拉普拉斯变换的性质.ppt

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1、1 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 2.2 Laplace 变换的性质 一、线性性质与相似性质 二、 延迟性质与位移性质 三、 微分性质 四、积分性质 五、卷积与卷积定理 2 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 对于涉及到的一些运算 (如 求导 、 积分 、 极限 及 求和 等 ) 的次序交换问题，均不另作说明。 所涉及到的函数的 Laplace )(sF )(sG .)( tg 在下面给出的基本性质中， 且 ,)( tf 变换均假定存在，它们的 增长指数 均假定为 c 。 2.2 Laplace 变换的性质 3 第

2、二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 证明 (略 ) 性质 一、线性性质与相似性质 1. 线性性质 P66 P66 4 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 ,)5c os( c o s213s in2s in)( tttttf 解 .)25()1( 12 22 ss s 25121 22 s ss s )5c o sc o s(21)( tttf 5 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 解 ,1121)( sssF )()( 1 sFtf 211 s 11 s 2( ) ( ).tte e H

3、 t 6 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 0 d)(1 e xxfa xastax令 .1 asFa 0 d)()( e ttaftaf ts证明 性质 一、线性性质与相似性质 2. 相似性质 (尺度性质 ) P66 7 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 二、 延迟性质与位移性质 1. 延迟性质 则对任一非负实数 有 设当 t 0 时 ,0)( tf )( tf .)(e sFs 性质 .)(e sFs 0 d)( ee xxf sxs tx令 ttf ts d)( e 证明 0 d)()( e ttftf ts P

4、73 P73 8 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 二、 延迟性质与位移性质 1. 延迟性质 则对任一非负实数 有 设当 t 0 时 ,0)( tf )( tf .)(e sFs 性质 可见，在利用本性质 求逆变换时 应为： 因此，本性质也可以 直接表 述 为： ( ) ( ) f t H t .)(e sFs ( ) ( ) .f t H t )( e1 sFs 注意 在延迟性质中专门强调了当 t 0 时 这一 约定 。 0)( tf 9 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 已知 ,112 ssint解 (1) (2)

5、 112s .)( s 根据 延迟性质 有 )2sin( t cos t 112s .2e s sin( ) ( ) 22 t H t sin ( ) ( )22 t H t sin( ) ( )2t H t (2) 先平移再充零 (1) 先充零再平移 求 si n( ) ( ) 22t H t例 和 sin( ).2t 10 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 .2,0 ,2,2e t tt 根据 延迟性质 有 设 求 ,11)( 2e sssF 例 .)(1 sF 111 s ( ),te H t解 由于 2 ( 2)te H t)(1 sF 11 第

6、二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 证明 (略 ) .1)1( 12 s scose tt例如 .1)1( 1 2 ssine tt 性质 2. 位移性质 P73 二、 延迟性质与位移性质 12 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 三、 微分性质 )( tf .)0()( fssF 性质 ,d)()( 00 ee ttfstf tsts 证明 0 d)()( e ttftf ts 0 )de tfts 由 ,|)(| e tcMtf ,0)(lim e tst tf因此当 时，有 cs Re ,|)(| )Re(ee tcst

7、s Mtf 有 )( tf .)0()( fssF 即得 1. 导数的象函数 P66 P66-67 13 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 三、 微分性质 )( tf ;)0()( fssF 1. 导数的象函数 性质 其中， 应理 解为 )0()(kf .)(lim )(0 tf kt )( )( tf n .)0()0()0()( )1(21 nnnn ffsfssFs 一般地，有 Laplace 变换的这一性质非常重要，可 用来求解微分 方程 (组 )的初值问题。 2.4 将专门介绍 ） （ 2 14 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Lap

8、lace 变换的性质 .!1 msm 解 利用导数的象函数性质来求解本题 以及 有 !)()( mtf m 0)0()0()0( )1( mfff 由 )0()0()0()( )1(21 mmmm ffsfssFs )( )( tf m !m 故有 mt !1 ms m )( tfs m , mm ts 1!msm P67例 2.8 15 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 三、 微分性质 2. 象函数的导数 性质 )(sF ;)( tft 一般地，有 )()( sF n .)()1( tft nn 由 有 证明 0 d)()( e ttfsF ts 0 d

9、)(dd)( e ttfssF ts 0 d)( ttfs ts 0 d)( e ttft ts ;)( tft 同理可得 )()( sF n .)()1( tft nn P67 16 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 .)( 2 222 s s 根据 象函数的导数 性质有 sin t ,22 s解 已知 22dd sssin tt 17 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 .)4( )3224(2 323 26 ss ss tt 22cos 21 ,)2cos1(2 tt 解 根据 线性性质 以及 象函数的导数 性质有

10、 ,22c o s 22 s st已知 ,11 s cos 22 tt 21dd21 2222 s sss 18 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 .4)3( )3(4 22 s s 根据 位移性质 有 解 ,222s in 22 st已知 再由 象函数的导数 性质有 2sin 3e tt ,4)3( 2 2 s 4)3( 2dd 2ss2sin 3e tt t 19 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 P69-70 四、积分性质 1. 积分的象函数 d)( 0t ttf .)(1 sFs性质 证明 令 ,d)()( 0

