医用高等数学课件：定积分

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1、医用高等数学”医用高等数学一、定积分的概念一、定积分的概念 二、定积分的性质二、定积分的性质 第二节第二节 定积分定积分三、牛顿三、牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式 四、定积分的换元法和分部积分法四、定积分的换元法和分部积分法医用高等数学一、定积分的概念一、定积分的概念 曲边梯形曲边梯形 设函数设函数y f(x)在区间在区间a,b上非负、连续上非负、连续.由直线由直线x a、x b、y 0及曲线及曲线y f(x)所围成的图形称为曲边梯形所围成的图形称为曲边梯形.Ox y y=f(x)a b医用高等数学Ox y y=f(x)a bOx y y=f(x)a bOx y y=f(x)a bOx y y

2、=f(x)a bOx y y=f(x)a b怎样求曲边梯形的面积？看下面的动画演示怎样求曲边梯形的面积？看下面的动画演示:Ox y y=f(x)a b 分割越细分割越细,小矩形面积的和越趋近于曲边梯形的小矩形面积的和越趋近于曲边梯形的面积面积.医用高等数学求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 (1)分割分割:a x0 x1 x2 xn 1 xn b,D,Dxi xi xi 1;小曲边梯形的面积近似为小曲边梯形的面积近似为f(x xi)D Dxi (xi 1 x xi xi););(2)近似代替近似代替:(4)取极限取极限:设设 maxD Dx1,D Dx2,D Dxn,曲边梯形的面积为曲边梯形的面

3、积为 (3)求和求和:曲边梯形的面积近似为曲边梯形的面积近似为 ;DniiixfA10)(limx niiixfS10)(limDx x y=f(x)x yObaxixi+1x xi医用高等数学求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值程的精确值路程路程=速度速度X X时间时间解决变速运动的路程的基本思路解决变

4、速运动的路程的基本思路 设某物体做变速直线运动设某物体做变速直线运动,其速度为其速度为 .求在时求在时间间隔间间隔 内所走过的路程内所走过的路程,其中其中 为区间为区间 上的上的非负连续函数非负连续函数.()vv t12,T T()v t12,T T医用高等数学(1)分割分割101212nnTtttttT(3)求和求和1()niiiSvtD(4)取极限取极限12max,ntttDDD01lim()niiiSvtD路程的精确值路程的精确值1iiitttD()iiisvtDD(2)近似近似tOtn=t1ti1 titn1 i1T2T0t医用高等数学上述两个问题的上述两个问题的共性共性:解决问题的方

5、法步骤相同解决问题的方法步骤相同 :“分割分割 ,近似近似 ,求和求和 ,取极限取极限 ”所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的极限问许多问题的解决都可以化为上述特定和式的极限问题，将其一般化，就得到定积分的概念题，将其一般化，就得到定积分的概念.曲边梯形的面积曲边梯形的面积 niiixfS10)(limDx x 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 01lim()niiiSvtD医用高等数学1()niiifxxD 定义定义3-3 设设 在区间在区间 上有定义上有定义,用用 个分个分点点 ,将区间将区间 分成分成

6、小区间小区间,记记 ,任取点任取点 ,作和式作和式()f x,a b012naxxxxb,a b1iiixxxD1,iiixxx1nn(1,2,)in01()lim()nbiiaif x dxfxxD 记记 ,如果无论区间如果无论区间 如何分法如何分法,点如点如何取法何取法,当当 时时,和式的极限存在和式的极限存在,则称此极限为则称此极限为 在区间在区间 上的上的定积分定积分,记作记作 ,即即1maxii nx Dix,a b,a b()baf x dx0()f x医用高等数学被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量,a b 积分区间积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和医用

7、高等数学 (2)(2)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即与积分变量的记法无关，即根据定积分的定义，曲边梯形的面积为根据定积分的定义，曲边梯形的面积为()baSf x dx变速直线运动的路程为变速直线运动的路程为()21TTSv t dt()()()bbbaaaf x dxf t dtf u du注意注意:(1):(1)定义中区间的分法和定义中区间的分法和 的取法是任意的的取法是任意的.ix(3)(3)时时,规定规定ab()0baf x dx 时时,规定规定ab()()baabf x dxf x dx 医用高等数学例例3-36

8、 3-36 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx iixn解解 (1)(1)分割分割 将将 等分等分,分点为分点为 n0,1(1,2,)in,小区间小区间 的长度的长度 1,iixx1ixnDo12yx1ininisD (2)近似近似 取取iixx21()()iiiisfxnnxDD(3)(3)求和求和1()niiifxxD211niinn医用高等数学2311niin31(1)(21)6n nnn111126nn111lim126nnn13120 x dx01lim()niiifxxD所以所以0n(4)取极限取极限 当当医用高等数学定积分的几何意义定积分的几何意义 当当f(x)0

