几何画板 课件设计 三角函数图像的变换和应用

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1、几何画板 课件设计 三角函数图像的变换和应用三角函数图像的变换和应用作者：于红伟 指导教师：刘胜利首都师范大学数学系00级3班 1000500092摘 要The Geometers Sketchpad 是美国优秀的教育软件。它的中文名是几何画板21世纪的动态几何，以下简称几何画板。几何画板是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。在学习了几何画板

2、之后，我利用有关知识制作了三大类数学课件。本文讨论了用几何画板展示三角函数图像变换和应用的有关问题主要包括：1.简单的三角函数变换2.自定义坐标系下的三角函数3.创新部分三角函数在物理学中的应用（用动态效果演示）。这三大类课件在教学上都有很重要的应用。全文由三部分组成：第一部分:几何画板课件制作的选题原则。第二部分：详细介绍了我所选择制作的课件及其详细制作过程。第三部分：我学习及应用几何画板的体会。关键词：几何画板、三角函数、图像、变换、旋转、反射、缩放、平移、标记、动画、追踪、轨迹、隐藏。AbstractThe Geometers Sketchpad is an excellent Amer

3、ica education software. It is well-known to be geometry drawing-board the development geometry of 21 century in china , following abbreviation geometry drawing-board . geometry drawing-board applies to the teaching of geometry (plane geometry, analytic geometry, projection geometry and solid geometr

4、y), partial physics and this platform not only can help teachers use the modern educational technology in their teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation and solving question, and progressing their ideation. As far as it goes, th

5、e platform represents the developing direction of the educative tool software.After learning the Geometers Sketchpad, three types of mathematic facilities using concerned knowledge are made. This paper discusses the problem of the diagram variance and the appliance of trigonometric function by Geome

6、ters Sketchpad, mainly including: 1.simple diagram variance of trigonometric function. 2.trigonometric function of self-defined coordinate system. 3.created part-the application of trigonometric function in physics (demonstrating with trends). These three types of facilities have important applicati

7、on in mathematics.This paper is composed of three parts: In the first part, some fundamental about what kinds of problem we can make the courseware by the Geometers Sketchpad are described. In the second part, several of courseware, which I made particularly, and the course of making are introduced.

8、In the last part, I relate the experience of study by using the Geometers Sketchpad are related.Keyword: The Geometers Sketchpad, trigonometric function，image, transform, reflect, zoom, translate, mark, animation, trail, track, hide.目录摘要 1abstract 2第一部分 几何画板的选题原则 4第二部分 课件设计与制作 4一. 简单的三角函数变换 4 1. y=s

9、in x的图像的形成 42. 由y=sin x转换成y=cos x 63. 由y=sin x转换成y=sin(x+w) 64. 由y=sin x转换成 y=sin(2x) 65. 例1由y=sin x转换成y=cos(x/3) 76. 由y=sin x转换成y=2sin x 77. 例2由y=sin x转换成y=2sin(x/2) 88. 由y=sin x转换成y=asin(bx+w) 8二. 在自定义坐标系的三角 91 自定义坐标系下的y=sin x图像 92 y=sin x的周期函数 9三. 创新部分三角函数在物理学中的应用 101 绳波的形成 102 示波器 12第三部分 学习几何画板的

10、体会 13参考文献： 14第一部分 几何画板的选题原则心理学认为变动的事物，图形容易引起人们的注意，从而在人脑里形成较深刻的映像。在教学中，使用常规工具（如纸，笔，圆规和直尺等）画图，有一定的局限性，并且所画的图形很容易掩盖极其重要的几何原理。几何画板在中学数学教学中有很多应用，不论在代数教学还是在几何教学中都显示出它的超凡魅力。例如，在代数学教学中，它对函数、极限、复数和不等式等的教学起到了很大的作用。在几何学教学中，平面、立体和解析几何更让几何画板大显身手。当然，并不是所有教学都要利用几何画板来完成，应用几何画板制作课件，应该注意课题的选择。第一：几何画板可以很好的表现图形的任意性。例如：

