《同济大学第五版高等数学下D122可分离课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学第五版高等数学下D122可分离课件（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、同济大学第五版高等数学下D122可分离转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)()(22 第十二章 同济大学第五版高等数学下D122可分离分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y(x)是方程的解,xxfxxxgd)(d)()(两边积分,得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式)(yG)(xF当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)
2、是的解.则有称为方程的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离例例1.求微分方程yxxy23dd的通解.解解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离例例2.解初值问题0d)1(d
3、2yxxyx解解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C=1,112xy(C 为任意常数)故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离例例3.求下述微分方程的通解:)1(sin2yxy解解:令,1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx)1tan(C 为任意常数)所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe(C
4、 0 )解法解法 2,yxu令yu1则故有ueu1积分Cxeuu1dCxeuu)1(ln(C 为任意常数)所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离例例4.子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.解解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件,得0MC 故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页
5、 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离例例5.成正比,求解解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分:得Cmtvkgmk)(ln1)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)1(tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgv t 足够大时机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离cm100例例6.有高 1m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,.cm12S开始时容
6、器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度 h 随时间 t 的变r解解:由水力学知,水从孔口流出的流量为tVQddhgS262.0即thgVd262.0d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在d,ttt内水面高度由 h 降到),0d(dhhhhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离cm100rhhdhho对应下降体积hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解问题:hhhthgd)200(d262.021000th将方程分离变量:hhhgtd)200(262.0d2321机动
7、目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离gt262.0两端积分,得g262.0hhhd)200(2321233400(h)5225hC利用初始条件,得5101514262.0gC因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:)310107(265.4252335hhgt1000thcm100rhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分
8、;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P263,5(2)2)根据物理规律列方程(如:例4,例 5)3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:0d)(d)()1(22yyyxxy
9、xx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln机动 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离作业P 269 1(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6第三节 目录 上页 下页 返回 结束 同济大学第五版高等数学下D122可分离,0)1,0(,1FCF备用题备用题 已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解解:因积分与路径无关,故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即因此有dcosdsin),(yxxxyyxFL0),(yxF.)(xfy xyFFyxtanxyytan10 xyxycos1xsecsin),(cos),(xyyxFyxyxFxy机动 目录 上页 下页 返回 结束
同济大学第五版高等数学下D122可分离课件
