高考数学考点回归总复习第四十四讲空间几何体的表面积与体积ppt课件

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1、第四十四讲第四十四讲 空间几何体的外表积与体积空间几何体的外表积与体积回归课本1.柱体、锥体、台体的侧面积柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和就是各侧面面积之和,外表积是外表积是各个面的面积之和各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和即侧面积与底面积之和.2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展称为它的展开图开图,它的外表积就是展开图的面积它的外表积就是展开图的面积.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及外表积圆柱、圆锥、圆台的侧面积及外表积S圆柱侧圆柱侧=2rl,S柱柱=2r(r+l);S圆锥侧圆锥侧=rl,S锥锥=r(r+l);S圆台侧

2、圆台侧=(r+r)l,S台台=(r2+r2+rl+rl).4.柱、锥、台体的体积柱、锥、台体的体积V长方体长方体=abc,V正方体正方体=a3,V柱柱=Sh,V锥锥=,V台台=(S+S+)h.这是柱体这是柱体 锥体锥体 台体一致计算公式台体一致计算公式,特别的圆柱特别的圆柱 圆锥圆锥 圆圆台还可以分别写成台还可以分别写成:V圆柱圆柱=r2h,V圆锥圆锥=r2h,V圆台圆台=h(r2+rr+r2).13Sh13SS13135.球的体积及球的外表积球的体积及球的外表积设球的半径为设球的半径为R,V球球=R3,S球球=4R2.43考点陪练 2,3,6,.2.3 2.6.61.ABCD一个长方体有公共

3、顶点的三个面的面积分别是则这个长方体对角线的长是2222,2,3,1:ab,6,3c,2 1 36.ababcbaccabc 解析 设长方体的长宽高分别为、由题意不妨设解得所以长方体的对角线长为答案答案:D2.圆台上、下底面面积分别是圆台上、下底面面积分别是、4,侧面积是侧面积是6,这个圆台的这个圆台的体积是体积是()2 3.2 337 37 3.63ABCD211222122211 21222222221222,1,4,2,()6,:r,r,l,h.lhrr,h213,hV(11 22.3,117 3()33332).rrrrrr llh rrrr 圆台解析 设圆台上、下底面半径分别为母线长

4、为 高为则解得由得即故答案答案:D3.用与球心间隔为用与球心间隔为1的平面去截球的平面去截球,所得的截面面积为所得的截面面积为,那么那么球的体积为球的体积为()88 2.3332.8 2.3ABCD3:1,1,RV482,23R3.解析 截面圆的半径为 又球心到截面距离等于 所以球的半径故球的体积答案答案:B4.(2021广州一模广州一模)假设一个几何体的三视图如以下图所示假设一个几何体的三视图如以下图所示(单单位长度位长度:cm),那么此几何体的外表积是那么此几何体的外表积是()A.(80+16 )cm2 B.96 cm2C.(96+16 )cm2 D.112 cm222解析:将几何体复原,

5、如图:该几何体是由边长为4的正方体和一个底面边长为4高为2的正四棱锥构成的,在正四棱锥中,可得2 2,EG 四棱锥的外表积为四棱锥的外表积为S1=4 4 正方体除去一个正方体除去一个面的外表积为面的外表积为S2=542=80,所以此几何体的外表积所以此几何体的外表积答案答案:A122 216 2,80 16 2.S 5.(2021山东临沂二模山东临沂二模)有一个正三棱柱有一个正三棱柱,其三视图如图其三视图如图,那么其那么其体积等于体积等于()3 3.3.1.42ABCD解析解析:由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱,底面三角底面三角形高为形高为2,三棱柱

6、的高为三棱柱的高为 故体积为故体积为答案答案:D3,14 3324.23V类型一类型一棱柱棱柱 棱锥棱锥 棱台的外表积棱台的外表积 体积体积解题预备解题预备:求解有关多面体外表积问题的关键是利用几何图形求解有关多面体外表积问题的关键是利用几何图形的性质找到其特征几何图形的性质找到其特征几何图形,从而表达出高、斜高、边长从而表达出高、斜高、边长等几何元素间的关系等几何元素间的关系,如棱柱的矩形、棱锥中的直角三角如棱柱的矩形、棱锥中的直角三角形、棱台中的直角梯形等形、棱台中的直角梯形等.1.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为2.处理不规那么几何体的问题应留意运用以下方法处理不规那么几何