11、在让学生掌握三角形重心，内心，外心等概念时，在黑板上只能画出几个三角形作代表，不能很好的说明任意三角形，利用几何画板就可以形象的演示任意三角形重心、内心、外心等重要点的位置了。第二：几何画板可以精确画出函数图形并表现其全部情况。例如：在讲解三角函数有关概念时，正弦和余弦函数图像的画法，就可以利用几何画板出，其中正弦函数y=A sin(x+)+d 的图像通过调整A， ，d的值不仅可以得到不同的精确图像，而且还能够将动态效果展示给学生。这充分体现出了人机交互的功能。我做的课件是关于三角函数图像的变换和应用。我之所以选这个题目，是因为三角函数图像变换和应用是中学数学教学中的重点和难点，它的基础主要是

12、几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图像分析，因此三角函数的研究已初步把几何与代数联系起来了。在各个应用技术学科中都经常用到三角函数的图像和性质，因此这些内容既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学的基础，在传统的学校教学中，教师一般利用直尺、圆规在黑板上作图，这种传统的作图方式，点和线是孤立的、静止的，甚至是抽象的，这样难于记忆，难于理解，学生不明其究竟。然而利用几何画板就是要充分利用它动态几何的特点，把在传统教学中比较难描述清楚的图形，用动态效果展现给学生，从而达到更好得教学效果，能够使三角函数图像的变换生动、鲜明地展现出来。第二部分 课件设计与制作一简单的三角函数变换

13、1y=sin x的图像的形成. 方法一：如图1.1所示。逐个描点法。利用描点发可以揭示三角函数的几何意义。把单位圆上的点投影到X轴上。图1.1打开一个新画板，执行；改原点为O，单位点为1。执行（或双击Y轴）选中（1，0）再执行变换/反射即得到点（-1，0）。选中（-1，0）和原点0执行构造/以圆心和圆周上的点绘圆得到单位圆。(2) 在圆上取点。选中点（-1，0），再执行变换/标记中心（或双击点（-1，0）选中原点再执行变换/旋转/6弧画下滑线的部分顺次执行11次。便在圆上得到11个不同的点。分别选中这11个点与点（-1，0）作连线。这些线段分别与x 轴正半轴的夹角为/6,/3,/2,2/3,5

14、/6,7/6,4/3,3/2,5/3,11/6(3) 在横坐标轴上找横坐标值为/6,/3,/2,2/3,5/6,7/6,4/3,3/2,5/3,11/6的点，并选中这11个点和x轴执行构造/垂线(4) 在圆上选取这11个不同的点和x轴执行构造/平行线。(5) 找交点。即夹角为/6和x轴所构成平行线与横坐标值为/6和x轴所构成的垂线的交点。同理/3,/2,2/3,5/6,7/6,4/3,3/2,5/3,11/6。共构成11个交点。(6) 顺次选中原点和这11个交点中的三点执行构造/过三点的弧这样可构造出六条首尾相接弧。这六条弧所构成的曲线便为正弦曲线。(7) 最后隐藏所有没必要的对象。方法二：做

15、轨迹法。如图1.1在单位圆上任取一点 图1.1打开一个新画板。（1） 自定义单位圆。画线段AB. 作线段AB的中点C. 选中C点和B点执行构造/圆心和圆上的点绘圆。（2） 度量角BCD的弧长。在圆上任选一点D。选中点B、C、D。执行度量/角度得到角BCD的值，并计算BCD的半角，并标记角BCD的半角值。标记中心点C，选中B点执行变换/旋转/标记角度在圆上便得到此半角的点E。构造BED的弧长，并度量弧长。（3） 构造此单位圆的轨迹。计算此单位圆的周长。标记此周长值。选中B点执行变换/平移/极坐标/标记距离/0度得到点F，连接线段BF。标记弧BED的值，再选中B点执行变换/平移/极坐标/标记距离/

