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1、第二章 信号的复数表示 2.1 欧拉公式 欧拉公式 欧拉公式，定义： wtjwte j w t s i nc o s * )(s i nc o s )s i n ()c o s ( j w t j w t ewtjwt wtjwte 注 ： * X 表示 X 的 共 轭 2.2 信号的复数表示 1、复数形式 设 C 为 复数 ， a 、 b 为 实 数 。 复数 jbaC , a 为实部， b 为虚部 根据欧拉公式，可以有下列表示形式： 复数 j eCC | ，其中 22 | baC 为复数的模， abtg / ， 为复数的辐角， 验证： aaba r c t gbaC )/(c o s )c
2、 o s (| 22 baba r c t gbaC )/(s i n )s i n (| 22 2、复平面形式 可以在复平面中表示复数 实轴 虚轴 复数 C可表示成一个矢量 |C| a b 由图可以看出，矢量的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角 2.3 复数形式的运算 1、复数的数乘和共轭 数乘 ： k 为实数 j kbkakC 0| 0| )( kekC kekC kC j j 共 轭 ： jbaC * j eCC * C kC 虚轴 j 实轴 C 虚轴 j 实轴 C* 做复数的数乘运算时，复数的实部和虚部均要与乘数 相乘并作为新复数的实部和虚部。 换一种说法，做复数的数乘运算时
3、，复数的模要与乘 数的绝对值相乘，作为新复数的模，而辐角的值要依 据乘数的符号确定，如乘数为非负实数，则辐角不变， 否则辐角要偏移 180度。 做复数的共轭运算时，复数的实部不变而虚部取负。 换一种说法，做复数的共轭运算时，复数的模不变， 而辐角取负。 2、复数的加法和乘法 1 C 、 2 C 为 复数 ， 111 jbaC ， 222 jbaC 1 | 11 j eCC ， 2 | 22 j eCC 复数加法： )()( 212121 bbjaaCCC 复数乘法： 21 2 21212121 bbjajbbjaaaCCD ， 复数中定义 1 2 j ，故 )()( 21212121 abba
4、jbbaaD )( 21 21 21 21 21 21 21 j jj jj eCC eeCC eCeC CCD 换一种形式表示复数的乘法 复数加法 复数乘法 实轴 虚轴 j C 1 C 2 C 1 +C 2 实轴 虚轴 j C 1 C 2 C 1 C 2 复数的加法和乘法在复平面内的表示 两复数相加等于两复数的实部和虚部分别相加 并作为新复数的实部和虚部。 两复数相乘等于两复数的模相乘，作为新复数 的模，两复数的辐角相加作为新复数的辐角。 3、举例 31 1 jC ， jC 1 2 所以 又 有 ： 3 1 2 j eC ， 4 2 2 j eC )13(2)13()11( 21 jjCC 33 1 422)32(22 jj eejC )32()31(3331 21 jjjCC ) 12 7 () 43 ( 2222 jj ee
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