11、 t ttftg 由 微分性质 有 则 且 )()( tfg ,0)0( g )( tg )0()( gsGs ,)(sGs ssG 1)( )( tg ,)(1 tfs d)( 0t ttf .)(1 sFs即得 P69 20 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 四、积分性质 d)( 0t ttf ;)(1 sFs 1. 积分的象函数 性质 一般地，有 21 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 ,)4( 4 22 s s .)4( 4 22 s 再由 积分性质 得 根据 微分性质 有 解 ,222s in 22 st已知

12、 22 22dd2s in sstt s1 d2sin 0t ttt 22 )4( 4s s 22 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 一般地，有 ssFss n s ss d)(dd 次 .)( nt tf 四、积分性质 2. 象函数的积分 s ssF d)( .)( t tf性质 证明 (略 ) P70 23 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 .arccot s 根据 象函数的积分 性质有 ,11s in 2 st已知 解 sint t s ss d1 1 2 即 .a r c c o tds in0 e sst t

13、 st 在上式中，如果令 s = 0 ，则有 .2ds in0 st t 启示 在 Laplace 变换及其性质中，如果取 s 为 某些特定的值， 就可以用来求一些函数的广 义积分。 利用拉氏变换 计算广义积分 P70 例 2-11 24 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 部分 基本性质汇总 )()( tgbtfa ;)()( sGbsFa )()(1 sGbsFa .)()( tgbtfa 线性性质 )( taf .1 asFa相似性质 延迟性质 )()( tHtf .)(e sFs .)()( tHtf )( e1 sFs 25 第 二 章 拉 普 拉

14、 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 微分性 质 )( tf .)0()( fssF )( )( tf n .)0()0()0()( )1(21 nnnn ffsfssFs )(sF ;)( tft )()( sF n .)()1( tft nn 积分性质 d)( 0t ttf .)(1 sFs s ssF d)( .)( t tf 部分 基本性质汇总 )(e tfta .)( asF 位移性质 26 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 五、卷积与卷积定理 1. 卷积 当 时， 如果函数满足： 0t ,0)()( 21 tftf )()( 21

15、tftf .d)()( 21 tff 按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指 则有 )()( 21 tftf .)0(,d)()(0 21 ttfft 显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律 以及分配律等性质。 P76 27 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 tt 0)c os ( t t d)c os ( 0 .sin tt )()( 21 tftf tt d)s in (0 解 ttt 0)s in ( t t0 )c os (d 28 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 五、卷积与卷积定理 2. 卷积定

16、理 )()( 21 tftf .)()( 21 sFsF 定理 0 21 d)()( e ttftf ts 0 0 21 dd)()( e ttff tst D ts ttff dd)()( e21 证明 )()( 21 tftf 左边 0 21 dd)()( e ttff ts t D t t (跳过 ?) 29 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 )()( 21 tftf .)()( 21 sFsF 定理 五、卷积与卷积定理 2. 卷积定理 证明 左边 0 21 dd)()( e ttff ts 令 tx xxf xss d)( 0 2 ee ,)(2e

17、 sFs 记为 0 1 d)( IfI ttfI ts d)( e2 其中 左边 )(d)( 20 1 e sFf s )()( 21 sFsF 右边。 30 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 tt d)c os (c os0 ttt d)2c o s ( c o s21 0 .)s inc o s(21 ttt 故有 ,11)( 22 s ss ssF cos t 2 ,1ss 解 由于 tt coscos )()( 1 sFtf 31 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 利用 Laplace 变换计算广义积分 附：

18、;d)()( 0 e ttfsF ts 在 Laplace 变换及其性质中，如果取 s 为某些 特定 的值， 就可以用来求一些函数的广 义积分。 )(sF 0 ;d)( e ttft ts s ssF d)( 0 .d)( e tt tf ts ;d)()0( 0 ttfF )0(F 0 ;d)( ttft 0 d)( ssF 0 .d)( tt tf 注意在 使用这些公式时必须谨慎，必要 时需要事先考察 一下 s 的取值范围以及广义积 分的存在性。 P71 注 2 32 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 2cos t由 解 0 d2c ose ttts

19、,42 s s 得 .133 0 3 d2c ose ttt 42 s s 3ss 利用 Laplace 变换计算广义积分 附： 33 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 cos1 t已知 解 11 2 s ss ,)1( 12 ss 由 积分性质 有 cos1 t t ssss d)1( 12 1ln2 1 2 2 s s s , 1ln 2 1 2 2 s s .2ln211s s 0 d c o s1 e tt t t22 1ln21 ss 即得 (返回 ) 利用 Laplace 变换计算广义积分 附： 34 第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换 2.2 Laplace 变换的性质 P102-103 5、 (1)(3)(4) 6、 (1)(3)(5) 7、 (1) 8、 (1)(4) 9、 (1) 11、 (2) 作业：