16、0度得到点G，过点G作BF的垂线。过点D作BF的平行线。取两线的交点H.同时选中D、H两点执行构造/轨迹。这样便得到一个周期的正弦曲线。（4） 最后隐藏所有没必要的对象。2. 由y=sin x的图像转换成y=cos x图像原理：因为cos x=sin(/2+x),要想得到cos x只需要sin x向左平移/2即可。如图1.2做法如下：（1） 作y=sin x的轨迹。（2） 构造y=cos x的轨迹。选中y=sin x的轨迹，选中构造/对象上的点得到点A,依次选中X轴上坐标值为/2和原点，选中变换/标记向量，选中A点选中变换/平移/标记变得到点A,同时选中点A、A 并选中构造/轨迹，这样便得到y

17、=cos x的曲线。（3） 最后隐藏所有没必要的对象。图1.23由y=sin x图像转换成y=sin(x+w)图像其中w属于-,.如图1.3图1.3(1) 作y=sin x的轨迹。(2) 构造w。在X轴上选中点-与作线段。选中此线段，选中构造/对象上的点得到点W，依次选中点w与原点，选中变换/标记向量。(3) 选中y=sin x的轨迹选中构造/对象上的点得到点A。选中A点，选中变换/平移/标记便得到点A, 同时选中点A、A 并选中构造/轨迹，这样便得到y=sin（x+w）的曲线。(4) 选中点W，选中编辑/操作类按钮/动画。这样便能观察到y=sin（x+w）动态显示。(5) 最后隐藏所有没必要

18、的对象。 4Y=sin(2x) 图像是怎么由y=sin x图像转变而来的原理：令u=2x那么x=u/2所以只要让sin x中的x等于原来的一半即可。如图1.4(1) 作y=sin x的轨迹。(2) 构造y=sin 2x的轨迹。选中sin x的轨迹选中构造/对象上的点得到点A。过A点作Y轴的垂线，垂线与Y轴交于B点，标记中心点B，选中A点，选中变换/缩放/固定比例/1.0/2.0则得到点C,选中点A、C并选中构造/轨迹，便得到y=sin 2x的图像。(3) 最后隐藏所有没必要的对象。图1.4 5.例1 y=cos(x/3) 图像是怎样由y=sin x图像转变而来的呢？如图1.5原理：令u=x/3

19、,则x=2u 所以只要让cos x中的x等于原来的3倍即可(1) 作y=sin x的轨迹。(2) 作y=cos x的轨迹。(3) 方法同4，只需把变换/缩放作一下变动图1.56.Y=2sin x图像是怎么由y=sin x图像转变而来的？如图1.6图1.6(1) 作y=sin x的轨迹。(2) 选中y=sin x的轨迹选中构造/对象上的点得到点A。过A点作X轴的垂线，垂线与X轴交于B点，标记中心点B，选中A点，选中变换/缩放/固定比例/4.0/2.0则得到点C,选中点A、C并选中构造/轨迹，便得到y=2sin x的图像。(3) 最后隐藏所有没必要的对象。7. 例2由以上方法想一想y=2sin(x

20、/2)的图像要怎样做，如下图1.7 图1.7（1） y=sin x的轨迹。（2） 选中y=sin x的轨迹选中构造/对象上的点得到点A。过A点作Y轴的垂线，垂线与Y轴交于B点，标记中心点B，选中A点，选中变换/缩放/固定比例/4.0/2.0则得到点C,过C点作X轴的垂线，垂线与X轴交于D点，标记中心点D，选中C点，执行变换/缩放/固定比例/4.0/2.0则得到点E, 选中点A、E并选中构造/轨迹，便得到y=2sin(x/2)的图像。（3） 最后隐藏所有没必要的对象。8.Y=asin(bx+w) 图像是怎么由y=sin x图像转变而来的？其中a,b为任意值，w属于-,，原理：令u=bx+w,v=

21、bx,v=u-w,x=(u-w)/b 图1.8打开一个新画板。选中编辑参数选择弧度制；(1) 作y=sin x的轨迹。(2) 构造a、b、w.在X轴上任做两点A、B，过这两点做X轴的垂线，分别在这两条垂线上任选一点a、b连接Aa、Bb。选中X轴上-与两点，并连接两点得到线段L，在L上任选一点w, 分别选中a、b、w作动画按钮。并度量a、b的纵坐标，改标签分别为a、b，度量w的横坐标，改标签为w。(3) 选中y=sin x的轨迹选中构造/对象上的点得到点C。依次选中点w与原点，选中变换/标记向量, 选中C点，执行变换/平移/标记便得到点C,计算1/b的大小。标记值1/b,过C 做Y轴的垂线，与X