7、体的问题应留意运用以下方法:(1)几何体的几何体的“分割分割根据知几何体的特征根据知几何体的特征,将其分割成假设干个易于求体积的几何将其分割成假设干个易于求体积的几何体体,进而求解进而求解.(2)几何体的几何体的“补形补形有时为了计算方便有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体可将几何体补成易求体积的几何体,如长如长方体、正方体等方体、正方体等.【典例【典例1】如图如图,三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中中,假设假设E F分别为分别为AB AC的中点的中点,平面平面EB1C1将三棱柱分成体积为将三棱柱分成体积为V1 V2的两部的两部分分,那么那么V1：V2=_.解析解析 设三棱柱的高为设

8、三棱柱的高为h,上下底的面积为上下底的面积为S,体积为体积为V,那么那么V=V1+V2=Sh.E F分别为分别为AB AC的中点的中点,AEF121121.41117SVVShVV:V7(),344125,12:5.Sh SSSSShSh答案答案 7：5.类型二类型二圆柱、圆锥、圆台的外表积、体积圆柱、圆锥、圆台的外表积、体积解题预备解题预备:1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积图的面积,因此弄清侧面展开图的外形及侧面展开图中各因此弄清侧面展开图的外形及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及处理相关线段与原几何体的关

9、系是掌握它们的面积公式及处理相关问题的关键问题的关键.2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题.【典例2】知底面半径为 ,母线长为 的圆柱,挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点,下底面为底面的圆锥,求所得几何体的外表积和体积.3cm6cm 解解 如图如图,圆柱一个底面的面积为圆柱一个底面的面积为S底底=r2=()2=3(cm3).圆柱侧面面积为圆柱侧面面积为:S柱侧柱侧=2 (cm2).所挖圆锥的母线长为所挖圆锥的母线长为 =3(cm).3366 23622:S233cm.:SSSS363cm133223(3

10、.6 23 3)锥侧底柱侧锥侧所挖圆锥的侧面面积为则所得几何体的表面积为3:VVVS1266633SS3cm.262 63柱锥底底底所得几何体的体积类型三类型三球的外表积、体积球的外表积、体积解题预备解题预备:球的外表积与体积都只与半径球的外表积与体积都只与半径R有关有关,是以是以R为自变为自变量的函数量的函数,一个球的半径给定一个球的半径给定,它的外表积、体积随之确定它的外表积、体积随之确定,反过来反过来,给定一个球的外表积或体积给定一个球的外表积或体积,这个球的半径也就确这个球的半径也就确定了定了.【典例3】如图,正三棱锥的高为1,底面边长为 内有一个球与它的四个面都相切.求:(1)棱锥的

11、全面积;(2)内切球的外表积与体积.2 6,222132 62,321(2)3.12 639 2.2132(2 6)9 26 3.2 1S3SSS92FDPD 侧侧全底解底面正三角形的中心到一边的距离为则正三棱锥侧面的斜高为(2)设正三棱锥设正三棱锥PABC的内切球球心为的内切球球心为O,衔接衔接OP OA OB OC,而而O点到三棱锥的四个面的间隔都为球的半径点到三棱锥的四个面的间隔都为球的半径r.VPABC=VOPAB+VOPBC+VOPAC+VOABC2ABCP2-ABC111(3 22 3).333113(2 6)12 3,32222 3)2 3,2 32 3(3 22 3)62,18

12、 123 22 3SSrSr(62)(40 16 6)472 6176(62V(3S433.V).3rrrr侧全内切球内切球又得类型四类型四 由几何体的三视图求几何体的外表积与体积由几何体的三视图求几何体的外表积与体积解题预备解题预备:知空间几何体的三视图求外表积知空间几何体的三视图求外表积 体积是高考调查体积是高考调查的热点的热点,对三视图的运用是解题的关键对三视图的运用是解题的关键.主要表达在以下两主要表达在以下两个方面的运用个方面的运用:一是数据的给出一是数据的给出,经过三视图的长经过三视图的长 宽宽 高高对应出空间几何体的相关长对应出空间几何体的相关长 宽宽 高高,从而求外表积和体从而

