【考研数学】143分牛人的重点及难点归纳辅导笔记(精品)

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1、鲤鱼网（）数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合与映射1.集合2.映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。1.实数系的连续性2.数列极限3.无穷大量4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。第三章函数极限与连续函数1.函数极限2.连续函数3.无穷小量与无穷大量的阶4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。第四章微分1.微分和导数2.

2、导数的意义和性质3.导数四则运算和反函数求导法则4.复合函数求导法则及其应用5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。第五章微分中值定理及其应用1.微分中值定理2.LHospital 法则3.插值多项式和Taylor 公式4.函数的Taylor 公式及其应用5.应用举例 6.函数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor 公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用LHospital 法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。第六章不定积分1.不定积分的概念和运算法则2.换元积分

3、法和分部积分法3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。第七章定积分（1 3）1.定积分的概念和可积条件2.定积分的基本性质3.微积分基本定理第七章定积分（4 6）4.定积分在几何中的应用5.微积分实际应用举例6.定积分的数值计算本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。第八章反常积分1.反常积分的概念和计算2.反常积分的收敛判别法本章教学要求：掌握反常积分

4、的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。第九章数项级数1.数项级数的收敛性2.上级限与下极限3.正项级数4.任意项级数5.无穷乘积本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。第十章函数项级数1.函数项级数的一致收敛性2.一致收敛级数的判别与性质3.幂级数 4.函数的幂级数展开5.用多项式逼近连续函数本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。第十一章Euclid 空间上

5、的极限和连续1.Euclid 空间上的基本定理2.多元连续函数3.连续函数的性质本章教学要求：了解Euclid 空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。第十二章多元函数的微分学（15）1.偏导数与全微分2. 多元复合函数的求导法则3.Taylor 公式4.隐函数5.偏导数在几何中的应用第十二章多元函数的微分学（67）6.无条件极值7.条件极值问题与Lagrange 乘数法本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握

6、求多元函数无条件极值与条件极值的方法。第十三章重积分1.有界闭区域上的重积分2.重积分的性质与计算3.重积分的变量代换4.反常重积分5.微分形式本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。第十四章曲线积分与曲面积分1.第一类曲线积分与第一类曲面积分2.第二类曲线积分与第二类曲面积分3.Green 公式，Gauss 公式和Stokes 公式4.微分形式的外微分5.场论初步 本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握Green 公式，Gauss公式和Stokes 公式

7、的意义与应用，理解外微分的引入在给出Green 公式，Gauss 公式和Stokes公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。第十五章含参变量积分1.含参变量的常义积分2.含参变量的反常积分3.Euler 积分本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握Euler积分的计算。第十六章Fourier 级数1.函数的Fourier 级数展开2. Fourier 级数的收敛判别法3. Fourier 级数的性质4. Fourier 变换和Fourier 积分5.快速Fourier 变换

8、本章教学要求：掌握周期函数的Fourier 级数展开方法，掌握Fourier 级数的收敛判别法与Fourier 级数的性质，对Fourier 变换与Fourier 积分有一个初步的了解。试题一、解答下列各题1、求极限lim tan tansin ln( ).xx x2 212、(e x 1)3e x dx. 求 +3、求极限lim x . . .x x x x x+ + + +100 10 101 0 01 0 00123 24、设y x tdt，求y x = 302 sin25、设， ；，f x 求，其中x x xx x x( ) = f ( a) f ( a) a + + + 221 12

9、 11 1 06、求极限limx lnx x12 17、设y = (3x + 1) ln(3x + 1)，求y 8、求dxxx 2 10 2319、设y x x e x，求dy x ( ) = =3 21 10、求由方程常数确定的隐函数的微分x y a ay y x dy23232+ = 3 0=( )( )11、设由和所确定试求y y x x s y sdydx= ( ) = (1+ 2 ) 1 = (1 ) ,2 2 1212、设y y x 由方程y e 所确定求yx y= = x +( ) ,13、若x 0 证明x + 1+ x 2x , 2 ln( )214、求 +161 4 x xd