22、轴交于D点，标记D点，选中变换/缩放/标记比例系数/1/b得到C”，过C” 做X轴的垂线,与X轴交于E点，标记值a,标记点E，选中C”, 执行变换/缩放/标记比例系数/a得到C”, 选中点C、C”,并选中构造/轨迹，便得到Y=asin(bx+w)的图像。(4) 最后隐藏所有没必要的对象。操作：可以拖动点a、b、w或单击按钮 a 、b 、w ,来观察y=asin(bx+w)图像变化。二自定义坐标系下的三角函数1自定义坐标系下的y=sin x 如下图2.1 图2.1建立一个二维坐标系0-XY：过点O点1画一条水平直线O1，作为X轴，过点O、点1画另一条直线O1，作为Y轴。单击编辑/参数选项，角度选

23、择弧度制。（1） 在X轴上取点x，依次选中点O、1、x，度量比值，改标签为x（为自变量x的值），其中O1为X轴单位长；（2） 度量O1的值，改标签为I，为Y轴单位长；（3） 计算y1=sin x的值，并计算y=y1*I/1厘米，使其转化为对应Y轴长度；（4） 将y计算值标记比，让点1以点O为中心按标记比缩放，得点y；（5） 让点y按标记向量Ox平移，得点y，则点y(x,y)在f(x)上，用线段连接yy；（6） 选中线段yy和度量值y，作颜色参数。选中点x和点y作轨迹；注：重新编辑计算y1=f(x)函数式(按右键选中编辑计算)，可以得到不同曲线。操作：拖动点1或点1，可以从不同角度观察函数曲线。

24、2y=sin x的周期函数 如下图2.2 图2.2（1） 作y=sin x的轨迹。（2） 自定义y=sin x坐标系。其中X轴与Y轴是垂直的关系，并且是一个周期的函数。（3） 作动画按钮。分别是自定义下的原点到直角坐标系下的原点，和到直角坐标系下的（-，0）和到任一点的动画按钮。该标签分别为周期1、周期2、还原。（4） 最后隐藏所有没必要的对象。三创新部分三角函数在物理学中的应用1.绳波的形成。（当第一点完成一周期运动时所有的运动点都从新开始运动） 图3.1打开一个新画板。如图3.1（1）制作绳波 作一条水平直线L，隐藏两个初始点，在直线上任作两点A、B分别选中点A、B构造圆，连接点A、B.

25、在线段AB上任选一点C,依次选中点C、B执行编辑/操作类按钮/移动。 构造过点C水平方向的点0、112（间距为一厘米）。选中点C作变换/平移/直角坐标系/水平方向1.0厘米/垂直方向0厘米得到点C,改标签为0，顺次选中点C、0，执行变换/标记向量，选中点0，执行变换/平移/标记得到点0,在顺次执行变换/平移/标记11次，分别得到了不同的11个点，依次改点0和这11个不同点的标签为1至12。 作边界点。选中点0至12做直线L的垂线,在过点1的垂线上任选一点1，过点1作直线L的平行线，分别与过点2至12的垂线有交点，分别记为2,3 12双击直线L,选中点1和这不同的11个交点，执行变换/反射得到点

26、1” 12”这12个点。隐藏过点1到12与直线L的12条垂线，分别连接点1、1，2、2,3、312、12,在分别连接点1、1” 12、12”. 作圆上一动点的动画按钮。在点A、B构成的圆上任选一点D, 选中点D，执行选中编辑/操作类按钮/动画/逆时针/快速，改标签为快速。选中点D，执行选中编辑/操作类按钮/动画/逆时针/中速，改标签为中速。选中点D，执行选中编辑/操作类按钮/动画/逆时针/慢速，改标签为慢速。 构造圆上的点。双击点A,选中点D，顺次执行6次变换/旋转/固定角度/-30，分别得到点D至D”选中D点与这五个点作与直线L的平行线,分别记作L1、L2L6。 作运动点。作Li与线段ii（

