3-第4章投影基础理论-直线的投影教程

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1、1直线的投影直线的投影2基本要求基本要求（1）熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；）熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；（2）掌握直线上的点的投影特性及定比关系；）掌握直线上的点的投影特性及定比关系；（3）掌握两直线平行、相交、交叉三种相对位置的投影）掌握两直线平行、相交、交叉三种相对位置的投影特性，能根据两直线的投影判别两直线的相对位置。特性，能根据两直线的投影判别两直线的相对位置。（4）熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及）熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其对投影面的倾角的方法，并能灵活运用直线的实长、其对投影面的倾角的方法，并能灵活运用直线的实长、投影、直

2、线与投影面倾角三者之间的关系。投影、直线与投影面倾角三者之间的关系。3直线的投影特性直线的投影特性aa a b b b 两点确定一条直线，将两两点确定一条直线，将两点的点的同同面面投影投影用直线连接，就得用直线连接，就得到直线到直线在该面上的在该面上的投影。投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABAB.cos A AB Bab

3、A AM MB Ba（b、m）4 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面而而与其余两投影面平行与其余两投影面平

4、行 其投影特性取决于直线与三个投影面间的相其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。对位置。5直线的投影特性直线的投影特性一、特殊位置直线一、特殊位置直线1、平行于投影面的直线、平行于投影面的直线(1)水平线水平线(2)正平线正平线(3)侧平线侧平线2、垂直于投影面的直线、垂直于投影面的直线(1)铅垂线铅垂线(2)正垂线正垂线(3)侧垂线侧垂线3、投影面上的直线、投影面上的直线（1）投影面上的直线）投影面上的直线（2）投影面上的垂线）投影面上的垂线（3）投影轴上的直线）投影轴上的直线二、二、一般位置直线一般位置直线6(1)水平线水平线 平行于水平投影面的直线平行于水平投影面的直线XZYOa

5、ababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：投影特性：1、a b OX；a b OYW；2、ab=AB；3、反映反映、角的真实大小。角的真实大小。7XZYO（2）正平线）正平线 平行于正面投影面的直线平行于正面投影面的直线aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性：1、ab OX；a b OZ；2、a b=AB；3、反映反映、角的真实大小。角的真实大小。8XZYO（3）侧平线）侧平线 平行于侧面投影面的直线平行于侧面投影面的直线XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB投影特性：投影特性：1、a b OZ；ab OYH;2、a b =AB；3、反映

6、反映 、角的真实大小。角的真实大小。9判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba 总结总结投影特性：投影特性：在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实两投影面倾角的实角角。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴,其到相应投影轴其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离.10OXZYb a(b)a abZb Xa ba(b)OYH

7、YWa投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点；成一点；2、a bOX；a b OY；3、a b =a b =AB。（1）铅垂线）铅垂线 垂直于水平投影面的直线垂直于水平投影面的直线AB11（2）正垂线）正垂线 垂直于正面投影面的直线垂直于正面投影面的直线OXZYbababa投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点；成一点；2、ab OX；a b OZ；3、ab=a b =AB。ABzXab baOYHYWab12（3）侧垂线）侧垂线 垂直于侧面投影面的直线垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点；成一点；2、ab OYH；a b OZ

8、；3、ab=a b =AB。baababZXabbaOYHYWab13 反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上，投影有积聚性投影有积聚性。总结总结投影特性投影特性:a b a(b)a b c(d)cdd c e f efe(f)判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？14（1）投影面上的直线）投影面上的直线ZXabaOYHYWabbOXZYABbbabaa15（2）投影面上的垂线）投影面上的垂线OXZYABba(b)aabZYWbXaba

9、(b)OYHa16(3)投影轴上的直线投影轴上的直线ZXabaOYHYWabbOOXZYABbbabaa17OXZY一般位置直线一般位置直线ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：投影特性：1、a b、a b、a b 均倾斜于投影轴；均倾斜于投影轴；2、a b、a b、a b 均小于实长；均小于实长；3、不反映、不反映 、实角。实角。18求解一般位置线段的实长及对投影面的倾角是求解画法几何综合题时经常遇求解一般位置线段的实长及对投影面的倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。到的基本问题之一，而用直角三角形法求解实长、倾角又最为

10、方便、简捷。一、直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作为一条直一、直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。影面的夹角。二、直角三角形的四个要素，即实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾二、直角三角形的四个要素，即实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定

