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1、信号与系统 第 2-1页 电子教案 2.3 卷积积分 2.3 卷积积分 一、卷积积分 1. 已知定义在区间（ ， ）上的两个函数 f1(t)和 f2(t)，则定义积分 dtfftf )()()( 21 为 f1(t)与 f2(t)的 卷积积分 ，简称 卷积 ；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意 ：积分是在虚设的变量 下进行的， 为积分 变量， t为参变量。结果仍为 t 的函数。 信号与系统 第 2-2页 电子教案 2.3 卷积积分 2. 信号的时域分解与卷积积分 L T I 系统 零状态 yZS (t) f (t) 根据 h(t)的定义： (t) h(t) 由时不变性： (t -)
2、 h(t -) f ()(t -) 由齐次性： f () h(t -) 由叠加性： d)()( tf d)()( thf f (t) yzs(t) 信号与系统 第 2-3页 电子教案 ( ) ( ) ( ) dzsy t f h t L T I 系统 零状态 yZS (t) f (t) LTI系统的零状态响应： ( ) ( ) * ( )zsy t f t h t 信号与系统 第 2-4页 电子教案 2.3 卷积积分 例 1. f (t) = e t,（ -t)， h(t) = (6e-2t 1)(t)， 求 yzs(t)。 ( ) ( ) * ( ) e tzsy t f t h t 例 2
3、. f (t) = 3e -2t (t),（ -t)， h(t) = 2(t)， 求 yzs(t)。 2( ) ( ) * ( ) 3 ( 1 e ) ( )tzsy t f t h t t 两因果信号的卷积： 12 120 ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t f t f t t f t t f f t d t 信号与系统 第 2-5页 电子教案 2.3 卷积积分 二、卷积的图解法 dtfftftf )()()(*)( 2121 卷积过程可分解为 四步 ： （ 1） 换元 ： t换为 得 f1()， f2() （ 2） 反转平移 ：由 f2()反转 f2()
4、; 左右移动 f2(t-)，找相同上下限公共部分。 （ 3） 乘积 ： f1() f2(t-) （ 4） 积分 ： 从 上限到下限对乘积项积分。 注意： t为参变量。 信号与系统 第 2-6页 电子教案 2.3 卷积积分 图解法 一般比较繁琐，但 若只求某一时刻卷积值时 还是比较方便的。 确定积 分的上下限是关键。 例 ： f1(t)、 f2(t)如图所示，已知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求 f(2) =？ t f 2 ( t ) -1 1 3 1 -1 f 1 ( t ) t2-2 2 f1(-) f 1(2-) f 1 (2 - ) f 2 ( ) 2 2 -2 解 ： d)
5、2()()2( 12 fff （ 1）换元 （ 2） f1()得 f1() （ 3） f1()右移 2得 f1(2) （ 4） f1(2)乘 f2() （ 5）积分，得 f(2) = 0（面积为 0） 信号与系统 第 2-7页 电子教案 2.4 卷积积分的性质 2.4 卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下 面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数 满足乘法的三律： 1. 交换律 ： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律 ： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)*
6、f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律 ： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t) 信号与系统 第 2-8页 电子教案 2.4 卷积积分的性质 二、函数与冲激函数的卷积 1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) f(t)*(t t0) = f(t t0) 2. f(t)*(t) = f(t) f(t)*(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*(t) t ftf d)(d)()( (t) *(t) = t(t) 信号与系统 第 2-9页 电子教案 4. 卷积的时移特性 若 f(t) = f1(t)* f2(t)，
7、 则 f1(t t1)* f2(t t2) = f(t t1 t2) 信号与系统 第 2-10页 电子教案 2.4 卷积积分的性质 三、卷积的微分与积分 1. 1 2 1 2 1 2( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( )f t f t f t f t f t f t 2. ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 2 1 2 1 2( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( )f t f t f t f t f t f t () ( ) ( )1 2 1 2 1 2( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( )n nnf t f t f t f t f t f t 信号与系统 第 2-11页 电子教案 3. 在 f1(-) = 0 f2(-) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = f1(1)(t) *f2(t) 信号与系统 第 2-12页 电子教案 2.4 卷积积分的性质 求卷积是本章的重点与难点。 求解 卷积的方法 可归纳为： （ 1） 利用定义式，直接进行积分 。对于容易求积分的 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （ 2） 图解法 。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （ 3） 利用性质 。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
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