27、i=1,26）的交点，作线段OP(充分小)，选中这六个不同的交点，作以OP为半径的小圆。 作圆的下半弧和下半弧的运动点。标记点A,选中点C顺次执行3次变换/旋转/固定角度/-90得到点C,C”,C”,依次选中点C、C、C”作过三点的弧a1（即下半圆）,连接线段AD,作弧a1与线段AD的交点E, 选中点E,顺次执行五次变换/旋转/固定角度/-30得到点E至E,过点E、EE 作与直线L的平行线,分别记作K1K6，作Kj与线段jj（j=1,26）的交点, 选中这六个不同的交点，作以OP为半径的小圆. 作圆的上半弧和上半弧的运动点。依次选中点C、C” 、 C 作过三点的弧a2（即上半圆）,连接线段AD

28、”作与弧a2的交点F, 选中点F,顺次执行五次变换/旋转/固定角度/-30得到点F至F, 过点F、FF 作与直线L的平行线,分别记作L7L12, 作Lx与线段xx（x=7,812）的交点，选中这六个不同的交点，作以OP为半径的小圆。（2）制作弹簧振子。 选取弹簧振子的直径。双击点A,选中点C, 执行变换/缩放/固定比例系数/2/1得到点G,过点A作与直线L的垂线K,在垂线K上任作两点Q、R,双击直线K,选中点G, 执行变换/反射得到G， 过点G、G作直线L的垂线H1、H2。 作弹簧。过D点作垂线K的垂线分别交H1、H2于S、T点，与K交于U点，连接UR,并度量其长度，计算线段UR的八等分的大小

29、。并标记其距离，选中点S、T，执行8次变换/平移/标记距离/-90得到点SS”和TT”连接线段（粗线）US,ST”,T”S,ST,TS,ST,TS,ST,TR。 作修饰。双击点R,选中点T执行变换/平移/固定距离1厘米/固定角度-90得到点V，隐藏点SS”、TT”、G、GH1、H2和K.连接QV(虚线) RV（粗线）过点Q、点V作与直线L的平行线J1、J2，在J1上任取一点W1，双击线段QR,选中点W1执行变换/反射，得到点W1,过W1、W1作J1的垂线交J2于点W2和点W2，隐藏其垂线和J1、J2，连接线段W1Q,QW1,W2V,VW2,并作其四条线段的中点得到点B1、C1、D1、E1，双击

30、点W1选中点B1,执行变换/旋转/固定角度/60得到点B1,选中点W1和点B1执行变换/标记向量，选中点B1、Q、C1、W1,执行变换/平移，并连接其平移与被平移点。双击点W2选中点D1,执行变换/旋转/固定角度/-120得到点D1 选中点W2和点D1执行变换/标记向量，选中点D1、R、E1、W2,执行变换/平移，并连接其平移与被平移点。 选中D点执行编辑/操作类按钮/显示隐藏。改标签为显示点D。 最后隐藏所有没必要的对象。操作：观察绳波的变化是我们可以单击快速、中速、慢速按钮，也可以拖动D点。2.示波器。如下图3.2 图3.2（1） 先定义坐标系。同二.1。只是X轴与Y轴为垂直的关系。在Y轴

31、的上半轴上任取一点，记为a,并计算出a的值。改标签为a.在X轴上取两点使两点的距离也为a（利用旋转，即此两点分别在X轴的两侧）。并连接此两点，在此线段上任取一点b, 并计算出b的值。在X轴上任取一点c，并计算出c的值。分别选中此三点做动画按钮。编辑计算y1=asin(cx+b)函数式。与下同二。同时选中a、b、c三点作显示隐藏按钮，顺次选中0点和x点执行变换/标记向量。得到y=asin(cx+b)的轨迹。过轨迹上的点作与X轴的平行线L.（2） 画一水平线段，并取中点A，过此中点A作此水平线段的垂线。标记此中点A，选中中点A，执行变换/平移/标记,得到一点B，并选中此点执行变换/旋转/-90。得

