等比数列前n项和公式的推导课件

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1、等比数列前n项和公式的推导1 细节决定成败细节决定成败 态度决定一切态度决定一切等比数列前n项和公式的推导2复习等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项通项公式公式性质性质Sndnaan)(1111nnqaadaann1qaann1dmnaamn)(mnmnqaa*(,)mnrsm n r sNmnrsaaaamnrsa aa a2)(1nnaanS1(1)2nn nSnad等比数列前n项和公式的推导3预备知识：预备知识：v Sn=a1+a2+anv Sn-1=a1+a2+an-1(n 2)v an=Sn Sn-1(n 2)你能得出吗你能得出吗?等比数列前n项和公式的推导4等比数列前n项和

2、公式的推导5问题：如何来求麦子的总量？问题：如何来求麦子的总量？得得:2S:2S6464=2+2=2+22 2+2+23 3+2+26363+2+26464错位相减得：错位相减得：S S6464=2=264 64 1 1.8 1 1.8 10101919即求：即求：1 1，2 2，2 22 2，2 26363的和；的和；令：令：S S6464=1+2+2=1+2+22 2+2+26262+2+26363，以小麦千粒重为以小麦千粒重为4040麦子质量超过麦子质量超过70007000亿吨！亿吨！麦粒总质量达麦粒总质量达70007000亿吨亿吨国王是拿不出的。国王是拿不出的。等比数列前n项和公式的推

3、导6q,得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa，得,111nnqaaSq由此得q1时，qqaSnn111等比数列的前n项和nnaaaaS321设等比数列,321naaaa它的前n项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS即说明：这种求和方法称为错位相减法等比数列前n项和公式的推导7当q1时，qqaSnn111,111qaqqaqannnqqaaSnn11显然，当q=1时，1naSn等比数列前n项和公式的推导8,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q1).等比数列的前n项和表述为：等比数列前n项和公式的推导9)1()1(1)1(11qnaqqqaSnn已知

4、a1、n、q时已知a1、an、q时)1()1(111qnaqqqaaSnn等比数列的前n项和公式等比数列前n项和公式的推导10(1)(1)等比数列前等比数列前n n项和公式：项和公式：等比数列前等比数列前n n项和公式你了解多项和公式你了解多少？少？Sn=1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn=1-q(q=1)(q=1)1(1nqa1na(2)(2)等比数列前等比数列前n n项和公式的应用：项和公式的应用：1.1.在使用公式时在使用公式时.注意注意q q的取值的取值是利用公式的前提；是利用公式的前提；.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用

5、“错位相减法”推导等比数列前n项和公式的推导11例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n 256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得：又由,0q31q时于是当8n 811640)31(1311278nS等比数列前n项和公式的推导12:a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.341,512,1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,1118

6、2214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，时，数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1)1(1 21)1(1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,1.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q等比数列前n项和公式的推导13 1数列2n1的前99项和为()A21001B12100 C2991 D

7、1299答案：C等比数列前n项和公式的推导14 2在等比数列an中，已知a13，an96，Sn189，则n的值为()A4 B5 C6 D7答案：C等比数列前n项和公式的推导15 3已知等比数列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，则前5项和S5的值为_答案：31等比数列前n项和公式的推导16 4求Snx2x23x3nxn(x0)等比数列前n项和公式的推导17等比数列前n项和公式的推导18(一)用等比定理推导 合比定理：合比定理：等比数列前n项和公式的推导191)(q 递推公式：递推公式：等比数列前n项和公式的推导20 答案：B等比数列前n项和公式的推导21 2在等比数列an中，公比q2

8、，S544，则a1的值为()A4 B4 C2 D2 答案：A等比数列前n项和公式的推导22 3在等比数列an中，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_等比数列前n项和公式的推导23 4设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求公比q的值等比数列前n项和公式的推导24？台（结果保留到个位）可使总销售量达到几年，那么从今年起，大约比上一年的销售量增加售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机30000%105000：例3分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%)(1+10%)台21.15000第

9、n年产量为台11.15000n则n年内的总产量为：121.151.151.155n等比数列前n项和公式的推导25？台（结果保留到个位）可使总销售量达到几年，那么从今年起，大约比上一年的销售量增加售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机30000%105000：例3解：30000,1.1%)101(,50001nSqa数列，每年的销售量成等比由题意可知，从今年起 值。的，求满足比数列分析：本例相当于在等nSann300001.11)1.11(500030000n由公式得：6.11.1n整理得,6.1lg1.1lgn两边取对数，得5041.02.06.1lg1.1lgn用计算器算得台。年可使总