13、求外表积和体积积,但是要留意三视图中的数据与原几何体中的数据不一但是要留意三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应定一一对应,识图时留意甄别识图时留意甄别.二是提示空间几何体的构造二是提示空间几何体的构造特征特征.包括几何体的外形包括几何体的外形,平行垂直等构造特征平行垂直等构造特征,这些正是数这些正是数据运算的根据据运算的根据.【典例4】一几何体按比例绘制的三视图如下图(单位:m):(1)试画出它的直观图;(2)求它的外表积和体积.分析 由三视图,正确的画出几何体的直观图,确定几何体中线段的位置关系及数量关系.解 (1)直观图如下图.(2)解法一解法一:由三视图可知该几何体是长方体被截

14、去一个角由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且且该几何体的体积是以该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积为棱的长方体的体积的的在直角梯形在直角梯形AA1B1B中中,作作BEA1B1,那么那么AA1EB是正方形是正方形,AA1=BE=1 在在RtBEB1中中,BE=1,EB1=1BB1=3,42几何体的外表积几何体的外表积S=S正方形正方形AA1D1D+2S梯形梯形AA1B1B+S矩形矩形BB1C1C+S正方形正方形ABCD+S矩形矩形A1B1C1D1=1+2(1+2)1+1+1+12=7+(m2).几何体的体积几何体的体积V=121=(m3),该几何体的外表积为该

15、几何体的外表积为(7+)m2,体积为体积为 m3.12223432232解法二解法二:几何体也可以看作是以几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱为底面的直四棱柱,其其外表积求法同解法一外表积求法同解法一,V直四棱柱直四棱柱D1C1CDA1B1BA=Sh=(1+2)11=(m2).几何体的外表积为几何体的外表积为(7+)m2,体积为体积为 m3.1232232 反思感悟反思感悟 (1)由三视图画几何体的直观图由三视图画几何体的直观图,掌握掌握“长对正、宽长对正、宽相等相等,高平齐的规那么高平齐的规那么,是确定几何体特征的关键是确定几何体特征的关键.(2)把不规那么几何体分割成几个规那么

16、几何体或者是补上一把不规那么几何体分割成几个规那么几何体或者是补上一部分使之成为规那么几何体部分使之成为规那么几何体,是求不规那么几何体常用方是求不规那么几何体常用方法法.错源一错源一问题思索不全问题思索不全【典例【典例1】能否存在这样的球能否存在这样的球,在该球内有间隔为在该球内有间隔为3的两个平的两个平行截面且截面的面积分别为行截面且截面的面积分别为5和和8?假设存在假设存在,求出球面的求出球面的外表积外表积;假设不存在假设不存在,请阐明理由请阐明理由.错解 假设存在满足题意的球,过圆心与截面的圆心作球的轴截面,如图.圆O是球的大圆,A1B1,A2B2分别是两个平行截面圆的直径,C1,C2

17、分别是两个截面圆的圆心,设两截面圆的半径分别为r1,r2,(r1r2),由题意可得 又 此方程无解,所以满足题意的球不存在.,2212r8 r52222213,RrRr 分析分析 错解只思索了两个平行截面都在球心同一侧的情形错解只思索了两个平行截面都在球心同一侧的情形,现实上两个平行截面不一定都在球心的同一侧现实上两个平行截面不一定都在球心的同一侧.正解 假设存在满足题意的球.(1)假设两个平行截面都在球心的同一侧假设两个平行截面都在球心的同一侧,那么解法同错解那么解法同错解.(2)假设两个平行截面在球心两侧假设两个平行截面在球心两侧,过圆心与截面的圆心作球过圆心与截面的圆心作球的轴截面的轴截

18、面,如图如图.圆圆O是球的大圆是球的大圆,A1B1,A2B2分别是两个平行分别是两个平行截面圆的直径截面圆的直径,C1,C2分别是两个截面圆的圆心分别是两个截面圆的圆心,设两截面圆设两截面圆的半径分别为的半径分别为r1,r2(r1r2).由题意可得由题意可得 又又 解得解得R2=9,所以球的外表积所以球的外表积S=4R2=36.综上可得综上可得,存在满足题意的球存在满足题意的球,该球的外表积为该球的外表积为36.,2212r8 r52222213,RrRr错源二错源二对三视图的构成认识不清对三视图的构成认识不清【典例【典例2】设某几何体的三视图如图设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为尺寸的