32、到点B.（3） 在水平线段上任取一点C，选中此点，作关于过中点垂线的反射。得到点D选中点C执行变换/平移/极坐标系/3/-90得到点E连接CE任取一点F顺次选中点C和点F行变换/标记向量选中点D执行变换/平移/标记得到点G,选中点G和F多次执行变换/平移/标记，得到G G和点F F,连接斜线CG、FG、FG” FG 并连接FG、FG FG(虚线)。（4） 过B点作水平线段的平行线，分别与斜线有交点。过这些交点作与水平线段的垂线。分别与L有交点。追踪这些交点。（5） 作点X的动画按钮（6） 最后隐藏所有没必要的对象。注：按显示度量结果重新编辑计算y1=f(x)函数式，可以得到不同曲线。操作：为了

33、观看示波器的图形，我们只需点击x按钮，按 a 、 b 、 c 按钮或托动点Q，这样可以看到不同的图形。第三部分 学习几何画板的体会现今，计算机辅助教学手段的使用是教育现代化的一个重要标志，对提高教育质量及教学效率都有重要的意义。它不但可以扩大受教育面，便于及时巩固所学知识，而且为数学教育开辟了更为广阔的天地。 几何画板作为优秀的教学软件之一，是一个通用的数学，物理教学环境，其丰富的创造功能使用户可以随心所欲的编写自己所需要的教学课件。该软件提供了充分的手段帮助用户实现其教学思想，只要熟悉它的简单使用技巧就可以自行设计和编写应用范例，无需任何编程。所做课件 要体现的并不是编者的计算机软件水平，而

34、是教学思想和教学水平。几何画板不仅能够帮助教师扩展其在传统教学中的能力，而且还为新的教学方法提供了可能。在新的教学方法中，强调学生的主体参与，学生课堂的主体，通过学生的参与来帮助学生更好地学习。但是现在普通的课堂，还不能完全体现学生的主体性，在几何画板和计算机网络的支持下，教师可以很容易地为每一位学生的比较和抽象创造一种活动的空间和条件，让学生能在活动中进行反身抽象，获得，理解和掌握抽象概念。只有这样学生获得的才是真正的数学经验，而不是数学结论。从这个意义上说，几何画板不仅仅是教师教学的工具，更应该成为学生的有利的认知工具。几何画板是便捷的交流工具，每个画板都可以被用户按自己的意图修改并保存，

35、特别是和用来进行几何交流，研究和讨论，被称为“动态黑板”。同时还是教师布置作业以及学生完成作业的理想工具。几何画板符合多媒体教学的要求，能够准确，动态的表达几何问题。与大屏幕投影仪等设备配合，可达到完美的演示效果。另外几何画板为探索式几何教学开辟了道路，用户可以利用它建立自己的认识体系，成为真正的研究者。几何画板还提供了多种方法帮助教师了解学生的思路和对概念的掌握这是一个令教师头痛的问题。几何画板还有一个最突出的特点就是：操作简单。一切操作只靠工具栏和菜单就能实现，无需编制任何程序。我在实习和试讲期间，用几何画板制作了几个课件，用于课堂教学之中，取得了比较好的效果。首先学生们对于多媒体辅助教学

36、的形式就比较感兴趣，其次几何画板的动态演示效果能使学生更好地理解知识的内在含义。即便是几何画板中很简单的功能，如果与所讲的知识很好的结合，也会产生意想不到的效果。尤其是在试讲期间制作的关于三角函数的诱导公式的课件，本来很难讲的课程，有了几何画板辅助教学，不仅让学生很容易接受所讲的新知识，而且还受到了老师们的好评。其实，在几何画板中还有很多其他的功能，比如本文所涉及的三角函数图像变换、轨迹、追踪、动画等，都是很好用也很实用的。在讲解一些比较抽象的知识时，如果教师能够做出适合的课件，对于学生的理解是十分有帮助的。当然，几何画板也不是万能软件，想要实现一些复杂的变换还需要我们不断学习，不断发掘，拓展它的功能。参考文献：1， 刘胜利，几何画板与计算机辅助教学2， 几何画板参考手册（第四版）北师大出版社1998 年10月3， 如何用几何画板教数学/王鹏远 王选勃 王玉编写. 北京：人民教育出版社14