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1、同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点定义定义;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内内的的图图形形是是凹凹的的在在那那末末称称恒恒有有两两点点内内任任意意如如果果对对内内连连续续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()
2、(,2)()()2(,),(212121内的图形是凸的内的图形是凸的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上上的的图
3、图形形是是凸凸的的在在则则上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在二二阶阶导导数数内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法连连续续曲曲
4、线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx内内存存在在二二阶阶导导数数,则则点点 )(,00 xfx是是拐拐点点的的必必要要条条件件是是0)(0 xf.1.1.定义定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.2.拐点的求法拐点的求法证证,)(二二阶阶可可导导xf,)(存在且连续存在且连续xf 同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点,)()(0两两边边变变号号在在则则xxfxf ,)(,(00是拐点是拐点又又xfx,)(0取得极值取得极值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极
5、值的由可导函数取得极值的.0)(xf方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸
6、的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32(同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点).,32,32,0,0,(凹凹凸凸区区间间为为同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2,0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43(f,0 2)47(f,0 同
7、济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2,0).0,47(),0,43(.)()(,(,)(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意:同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,(y内内但但在在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0,0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy
8、 同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点四、小结四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点思考题思考题设设)(xf在在),(ba内内二二阶阶可可导导，且且0)(0 xf，其其中中),(0bax ，则则,(0 x)(0 xf是是否否一一定定为为曲曲线线)(xf的的拐拐点点？举举例例说说明明.同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条
9、件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不不一一定定是是拐拐点点.例例4)(xxf),(x0)0(f但但)0,0(并并不不是是曲曲线线)(xf的的拐拐点点.同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点一、一、填空题：填空题：1 1、若函数若函数)(xfy 在在（ba,）可导，则曲线）可导，则曲线)(xf在在(ba,)内取凹的充要条件是内取凹的充要条件是_._.2 2、曲线上曲线上_的点，称作曲线的拐点的点，称作曲线的拐点.3 3、曲线曲线)1ln(2xy 的拐点为的拐点为_._.4 4、曲线曲线)1ln(xy 拐点为拐点为_._.二、二、求曲线求曲线xeyarctan 的拐点及凹凸区间的拐
10、点及凹凸区间.三、三、利用函数图形的凹凸性，证明不等式：利用函数图形的凹凸性，证明不等式：22yxyxeee )(yx .四、求曲线四、求曲线 2sin2cot2ayax的拐点的拐点.练练 习习 题题同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点五五、试试证证明明曲曲线线112 xxy有有三三个个拐拐点点位位于于同同一一直直线线上上 .六六、问问a及及b为为何何值值时时，点点(1 1,3 3)为为曲曲线线23bxaxy 的的拐拐点点？七七、试试决决定定22)3(xky中中k的的值值,使使曲曲线线的的拐拐点点处处的的法法线线通通过过原原点点 .同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点一、一、1 1、),()(baxf在在 内递增或内递增或0)(),(xfbax；2 2、凹凸部分的分界点；、凹凸部分的分界点；3 3、2,(),2),2,2(2e；4 4、)2ln,1(),2ln,1(.二、拐点二、拐点),21(21arctane,在在21,(内是凹的内是凹的,在在),21内是凸的内是凸的.四、拐点四、拐点)23,332(aa及及)23,332(aa.五、五、).)32(431,32(),)32(431,32(),1,1(练习题答案练习题答案同济大学高等数学(第四版)37节曲线的凹凸性与拐点六六、29,23 ba.七七、82 k.
同济大学高等数学第四版37节曲线的凹凸性与拐点课件