19、长度单位为m).那么该几何体的体积为那么该几何体的体积为_m3.错解错解 该几何体为三棱锥该几何体为三棱锥,底面为腰为底面为腰为4,底为底为3的等腰三角形的等腰三角形,高为高为2.分析分析 把正视图看成三棱锥的一个面呵斥误解把正视图看成三棱锥的一个面呵斥误解.三视图中的三视图中的每一个视图都是整个几何体在某一屏幕上的投影每一个视图都是整个几何体在某一屏幕上的投影,不一定不一定是某个面留下的投影是某个面留下的投影.这类问题不能孤立的分析某一视图这类问题不能孤立的分析某一视图.311555523().3222Vm 正解正解 由三视图可知原几何体是一个三棱锥由三视图可知原几何体是一个三棱锥,由由“长

20、对正长对正,宽相宽相等等,高平齐的原那么可知三棱锥的高为高平齐的原那么可知三棱锥的高为2,底面三角形的底底面三角形的底边长为边长为4,高为高为3,那么所求棱锥的体积为那么所求棱锥的体积为V=342=4.答案答案 41132技法一技法一等积转化思想方法等积转化思想方法【典例【典例1】如图如图,一个三棱柱容器中盛有水一个三棱柱容器中盛有水,且侧棱且侧棱AA1=8,假假设设AA1B1B程度放置时程度放置时,液面恰好过液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点的中点,那么当底面那么当底面ABC程度放置时程度放置时,液面的高为多少液面的高为多少?解解 当当AA1B1B程度放置时程度放置时,纵截面中水

21、的面积占纵截面中水的面积占1-所以水的体积与三棱柱体积比为所以水的体积与三棱柱体积比为 当底面当底面ABC程度放程度放置时置时,液面高度为液面高度为8 =6.方法与技巧方法与技巧 容器中水的体积不会减少容器中水的体积不会减少,运用等积思想可不运用等积思想可不用计算体积用计算体积,而经过体积比进而化为高度比而经过体积比进而化为高度比.13,443.434技法二技法二巧解三棱锥的体积巧解三棱锥的体积【典例【典例2】知正三棱锥知正三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直的三条侧棱两两垂直,侧棱长侧棱长都等于都等于a,如图如图1,求此三棱锥的体积求此三棱锥的体积.解解 解法一解法一:设顶点设顶点P在底面在底面

22、ABC上的射影为上的射影为O,那么那么O为为ABC的中心的中心,衔接衔接CO延伸交延伸交AB于于M,衔接衔接PM,那么那么CMAB且且M为为AB的中点的中点.在在ABC中中,易求得易求得222P ABCABC23Rt PMO,P116.3363,31.36OVSPOOMMCACAMaPMMOaa在中所以解法二解法二:转换三棱锥顶点转换三棱锥顶点,如图如图2.由于由于APPBPC,所以三棱锥所以三棱锥APBC的高为的高为PA,底面底面PBC为直角三角形为直角三角形.所以所以VPABC=VAPBC=SPBCAP133211.326aaa解法三解法三:由三棱锥由三棱锥PAPBPC,易联想到以易联想到

23、以PBC为底面可以补为底面可以补成三棱柱成三棱柱ABC-PBC,如图如图3,它与三棱锥它与三棱锥APBC的高均为的高均为AP,底面为底面为PBC,易知锥体的体积是与其等底等高的柱体体积易知锥体的体积是与其等底等高的柱体体积的的1,3P ABCA PBCAB CPB3C136V.VVa 于是 方法与技巧 该题标题虽小,但其解法涵盖了求解几何体体积常用的几种思想方法.解法一是直接法,它是对应体积公式的通法;解法二是等体积转化法,针对锥体的几何特点,变换顶点,体积不变.解法三是补形法,这是直接法遇阻时经常采用的间接求解战略.诸如还可将三棱锥补构成为四棱柱,三棱柱补构成为平行六面体等,与此法相对的还有分割法,即将一个几何体分割成几部分来进展求解.