函数的和差积商的求导法则ppt课件

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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束第二节 函数的求导法则一一.和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则二二.反函数的求导法则反函数的求导法则三三.复合函数的求导法则复合函数的求导法则四四.基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式1.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu一、和、差、积、商的求导法则【定理定理】).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2()

2、;()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu2导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【证证】(3),0)(,)()()(xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 【证证】(1)、(2)略略 (自己证明自己证明).).3导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()

3、()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf【证完证完】4导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【推论推论】;)()()1(11 niiniixfxf);()()2(xfCxCf ;)()()()()()()()()()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf有限项有限项有限项有限项5导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例1】.2lnsin223的的导导数数求求 xxxy【解解】23

4、xy x4【例例2】.ln2sin的的导导数数求求xxy 【解解】xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x.2sin1ln2cos2xxxx 注意注意)2(ln 21)3(sin 3cos 例题分析例题分析6导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例3】.tan的的导导数数求求xy 【解解】)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx .csc)(cot2xx

5、 同理可得同理可得即即7导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例4】.sec的导数的导数求求xy 【解解】)(sec xyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得【例例5】.sh的的导导数数求求xy 【解解】)(21)(sh xxeexy)(21xxee .chx 同理可得同理可得xxsh)(ch xx2ch1)(th )cos1(x.tansec)(secxxx 即即8导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例6】).(,0),1ln(0,)(xfxxxxx

6、f 求求设设【解解】,1)(xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x xhhh 11lim09导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 ,1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 ,1.1)0(f.0,110,1)(xxxxf10导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束dydx dxdyyfxfIxfyyfIyfxxy1 .)(1)(,)(,0)()(11 或或且有且有内也可导内也可导对应

7、区间对应区间在在那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数二、反函数的求导法则【定理定理】【结论结论】反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.11导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【证证】,xIx 任任取取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(1xfy ,0 y于是有于是有,1yxxy ,)(1连连续续xfy ),0(0 xy0)(yf又又知知xyxfx 01lim)(yxy 1lim0)(1yf .)(1)(1yfxf 即即),0(xIxxx 12导数与微分机动机动

8、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例如例如】本节作业题三、本节作业题三、6设设g是是f 的反函数，且的反函数，且f(4)=5,f (4)=2/3则则g(5)=()(A)2/3;(B)1;(C)0;(D)3/213导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例7】.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 【解解】,)2,2(sin内内单单调调、可可导导在在 yIyx,0cos)(sin yy且且内内有有在在)1,1(xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx

9、)(arcsin x.11)cotarc(2xx 14导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例8】.log的导数的导数求函数求函数xya,0ln)(aaayy且且,),0(内内有有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1.ln1ax【解解】,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 即即)(log xa.ln1ax 15导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则对于对于 ln，tgx 3，xe212sinxx 等复合函数，等复合函数，存在两个问题：存

10、在两个问题：(1)它们是否可导？它们是否可导？(2)若可导，如何求导？若可导，如何求导？以下法则回答了这两个问题以下法则回答了这两个问题.dxdududydxdyxgufdxdyxxgfyxguufyxxguxx ).()(,)(,)()(,)(0000000或或且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数【定理定理】即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)16导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页

11、下页 返回返回 结束结束【证证】,)(0可导可导在点在点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xguf ),0(否否则则上上式式无无意意义义时时 u从而当从而当 u=0时，有时，有 y=f(u+u)f(u)=0，上式右端也为，上式右端也为0.规定：当规定：当 u=0时，时，=0，总有总有uuufy )(0【证完证完】17导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【推广推广】),(),(),(xvv

12、uufy 设设.dddddddd )(xvvuuyxyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 【例例9】.sinln的导数的导数求函数求函数xy 【解解】.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot【关键关键】搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.18导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例10】.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy【解解】)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx【例例11】的的导导数数求求函函数数axaxaxyar

13、csin22222 【解解】)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0(a19导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例12】.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy【解解】),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx【例例13】.1sin的的导导数数求求函函数数xey 【解解】)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 20导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

14、束结束【例例14】0 ，设设 x证明幂函数的导数公式证明幂函数的导数公式1)(xx【证证】因为因为 )(ln xex xeln 所以所以)()(ln xex )ln(ln xex 1xx 1 x证完证完21导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【思考题思考题】22导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【思考题解答思考题解答】正确地选择是正确地选择是（3）例例|)(uuf 在在 处不可导处不可导0 u取取xxgusin)(在在 处可导，处可导，0 x|sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导，0 x)1(取取4)(xxgu 在在

15、处可导，处可导，0 x44|)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x)2(（角点）（角点）xysin xyo 23导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束四、基本求导法则与导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.【常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式】xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(24导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2211)(arcta

16、n11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.【函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则】设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )(（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(是常数是常数)C 25导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3.【反函数的求导法则反函数的求导法则】dydx dxdyyfxfIxfyyfIyfxxy1 .)(1)(,)(,0)()(11 或或且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函

17、数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数4.【复合函数的求导法则复合函数的求导法则】).()()()()(),(xgufxydxdududydxdyxgfyxguufy 或或导导数数为为的的则则复复合合函函数数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.26导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例15】.的导数的导数求函数求函数xxxy 【解解】)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 27导数与微分

18、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束xxch)(sh xxsh)(ch xxxchshth xxxx222chshch)(th 即即xx2ch1)(th 双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数28导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束同理同理)11(1122xxxx 211x 112 x211x )1ln(arsh2xxx 221)1()(arshxxxxx )(arch x)(arth x即即211)(arshxx 29导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【小结小结】【说明说明】最基本的公式最基

19、本的公式任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出求导法则求出.【关键关键】正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.至此，初等函数的求导问题全部解决至此，初等函数的求导问题全部解决.)(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证由定义证,其它公式可用求导法则推出其它公式可用求导法则推出.30导数与微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【思考题思考题】【思考题解答思考题解答】幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（）.（1）必必可可导导；（2）必必不不可可导导；（3）不不一一定定可可导导；正确地选择是（正确地选择是（3）例例32)(xxf),(x在在 处不可导，处不可导，0 x)1(2)(xxf),(x在定义域内处处可导，在定义域内处处可导，)2(31导数与微分