常微分论文

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1、常微分方程小论文常微分方程在实际问题中的应用41226001 陈林在许多实际问题中，往往不能找出自变量与因变量之间所需要的确切的函数 关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关 系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。而微分、差分方程模型的建立通常采 用微元分析法或前提假设法，微元分析法是在微小的时间间隔内，考查函数改变 量的关系，再让时间间隔无限小（微分）或取时间间隔为一个单位（差分）得到方 程；最后给出考查初期所处状态，得到含初始条件的微分（差分）方程模型。微 元分析必须建立在正确的科学定律或经济原理之上，才能正确反映问题变化的本 质。如果问题的定律或原理不十分清

2、楚，仅知道某些增减关系，这时只能通过对 问题作出一定的假设，根据假设建立方程就是前提因此假设法结果要进行检验。常微分方程建立模型可以解决许多经济上、物理上的问题，如下例：、湖水污染问题某湖湖水容量为V=1012 m3上游下游各有一年流量为Q=1011m3的河水 流进流出该湖。20年前，上游建了某工厂，生产中使用某有害物质。近来发现湖 水中这种有害物质浓度已达0.03毫克/m3,河水污染浓度达到了 0.05毫克/m3。 环保部门提出该工厂整改，并拟处罚款。该厂辩称：过去排放废水从未使河水 污染超过环保要求的0.001，只是最近疏忽，才使河水污染，请求从轻发落。试 建立数学模型对湖水污染问题作出分

3、析。分析湖水的污染由河水的污染引起， 并且，任意时刻湖水污染程度都与上一个时刻的污染程度及新引起污染有关， 有动态特征，建立动态数学模型。符号：V湖水容量；Q河水流量；t考察问题的时刻。模型假设：1.河水是湖水的唯一水源；2.湖水容量不变；3.河水进入 湖中立刻与湖水充分混合；4.不考虑湖水河水的自净化作用；5.污染物全部 溶解在河水、湖水中；6.不考虑雨水、蒸发等作用对湖水的影响；7.污染物 在河水、湖水中分布均匀。接着建立模型：设火卜训时刻t湖水，亏染浓度和河水扌亏染報度，则在时间间隔起诵湖水污染变化规律为(f-F AO - (0F =(1)取姑=1，得差分方程=-(y-Q/V)uL=v(

4、t)Q/V初始条件=(0)=0?(20) = 0.03?r(0) =0.001fr(20= 0.05 在式中两边同除以M并令MT0#微分方程模型= (duO药(畤(0 = 0duO玄呦庠(0) = 0解得= u(t)=v(l-e )；结果分析=1根据模型的解，显然有u(t)v,所以该工骨一直以 0.Q0坤嗷，湖水不可能钙染。2当r = 0.0546 =1011?K=1012?h(O= 0-03 可以解岀t = 9.16 (车)所以，该工厂所说只是最近疏忽造成污染也是不成立的。3若假设该工厂,亏染是逐年线性增长，即r(O = 0-0/2O 代入方程求解得(0 = 0.0025(-10+10)代入

5、皿=0.03解得t = 20.74年，时间上吻合较好，因此假 设情况的可能11*大。二、经济增长分析国民收入通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于投资，可以增加生产，生产增加后 消费、储蓄增加，又可以反过来促进生产。试建立数学模型分析这种关系。问题分析：产出转化储蓄，储蓄化为投资，投资增加产出，任一时刻产出都与前一时刻产出状 态有关，因此是一个动态问题。关键是储蓄投资产出关系。符号说明:记国民收入为Y(t)(产出)，消费为C(t),储蓄为I(t), k为边际资本产出 比(即单位边际产出所需资本)；s为边际储蓄倾向(单位产出产生的储蓄)；1s为边 际消费倾向(单位产出用于消费的量)；基本假设：1产出

6、增长率与资本投入成正比；2.储蓄全部用于投资；3.消费、储 蓄比例不变；4.产出增长速度与储蓄成正比。建立模型：基本方程：F = C-ZjC = (l-5)F根IE假设带入前式得fit分方程dt kdY=I di k|_F(0) =吆Lt方程的解対：F=琢匸这是一个持续增长的生产函数，要求增加的产出全部被需求吸收(包括消费需求和 投资需求)。上述模型是一个简单模型。只考虑了自发投资，即消费剩余,而实际上消费 增加也会刺激投资进而刺激生产。假设引致投资与消费增长率成正比，则得到新的经济 增长模型。基本方程：F=CI (1)5 I=sY (2)5 C=(l-5)r (3)假设方程哼+,訐 1)(2

7、)式求曙=务囂,辛=$弓并代人4)式，得=/ff- Zj 解得_-KKK式求导竽 J#,得暮=卑 ，W5X2)入式，得dr k dt dt dr空=土卫卩-左空，整理得隸分方程：di kdtd2Y 1 dY 5(L-s)t. n一一 r F =0S dt k dt krF =环 F(0)=疋特征根仏=三于丄这是一个二阶Si分方程特征方程:力-加左-阳-打k2 =o l(2s-l) p/A2k(L-5)/.fcJi(l-s)X方程il解t -Y=A1e*由此可见，数学模型是经济学分析的一个重要的工具，从某种意义上说也是 唯一的工具。是经济学问题就一定会涉及到定量和变量，而想要处理这些量就一 定需要数学工具，否则没有其他办法。人脑的分析虽然在经济决策中占了一定的 分量，但那是一连串经济处理流程中的下游加工。人脑的分析必须是建立在大量 可供最终数据上的。而这些数据的得出是一定离不开数学工具的。而在现实的经 济活动中，定量相比较变量来说，是非常，所以这就更说明一定要借助数学工具 来处理这些变量，才能帮助我们更能解决现实中的经济问题。