311倾斜角与斜率课件（人教A版必修2）

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1、 在平面直角坐标系中，给定一条直线在平面直角坐标系中，给定一条直线l.问题问题1：若直线：若直线l过点过点P，直线，直线l的位置能够确定吗？的位置能够确定吗？提示：不能提示：不能 问题问题2：过点：过点P可作与可作与l相交的直线多少条？相交的直线多少条？提示：无数条提示：无数条 问题问题3：对于上述问题中的所有直线怎样描述它们：对于上述问题中的所有直线怎样描述它们的倾斜程度？的倾斜程度？提示：可利用直线相对于提示：可利用直线相对于x轴的倾斜角度轴的倾斜角度 (1)倾斜角的定义：当直线倾斜角的定义：当直线l与与x轴相轴相交时，取交时，取x轴作为基准，轴作为基准，x轴轴 与与直线直线l 方向之间所

2、成的角叫做直线方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角如图所示，直线的倾斜角如图所示，直线l的倾斜角是的倾斜角是APx，直线，直线l的倾斜角是的倾斜角是BPx.正方向正方向向上向上 1 1倾斜角倾斜角 1)1)理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：角的顶点是直线与角的顶点是直线与x x轴的交点；角的一条边的方向是轴的交点；角的一条边的方向是指向指向x x轴正方向；角的另一边的方向是由顶点指向直轴正方向；角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向线向上的方向2)(1)从运动变化的观点来看，当直线与从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直轴相交时，直线的倾斜角是

3、由线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到直线重合轴按逆时针方向转动到直线重合时所成的角时所成的角(2)倾斜角直观地描述表示了直线对倾斜角直观地描述表示了直线对x轴正方向的倾斜轴正方向的倾斜程度程度(3)不同的直线可以有相同的倾斜角不同的直线可以有相同的倾斜角 (2)倾斜角的范围：直线的倾斜角倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围的取值范围是是 ，并规定与，并规定与x轴平行或重合的直轴平行或重合的直线的倾斜角为线的倾斜角为0.0180(3)倾斜角与直线形状的关系倾斜角与直线形状的关系倾斜角倾斜角00909090180直线直线例例1下列说法正确的是下列说法正确的是 ()A每一条直线都唯一对应一个倾斜角

4、每一条直线都唯一对应一个倾斜角B与坐标轴垂直的直线的倾斜角为与坐标轴垂直的直线的倾斜角为90C与坐标轴平行的直线的倾斜角为与坐标轴平行的直线的倾斜角为0或或180D若直线的倾斜角为若直线的倾斜角为，则，则sin 0 变式变式1：给出下列命题：给出下列命题：任意一条直线有惟一的倾斜角；任意一条直线有惟一的倾斜角；一条直线的倾斜角可以为一条直线的倾斜角可以为30；倾斜角为倾斜角为0的直线只有一条，即的直线只有一条，即x轴；轴；按照直线的倾斜角概念，直线集合与集合按照直线的倾斜角概念，直线集合与集合|0180建立了一一对应的关系；建立了一一对应的关系；若直线的倾斜角为若直线的倾斜角为，则，则sin(

5、0,1)；若若是直线是直线l的倾斜角，且的倾斜角，且sin ，则，则45.正确的命题是正确的命题是_变式变式2直线直线l经过第二、四象限，则直线经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的倾斜角的的范范围是围是 ()A090B90180C90180 D0180解析：解析：直线倾斜角直线倾斜角的取值范围是的取值范围是0180，又，又直线直线l经过第二、四象限，所以直线经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是的倾斜角范围是90180.答案：答案：C变式变式3.3.已知等边三角形已知等边三角形ABCABC，若直线，若直线ABAB平行于平行于y y轴，则轴，则CC的平分的平分线所在的直线的倾斜角为线所在的直

6、线的倾斜角为_，另两边，另两边ACAC，BCBC所在的直线所在的直线的倾斜角为的倾斜角为_._.【解题指南】【解题指南】.解答本题的关键是画出图形，结合倾斜角的定义求解解答本题的关键是画出图形，结合倾斜角的定义求解.解析直线解析直线ABAB平行于平行于y y轴，则轴，则CC的平分线所在的直线平行于的平分线所在的直线平行于x x轴，倾斜角为轴，倾斜角为0 0，画简图如下：，画简图如下：可知，可知，ACAC，BCBC所在的直线均与所在的直线均与CC的平分线所在的直线成的平分线所在的直线成3030角，所以它们的倾斜角分别为角，所以它们的倾斜角分别为3030，150150.答案：答案：0 0 30 3

7、0,150,150【技法点拨】【技法点拨】求直线倾斜角的方法及关注点求直线倾斜角的方法及关注点 问题问题1 1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以提示：可以 问题问题2 2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以提示：可以 问题问题3 3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提