10、销售量达到答：从今年起，大约300005等比数列前n项和公式的推导26等比数列前n项和公式的推导27等比数列前n项和公式的推导28等比数列前n项和公式的推导29等比数列前n项和公式的推导30等比数列前n项和公式的推导31 分析由题目可获取以下主要信息：已知等比数列的前3项和前6项的和，求其通项解答本题可直接利用前n项和公式，列方程求解等比数列前n项和公式的推导32等比数列前n项和公式的推导33 点评在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解等比数列前n项和公式的推导34 迁移变式2设等比数列an的前n项和

11、为Sn，若S3S62S9，求公比q的值等比数列前n项和公式的推导35等比数列前n项和公式的推导36等比数列前n项和公式的推导37等比数列前n项和公式的推导38 点评在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a1和q1的讨论，从而丢掉一种情况等比数列前n项和公式的推导39等比数列前n项和公式的推导40等比数列前n项和公式的推导41等比数列前n项和公式的推导42 如图1，一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？等比数列前n项和公式的推导43 分析通过仔细审题，抓住“在以后每一分钟里，它

12、上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题眼”，从而构造出等比数列模型热气球在每分钟里上升的高度组成一个等比数列，于是热气球上升的总高度便是该等比数列的前n项和，利用公式即可等比数列前n项和公式的推导44等比数列前n项和公式的推导45等比数列前n项和公式的推导46 迁移变式4如果某人在听到喜讯后的1 h后将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人(包括第一个人)的小镇，所需时间为()A8 h B9 h C10 h D11 h等比数列前n项和公式的推导47 解析：设第n个小时后知道喜讯的总人数为

13、Sn，Sn12222n2n112047，n10，故选C.答案：C等比数列前n项和公式的推导48等比数列前n项和公式的推导49 2因为公比为1和不为1时等比数列前n项和有不同的公式，所以若公比为字母时，应进行分类讨论这也是由公式的适用范围引发的分类讨论的典型例子之一等比数列前n项和公式的推导50等比数列前n项和公式的推导51等比数列前n项和公式的推导52等比数列前n项和公式的推导53等比数列前n项和公式的推导54等比数列前n项和公式的推导55等比数列前n项和公式的推导56 题后感悟在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1

14、与q列方程组求解,等比数列前n项和公式的推导57 1.在等比数列an中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn126，求n和q.等比数列前n项和公式的推导58等比数列前n项和公式的推导59等比数列前n项和公式的推导60等比数列前n项和公式的推导61已知等比数列an中，前10项和S1010，前20项和S2030，求S30.等比数列前n项和公式的推导62等比数列前n项和公式的推导63等比数列前n项和公式的推导64 题后感悟等比数列前n项和的常用性质：(1)“片断和”性质：等比数列an中，公比为q，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3mS2m，SkmS(k1)m，构成公比为qm的

15、等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列等比数列前n项和公式的推导65 3.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80B30 C26 D16等比数列前n项和公式的推导66 解析：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)(S2n2)22(14S2n)，解得S2n6 又(S3nS2n)2(S2nSn)(S4nS3n)(146)2(62)(S4n14)S4n30.故选B.答案：B等比数列前n项和公式的推导67已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，

16、求这个数列的公比与项数 由题目可获取以下主要信息：等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；当项数为2n时，S偶S奇q.解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解等比数列前n项和公式的推导68，得q2，代入得22n256，解得2n8，所以这个数列共8项，公比为2.等比数列前n项和公式的推导69等比数列前n项和公式的推导70 4.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.等比数列前n项和公式的推导71 求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和(a0)由题目可获取以下主要信息：数列的通项公式an(2n1)an1.每一项可分成

17、两个因式，由前一个因式可构成等差数列，后一因式可构成等比数列 解答本题可选用错位相减法求数列的和等比数列前n项和公式的推导72等比数列前n项和公式的推导73 题后感悟错位相减法 一般来说，如果数列an是等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法等比数列前n项和公式的推导74 在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列bn的公比，所以q0，但求和Sn12x3x2nxn1时，就应分x0、x1和x0且x1三种情况讨论(2)注意相消的规律(3)注意相消后式子(1q)Sn的构成，以及其

18、中成等比数列的一部分的和的项数(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查等比数列前n项和公式的推导75等比数列前n项和公式的推导76等比数列前n项和公式的推导77 1在运用等比数列前n项和公式进行运算时应注意以下几点：(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量等比数列前n项和公式的推导78(3)在公比为字母参数的等比数列求和时，应分q1与q1两种情况进行讨论等比数列前n项和公式的推导79等比数列前n项和公式的推导80等比数列前n项和公式的推导81等比数列前n项和公式的推导82等比数列前n项和公式的推导83等比数列前n项和公式的推导84等比数列前n项和公式的推导85等比数列前n项和公式的推导86等比数列前n项和公式的推导87练考题、验能力、轻巧夺冠