10、x15、求 21 x 4 x 2dx16、.( 1)( 1)d 2 x + x +x 求二、解答下列各题1、要做一个圆锥形漏斗,其母线长20cm,要使其体积最大,问其高应为多少?2、求曲线y = 2 x 2与y = x 所围成的平面图形的面积.3、求曲线y = x 2和y = x 3在0,1上所围成的平面图形的面积.三、解答下列各题证明方程x 5 7x = 4在区间(1，2)内至少有一个实根四、解答下列各题判定曲线y = (x + 3) x在0，+ )上的凹凸性第二部分（1） 课程名称：微分几何（2） 基本内容：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有：曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长

11、；主法向量与从法向量；曲率与扰率；Frenet标架与Frenet 公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质， 如切线的旋转指标定理， 凸曲线的几何性质， 等周不等式， 四顶点定理与Cauchy-Crofton 公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton 公式，Fenchel 定理与Fary-Milnor 定理。曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten 变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss 曲率

12、和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss 映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss 曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。基本要求：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。二、讲授纲要第一章三维欧氏空间的曲线论1 曲线曲线的切向量弧长教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线。2 主法向量与从法向量曲率与扰率教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概

13、念，会计算曲率与挠率。3 Frenet标架Frenet 公式教学要求：掌握Frenet 公式，能运用Frenet 公式去解决实际问题。4 曲线在一点邻近的性质教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。5 曲线论基本定理教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线。6 平面曲线的一些整体性质61 关于闭曲线的一些概念62 切线的旋转指标定理63 凸曲线*64 等周不等式*65 四顶点定理*66 Cauchy-Crofton公式*教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲 率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体

14、性质：简单闭曲线切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton 公式。7 空间曲线的整体性质71 球面的Crofton公式*72 Fenchel定理*73 Fary-Milnor定理*教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的Crofton 公式，Fenchel 定理与Fary-Milnor 定理。第二章三维欧氏空间中曲面的局部几何1 曲面的表示切向量法向量11 曲面的定义12 切向量切平面13 法向量14 曲面的参数表示15 例16 单参数曲面族平面族的包络面可展曲面教学要求：掌握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；

15、了解旋转曲面与直纹面的表示；掌握可展曲面的特征。2 曲面的第一、第二基本形式21 曲面的第一基本形式22 曲面的正交参数曲线网23 等距对应曲面的内蕴几何24 共形对应25 曲面的第二基本形式教学要求：掌握曲面的第一基本形式及相关量曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距对应与共形对应；掌握第二基本形式。3 曲面上的活动标架曲面的基本公式31 省略和式记号的约定32 曲面上的活动标架曲面的基本公式33 Weingarten变换W34 曲面的共轭方向渐近方向渐近线教学要求：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲线网的联络系 数；理解Weingart

16、en 变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简单曲线的渐近曲线。4 曲面上的曲率41 曲面上曲线的法曲率42 主方向主曲率43 Dupin标线44 曲率线45 主曲率及曲率线的计算总曲率平均曲率46 曲率线网47 曲面在一点的邻近处的形状48 Gauss映照及第三基本形式49 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面教学要求：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行计算；掌握Gauss 映照及第三基本形式；能对全脐曲面与总曲率为零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会求一些简单的极小曲面。5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理51 曲面的基本方程52 曲面论的

17、基本定理教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。6 测地曲率测地线61 测地曲率向量测地曲率62 计算测地曲率的Liouville公式63 测地线64 法坐标系测地极坐标系测地坐标系65 应用66 测地扰率67 Gauss-Bonnet 公式教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville 公式计算测地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部）Gauss-Bonnet 公式。7 曲面上的向量的平行移动71 向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分 72 绝对微分的性质73 自平行

18、曲线74 向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示75 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。习题：1. 证明推论2.3.1，2. 设X，Y 为Banach 空间， x(t ) : a,b X 是连续抽象函数, 对有界线性算子T : X Y ，证明：Tx 在a,b上R 可积，并且 = babaTx(t )dt T x(t )dt。3. 设Ca,b到Ca,b中的算子T 由= + ta(Tx )(t ) (1 s 2 )x(s)2ds 给出，T 在任一元素x处是否F 可导？若答案肯定，求导算子T (x)。4. 设f 是Rn 到R

19、 中的一个C1映射。证明： f 在x Rn 0 处沿方向h Rn 的G 微分( ; ) 0 df x h 等于grad f (x0) hT,这里grad f =（xnfxfxfxf, , ,L1 2 3）, ( , , ) ; 1 2 n h = h h Lh在e n n f x x x x x x x x 1 3 1 2 3 1 ( ; , ) L = + +L+ 和h = (1,2,3,0,0,L,0,1),( , 1, ,3,2,1) x0 = n n L 的情况下计算( ; ) 0 df x h ，又问： f 在x Rn 处的F 导数是什么？当nn f x = x + x + x 3