8、示：与倾斜角的正切值相等提示：与倾斜角的正切值相等 (1)斜率的定义：一条直线的倾斜角斜率的定义：一条直线的倾斜角的的 值叫值叫做这条直线的斜率常用小写字母做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即表示，即k .(2)斜率公式：经过两点斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为的直线的斜率公式为k .当当x1x2时，直时，直线线P1P2没有斜率没有斜率 (3)斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的直线的 正切正切tan 倾斜程度倾斜程度1斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式

9、中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是 y2y1，分母必须是 x2x1；反过来，如果分子是y1y2，分母必须是 x1x2，即 ky1y2x1x2y2y1x2x1.(2)(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值一看，用斜率公式时要一看，二用，三求值一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式的值，尤其是点的坐标中含有

10、参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论时要对参数进行讨论2 2倾斜角倾斜角与斜率与斜率k k的关系的关系直线直线特点特点平行于平行于x轴轴由左向由左向右上升右上升垂直于垂直于x轴轴由左向右由左向右下降下降的的大小大小009090900不存在不存在k0k的增的增减性减性随随的增的增大而增大大而增大随随的增的增大而增大大而增大例 2.已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于 1，则 m 的值是()A5B8C.132D7答案：答案：C变式变式1：若过点若过点(a，2)和和(4，a)的直线斜率不存在，的直线斜率不存在，则则a_.解析：解析：直线的斜率不存在，所以直线所过两点的直线的斜率不存在

11、，所以直线所过两点的横坐标相同，即横坐标相同，即a4.答案：答案：4变式变式2：如果三点如果三点A(2,1)，B(2，m)，C(6,8)在同在同一条直线上，求一条直线上，求m的值的值 变式变式3：已知已知A(m，m3)，B(2，m1)，C(1,4)，直线直线AC的斜率等于直线的斜率等于直线BC的斜率的的斜率的3倍，求倍，求m的值的值 思路点拨思路点拨本题可由直线的斜率公式分别写出直线本题可由直线的斜率公式分别写出直线AC及及BC的斜率，从而建立关于的斜率，从而建立关于m的方程求解的方程求解【技法点拨】【技法点拨】计算斜率的三步骤计算斜率的三步骤(1)(1)给直线上两点的坐标赋值给直线上两点的坐

12、标赋值x x1 1,x,x2 2,y,y1 1,y,y2 2.(2)(2)计算计算x x2 2-x-x1 1，若，若x x2 2-x-x1 1=0=0，则判断，则判断“斜率不存在斜率不存在”.()若若x x2 2-x-x1 100，则，则提醒：提醒：根据含有参数的点求直线斜率，注意斜率不存在时情根据含有参数的点求直线斜率，注意斜率不存在时情况的讨论况的讨论.2121yykxx例例3 3.1.1.已知点已知点A(-1,2),B(3,0),P(-2,-3),A(-1,2),B(3,0),P(-2,-3),经过点经过点P P的直线的直线l与与线段线段ABAB有公共点有公共点,则直线则直线l的斜率的斜

13、率k k的取值范围为的取值范围为.2.2.已知已知A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三点三点,证明这三点在同一条证明这三点在同一条直线上直线上.【解析】【解析】1 1如图所示：如图所示：因为点因为点A(-1,2)A(-1,2)，B(3,0),B(3,0),P(-2,-3),P(-2,-3),所以所以 由图可知由图可知k kPBPBk kk kPAPA,所以所以 k k5.5.答案：答案：k k5 5PA3 2k5,2(1)PB3 03k2 35 ，35352.2.因为因为A(-3,-5),B(1,3),C(5,11),A(-3,-5),

14、B(1,3),C(5,11),所以所以所以所以k kABAB=k=kBCBC，且直线，且直线ABAB，BCBC有公共点有公共点B B，所以所以A,B,CA,B,C这三点在同一条直线上这三点在同一条直线上.ABBC3(5)11 3k2,k2,1(3)5 1 变式变式1 1：若把题若把题1 1中的点中的点P P的坐标改为的坐标改为(2,-1)(2,-1)，试求出直，试求出直线线l的斜率的斜率k k的取值范围的取值范围【解析】【解析】由图可知：直线由图可知：直线PBPB的斜率的斜率k kPBPB=直线直线PAPA的斜率的斜率k kPAPA=要使直线要使直线l与线段与线段ABAB有有公共点，则直线公共

15、点，则直线l的斜率的斜率k k的取值范围是的取值范围是k-1k-1或或k1k11 01 02 3，1 21 02(1)，变式 2：已知实数 x，y 满足 y2x8，且 2x3，求yx的最大值和最小值思路点拨(1)点(x，y)的变化规律，在 AB 上运动，A(2,4)，B(3,2)(2)yx的几何意义，yxy0 x0，即 OP 的斜率变式 3点 M(x，y)在函数 y2x8 的图象上，当 x2,5时，求y1x1的取值范围3利用斜率证明三点利用斜率证明三点A、B、C共线的步骤共线的步骤(1)计算过任意两点的直线的斜率，如计算过任意两点的直线的斜率，如kABkAC；(2)说明两直线过公共点，即直线重合；说明两直线过公共点，即直线重合；(3)得出结论得出结论