b02b，230222422323412A.MAA0202044124121696.0404016热点考向热点考向 2 2 矩阵的乘法与线性变换矩阵的乘法与线性变换【方法点睛】【方法点睛】1.1.矩阵乘法与复合变换矩阵乘法与复合变换矩阵矩阵MNMN对应的变换是一个复合变换，变换的顺序是先进行右边对应的变换是一个复合变换，变换的顺序是先进行右边的矩阵的矩阵N N对应的变换，再进行左边的矩阵对应的变换，再进行左边的矩阵M M对应的变换，注意变对应的变换，注意变换顺序不能颠倒换顺序不能颠倒.2.

12、2.矩阵的乘法在线性变换中的应用矩阵的乘法在线性变换中的应用当对曲线连续进行变换时，可以先进行矩阵的乘法运算，从而当对曲线连续进行变换时，可以先进行矩阵的乘法运算，从而简化变换过程简化变换过程.【例【例2 2】(2012(2012莆田模拟莆田模拟)直线直线l1 1:x=-4:x=-4先经过矩阵先经过矩阵A=A=作作用，再经过矩阵用，再经过矩阵B=B=作用，变为直线作用，变为直线l2 2:2x-y=4:2x-y=4，求矩阵，求矩阵A.A.【解题指南】【解题指南】本题已知变换前后的直线本题已知变换前后的直线l1 1、l2 2，矩阵，矩阵B B，故可先表，故可先表示出示出BABA，再利用待定系数法列

13、方程组求，再利用待定系数法列方程组求m m，n.n.4mn41101【规范解答】【规范解答】设设C=BA=C=BA=则直线则直线l1 1上的点上的点(x,y)(x,y)经矩经矩阵阵C C变换为直线变换为直线l2 2上的点上的点(x,y)(x,y)，则，则x=(n+4)x+(m-4)y,x=(n+4)x+(m-4)y,y=-nx+4yy=-nx+4y，代入，代入2x-y=42x-y=4，得，得(3n+8)x+(2m-12)y=4(3n+8)x+(2m-12)y=4与与l1 1:x=-4:x=-4比较系数得，比较系数得，m=6,n=-3,A=m=6,n=-3,A=n4m4n4，46.34【互动探究

14、】【互动探究】本题若先经过矩阵本题若先经过矩阵B B作用，再经过矩阵作用，再经过矩阵A A作用，其作用，其他条件不变，试求矩阵他条件不变，试求矩阵A.A.【解析】【解析】设设C=AB=C=AB=则直线则直线l1 1上的点上的点(x,y)(x,y)经过矩阵经过矩阵C C变换，变为直线变换，变为直线l2 2上的点上的点(x,y)(x,y)，则则4m1144mn401nn4，x44mxynn4y，x4x4m yynxn4 y ，代入代入2x-y=42x-y=4，得，得2 24x+(4-m)y4x+(4-m)y-nx+(n+4)nx+(n+4)y y=4=4，即即(8-n)x+(4-2m-n)y=4(

15、8-n)x+(4-2m-n)y=4，与与l1 1：x=-4x=-4比较系数得：比较系数得：解得解得:n=9:n=9，8n142mn0，5m,2 54A.294【反思【反思感悟】感悟】1.1.矩阵的乘法不满足交换律即矩阵的乘法不满足交换律即ABBA.ABBA.2.2.若已知变换前后的曲线方程，求变换矩阵，一般求出变换前若已知变换前后的曲线方程，求变换矩阵，一般求出变换前或后的曲线方程，再比较系数列方程组求解或后的曲线方程，再比较系数列方程组求解.热点考向热点考向 3 3 逆矩阵的求法及其应用逆矩阵的求法及其应用【方法点睛】【方法点睛】1.1.逆矩阵的求法逆矩阵的求法(1)(1)定义法：利用定义法

16、：利用AAAA-1-1=E,=E,待定系数法求待定系数法求A A-1-1；(2)(2)行列式法：利用公式行列式法：利用公式A A-1-1=dbca；(3)(3)逆变换法：找出矩阵逆变换法：找出矩阵A A对应的变换的逆变换，从变换的角度对应的变换的逆变换，从变换的角度求求A A-1-1.2.2.逆矩阵在线性变换中的应用逆矩阵在线性变换中的应用逆矩阵作为矩阵在线性变换中可以对曲线进行变换，而逆矩阵逆矩阵作为矩阵在线性变换中可以对曲线进行变换，而逆矩阵又对应特殊的变换又对应特殊的变换逆变换，因此注意逆变换在解题中的应逆变换，因此注意逆变换在解题中的应用用.【例【例3 3】(2012(2012福建高考

17、福建高考)设曲线设曲线2x2x2 2+2xy+y+2xy+y2 2=1=1在矩阵在矩阵A=A=(a (a0)0)对应的变换作用下得到的曲线为对应的变换作用下得到的曲线为x x2 2+y+y2 2=1=1(1)(1)求实数求实数a,ba,b的值的值.(2)(2)求求A A2 2的逆矩阵的逆矩阵a0b1【规范解答】【规范解答】(1)(1)设曲线设曲线2x2x2 2+2xy+y+2xy+y2 2=1=1上任一点上任一点P(x,y)P(x,y)在矩阵在矩阵A A对应变换下的象是对应变换下的象是P(x,y)P(x,y)，则则 得得又点又点P(x,y)P(x,y)在在x x2 2+y+y2 2=1=1上，

18、上，所以所以xx2 2+y+y2 2=1,=1,即即a a2 2x x2 2+(bx+y)+(bx+y)2 2=1.=1.整理得整理得(a(a2 2+b+b2 2)x)x2 2+2bxy+y+2bxy+y2 2=1.=1.依题意得依题意得xa0 xaxyb1ybxyxax,ybxy.22ab2,2b2,解得解得 或或因为因为a a0 0，所以，所以(2)(2)由由(1)(1)知，知，A=,A=,A A2 2=,=,所以所以|A|A2 2|=1,(A|=1,(A2 2)-1-1=.=.a1,b1a1,b1.a1,b1.10111010101111211021【变式训练】【变式训练】已知矩阵已知矩

19、阵A=A=将直线将直线l：x+y-1=0 x+y-1=0变换成直变换成直线线l.(1)(1)求直线求直线l的方程；的方程；(2)(2)判断矩阵判断矩阵A A是否可逆？若可逆，求出矩阵是否可逆？若可逆，求出矩阵A A的逆矩阵的逆矩阵A A-1-1；若不；若不可逆，请说明理由可逆，请说明理由.2113【解析】【解析】(1)(1)在直线在直线l上任取一点上任取一点P(xP(x0 0,y,y0 0)，设它在矩阵，设它在矩阵A=A=对应的变换作用下变为对应的变换作用下变为Q(x,y).Q(x,y).，即，即又又点点P(xP(x0 0,y,y0 0)在直线在直线l:x+y-1=0:x+y-1=0上上,即直线即直线l的方程为的方程为4x+y-7=0.4x+y-7=0.211300 x21x,13yy0000 x2xyyx3y 003xyx7,x2yy73xyx2y10,77(2)0,(2)0,矩阵矩阵A A可逆可逆.设设 21-1311ab10AAAcd01，2ac12bd0a3c0b3d1 ，3a71b71c72d7 解得，13177A.1277