20、+L+ x321 2 ( ) 时求f (x )。5. 设T :R 2 R 3由T (x, y) = (x 2 y 2 , xy 2 + 3y,4x + 5y )定义，求T 在（1，2）处沿方向（1，1）的G 微分。解： 写 += x yxy yx yyxT4 52 32 2， 知 += 4 52 32 2y 2 xyx yyxT ， 故所求G 微分为 = = 152114 54 12 41121T 。 6. 设X 、Y 是赋范线性空间，T ：X Y 由Tx = Ax + y ,x X 0 定义，其y Y 0 ，AB(X, Y )，证明T 在x X 处F 可微，且求其F 导算子。解：o o o

21、x X ,h X ,T (x + h) T (x) = A(x + h ) + y (Ax + y ) = Ax + Ah + y Ax y = Ah + o ，由于A B(X, Y )，且h 0 0, ( h 0),T 1 = 在x 处是F 可微的，且T (x) = A。7. 设T :R 3 R 2 由T (x, y , z)= (3x 2 2y , y 2 + 2xz)R 2 ,(x, y, z)R 3确定，求T 在（1，2，1）处的F 导数。解：采用列向量表示，T 将 zyx变换成+y xzx y23 222，故T 在 zyx处的F 导数应是变换T 的Jacobi 矩阵 z y xx2

22、2 26 2 0，在) 1 , 2 , 1 ( ) , , ( = z y x 处，此矩阵为 2 4 26 2 0，在列向量表示下，T 在（1，2，1）处的F 导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换：, ,2 4 26 2 0 3321321321Rhhhhhhhhh a 右端即21 2 31 2 2 4 26 2 R h h hh h + + 故T 在（1，2，1）处的F 导数就是将( , , ) 1 2 3 h h h 变换为(6 2 , 2 4 2 ) 1 2 1 2 3 h h h + h + h 的线性变换。备注1：这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。备注2：当T :R 3 R

23、2表示为2 3222 ,3 2 Rzyxy xz Rx yzyxT += ，我们可得T 在 zyx处的F 导数是： = z y xxzyxT2 2 26 2 0，即3321321321 ,2 2 26 2 0Rh h hh h hz y xxh h hzyxT = ，故= 321121hh hT 33211 2 321 42 2 ,6 2 Rh h hh h hh h + +或 = 2 4 26 2 0121T ，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表示。 第三部分1. 高等代数基本定理设K 为数域。以Kx 表示系数在K 上的以x 为变元的一元多项式的全体。如果( ) . , ( 0) 0

24、10 1 f x = a x + a x + + a K x a nn n ，则称n 为f (x)的次数，记为deg f (x)。定理（高等代数基本定理） Cx的任一元素在C中必有零点。命题设( ) . , ( 0 1) 010 1 f x = a x + a x + + a a n nn n ， 是C上一个n 次多项式，a 是一个复数。则存在C 上首项系数为0 a 的n 1次多项式q(x)，使得f (x) = q(x)(x a) + f (a)证明对n 作数学归纳法。推论0 x 为f (x)的零点，当且仅当( ) 0 x x 为f (x)的因式（其中deg f (x) 1）。命题（ 高等代数

25、基本定理的等价命题） 设nf (x) = a x n + a x n1 + . + a0 1( 0 1) 0 a ，n 为C上的n 次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n 个复数n a ,a ,., a 1 2 ，使( ) ( )( ).( ) 0 1 2 n f x = a x x x 证明利用高等代数基本定理和命题1.3，对n 作数学归纳法。2高等代数基本定理的另一种表述方式定义设K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式. 0 110 1 + + + + = n na x n a x n a x a （1）（其中, ,., , 0 0 1 0 a a a K a n ）称为数

26、域K 上的一个n 次代数方程；如果以x = K 带入（1）式后使它变成等式，则称 为方程（1）在K 中的一个根。定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K 上的n (1) 次代数方程在复数域C内必有一个根。命题n 次代数方程在复数域C 内有且恰有n 个根（可以重复）。命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C 上两个n 次、m 次多项式( ) . ( 0) 0 1 = + + + nnn f x a a x a x a ，( ) . ( 0) 0 1 = + + + mmm g x b b x b x b ， 如果存在整整数l ,l m, l n ,及l + 1个不同的复数1 2 1