11、另外两个。角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。三、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度三、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能弄错。来作直角边不能弄错。四、作图四、作图1、求线段的实长及对水平投影面的倾角、求线段的实长及对水平投影面的倾角 2、求线段的实长及对正立投影面的倾角、求线段的实长及对正立投影面的倾角 3、求线段的实长及对侧立投影面的倾角、求线段的实长及对侧立投影面的倾角 例题例题1一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位置线段的实长及对投影面的倾角19|zA-zB|ABABbbaaCXO1、求线段的实长及对水

12、平投影面的倾角、求线段的实长及对水平投影面的倾角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab20ABbbaaCXO2、求线段的实长及对正、求线段的实长及对正面面投影面的倾角投影面的倾角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|21XZYO3、求线段的实长及对侧立投影面的倾角、求线段的实长及对侧立投影面的倾角 ABbbabaaZXaaaOYHYWbbb|XA-XB|XA-XB|22四个参数和三个直四个参数和三个直角三角形：实长、角三角形：实长、投影、坐标差和夹投影、坐标差和夹角；由实长和三种角；由实长和三种坐标差分别组成三坐标差分

13、别组成三个直角三角形；个直角三角形；总结：总结：已知四个参数中已知四个参数中的任意两个就可的任意两个就可以作出直角三角以作出直角三角形，并由此求出形，并由此求出其余两个参数；其余两个参数；求直线段实长，只需作出三个直角三角形中的任求直线段实长，只需作出三个直角三角形中的任意一个即可；求倾角则必须找到相对应坐标差。意一个即可；求倾角则必须找到相对应坐标差。23例题例题1 已知线段的实长已知线段的实长AB及正面投影及正面投影a b ，求它的水平投影。，求它的水平投影。a|zA-zB|abABab|zA-zB|b Xa ObABa24直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：1.从属性：从属性

14、：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。直线上。2.定比性：定比性：从属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。从属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即：即：A C:C B=a c:c b=a c :c b =a c :c b。利用这一特性，利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。否在侧平线上。直线上的点投影特性直线上的点

15、投影特性ABbbaaXOccCc25b Xa abcc 例题例题2 已知线段已知线段AB的投影图，点的投影图，点C将将AB分分成成1:2两段，求分点两段，求分点C的投影。的投影。26例题例题3 已知点已知点C的水平投影且其在线段的水平投影且其在线段AB上，求上，求点点C的正面投影。的正面投影。bXabaccacbcXOABbbaacCcHV27bbXaaBC例题例题4 已知线段已知线段AB的投影，试定出属于线段的投影，试定出属于线段AB的的点点C的投影，的投影，使使BC的实长等于已知长度的实长等于已知长度L。cLAB|zA-zB|cab28两直线的相对位置两直线的相对位置 一、两直线平行一、两

16、直线平行二、两直线相交二、两直线相交三、两直线交叉三、两直线交叉四、交叉两直线上重影点的可见性四、交叉两直线上重影点的可见性例题例题5 例题例题6 例题例题729一、两直线平行一、两直线平行1、两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两一般直、两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两一般直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行；当两直线为线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行；当两直线为投影面平行线时，判断两直线是否平行要观察第三个同面投影。投影面平行线时，判断两直线是否平行要观察第三个同面投影。2、平行两线段之比等于其投影之比。、平行两线段之比等于其投影之比。X

17、baadbbccXbaabdcdcABCD30二、两直线相交二、两直线相交两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线；反之，若两直线在同一投影面上的投属于两直线；反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk31三、两直线交叉三、两直线交叉凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。b Xa abc d dc11(2)2XOBDACbb aa c cdd 211(2)2132四

18、、交叉两直线上重影点的可见性四、交叉两直线上重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd(3)4 1(2)43341 2 12判断重影点的可见性判断重影点的可见性时，需要看重影点在时，需要看重影点在另一投影面上的投影，另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可坐标值大的点投影可见，反之不可见，不见，反之不可见，不可见点的投影加括号可见点的投影加括号表示。表示。33dacboYWYHzXaacddcbb例题例题5 判断两直线的相对位置。判断两直线的相对位置。34例题例题6 判断两直线的相对位置。判断两直线的相对位置。baacddcbX11d1c135例题例题7 7 判断两直线重影点的可见性。判断两直线重影点的可见性。bbcddcXaa3(4)34121(2)