27、 , ,., , l l + ，使得f ( ) = g ( ) (i =1,2,., l + 1) i i ，则f (x) = g (x)。1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性设10 1 ( ) n nn f x = a x +a x +L+a ， 其中0 , 0 i a K a 。设f (x) = 0 的复根为1 2 , , , n L （可能有重复），则1 20 111 2 1 21 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .ni nin nn nf x x x x xax x = = = + + + + + LL L L所以( 1) ( ) 1 2101n aa = + +

28、L+ ； = i i ni i aa1 21 20202 ( 1) ；LLLLLLLL( 1) . 1 20nn naa = L我们记( , , , ) 1 0 1 2 = n L ；n n 1 1 2 L =1 + 2 +L+ ( , , , ) ；LLLLLLLL =i i i nr n i i irrLL L1 21 201 2 ( , , , ) ；LLLLLLLLn n n 1 2 L 1 2L ( , , , ) =（ 1 2 , , , n L 称为1 2 , , , n L 的初等对称多项式）。于是有定理2.5 (韦达定理) 设10 1 ( ) n nn f x = a x +

29、a x +L+a ，其中0 , 0 i a K a 。设f (x) = 0的复根为1 2 , , , n L 。则 ( 1) ( , , , ) 1 1 2101n aa = L ；( 1) ( , , , ) 2 1 2202n aa = L ；LLLLLLLL( 1) ( , , , ). 1 20n nn naa = L 命题给定R 上n 次方程. 0 110 1 + + + + = n na x n a x n a x a ， 0 0 a ，如果 = a + b i是方程的一个根，则共轭复数 = a b i 也是方程的根。证明由已知，10 1 1 n n . 0n n a a a a

30、+ + + + = .两边取复共轭，又由于 n a ,a ,., a 0 1 R，所以10 1 1 n n . 0n n a a a a + + + + = .高等代数试题设 L(V ), V ，并且 ， ( )， k 1 ( )都不等于零，但 k ( ) = 0，证明： ， ( )， k 1 ( )线性无关答案：按线性无关的定义证明2、令F x n 表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间， : f (x)a f (x)，求 关于以下两个基的矩阵：（1）1，x ，x 2，x n ，（2）1，x c ，2!(x c)2，!( )nx c n，c F 答：（1） 0 0 0 00

31、 0 00 0 2 00 1 0 0LLL L L L LLLn（2） 0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0LLL L L L LLL3、F 4表示数域F 上四元列空间取 =1 3 9 73 1 8 11 1 2 31 1 5 1A 对于 F 4，令 ( ) = A求dim(ker( )，dim(Im( )解：R(A) = 2，取F 4的一个基（如标准基），按列排成矩阵B，矩阵AB 的列向量恰是这个基的象。又B 0，所以R(AB)R（A）2 所以dim(Im( )2dim(ker( ) =解空间的秩= 4 R(A) = 24、设F 上三维向量空间的线性变换 关于基 1 2

32、3 , , 的矩阵是 8 7 620 15 815 11 5，求 关于基3 1 2 32 1 2 31 1 2 32 23 42 3 = + += + += + +的矩阵 = =321B T 1AT =1 1 23 4 22 3 1T5、令 是数域F 上向量空间V 的一个线性变换，并且满足条件，证明：（1）ker( ) = ( ) V （2）V = ker( ) Im( )证明：（1） ( ) V ，则 ( ) = ( ( ) = ( ) 2 ( ) = ( ) ( ) = 0， Ker ( )反之， Ker ( )， ( ) = 0， = ( ) ( ) V 于是ker( ) = ( ) V V , = ( ) + ( )，即V = ker( ) + Im( )设 ker( ) Im( ) 由 Im( ) ， 有 V ， 使得 ( ) = , 2 ( ) = ( ),因 2，所以（）（）又 ker( )，所以（）0，于是（）0，即0 所以ker( ) Im( )06、设 = 3 6 13 5 04 6 0A ，求A10解：特征值121，3 2特征向量1（0，0，1）T 2（ 2，1，0）T ，3（1，1，1）TP（1， 2，3）则P 1AP = ，A10 = P10P1成功在于执着