9、时时,f(x)在在a,b上上的定的定积分表示由曲线积分表示由曲线y f(x)、直线直线x a、x b与与x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积.当当f(x)0时时,f(x)在在a,b上上的定的定积分表示曲边梯形面积积分表示曲边梯形面积的负值的负值,即即()baf x dxSOx y y=f(x)a bS医用高等数学O y x 当当f(x)在区间在区间a,b上时正时负上时正时负,则定积分则定积分 表示表示曲线曲线y=f(x)与与x 轴介于轴介于a、b之间的各部分面积的代数和之间的各部分面积的代数和.()baf x dx()123bafx dxSSSb y=f(x)a1S2S3SOx

10、y y=f(x)a bS()baf x dxS 医用高等数学二、定积分的性质二、定积分的性质 (为常数为常数).性质性质3-53-5()()bbaakf x dxkf x dxk注意：注意：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.,a b c性质性质3-73-7 定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性性质性质3-63-6()()d()d()dbbbaaaf xg xxf xxg xx()d()d()dbcbaacf xxf xxf xx医用高等数学 如果在区间如果在区间 上上,则则 性质性质3-83-8,a b()()f xg x()baf x dx()

11、bag x dx 性质性质3-9 设设 及及 分别是函数分别是函数 在区间在区间 上的上的最大值及最小值最大值及最小值,则则 Mm()f x,a b()()()bam baf x dxM ba性质性质3-103-10（定积分中值定理）（定积分中值定理）如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,则在则在 上至少上至少存在一个点存在一个点 ，使，使 ()f x,a b,a bx()d()()baf xxfbax(ab).医用高等数学积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：在区间上至少存在一个点在区间上至少存在一个点 ,使得以区间使得以区间 为为底边，以曲线底边，以曲线 为曲边的曲边

12、梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积,等于等于同一底边而高为同一底边而高为 的矩形的面积的矩形的面积.,abx()yf x()fxOx y y=f(x)a bbaf(x)dx f(x)(ba)f(x)x 注意注意:通常称通常称 为连续函数为连续函数 在区间在区间 上的平均值上的平均值.()f x,a b1()()baff x dxbax医用高等数学 实际上实际上,定义本身不失为定积分的一种计算方法定义本身不失为定积分的一种计算方法.其基其基本步骤是本步骤是:先作积分和先作积分和,然后求其和式极限然后求其和式极限.这一过程是比这一过程是比较复杂的较复杂的,并且应用范围也仅限于少数几种特殊的被积函并且

13、应用范围也仅限于少数几种特殊的被积函数数.在历史上在历史上,寻找定积分新的计算方法寻找定积分新的计算方法,经历了漫长的岁经历了漫长的岁月月,直到直到1717世纪中叶世纪中叶,英国数学家英国数学家牛顿牛顿和德国数学家和德国数学家莱布尼莱布尼兹兹创立了微积分基本定理创立了微积分基本定理.从而揭示了定积分与不定积分从而揭示了定积分与不定积分之间的关系之间的关系,建立了一种切实可行的、简单的计算方法建立了一种切实可行的、简单的计算方法.三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 医用高等数学积分上限函数积分上限函数()xaf x dx()xaf t dt 设函数设函数 在区间在区间 上连续上连续,并且

14、设并且设 为为 上的上的一点一点,积分积分 是是 函数函数,记为记为 .()f x,a bx,a bx()G x()()xaG xf t dt,xa b称称 为为积分上限函数积分上限函数.()G x0y=f(x)y a bxx)(xG医用高等数学证明证明 任取任取(,)xa b0()()()limxG xxG xG xxD DD()()()xaG xf t dtf x()axb 定理定理3-33-3 如果如果 在在 上连续上连续,则积分上限函数则积分上限函数 在在 上可导上可导,且且()f x,a b()()xaG xf t dt,a b0()()limxxxaaxf t dtf t dtxD

15、D D()axf t dt医用高等数学0()limxxxxf t dtxDD D由积分中值定理得由积分中值定理得:xxxxD在与之间0()()limxfxG xxxD DD0,xxxD 0()lim()()xG xff xxD()()()xaG xf t dtf x医用高等数学推论推论(原函数存在定理）原函数存在定理）()()xaG xf t dt 如果如果 在在 上连续上连续,则积分上限函数则积分上限函数 ,a b()f x()f x,a b就是就是 在在 上的一个原函数上的一个原函数例例3-37 求函数求函数 在在 处的导数处的导数.0()xtG xte dt1x 解解 由定理由定理3-3

16、3-30()xtxdG xte dtxedx所以所以(1)Ge医用高等数学例例3-38 求函数求函数 的导数的导数.31312xtydtt33112xtydtt 所以所以3311()()2udydy dudtdtxdxdu dxdut233(1)2xxx解解 先将函数先将函数 化为积分上限函数化为积分上限函数y因此因此 可视为由可视为由 、复合而、复合而成的复合函数成的复合函数.3112utydtt 3uxy医用高等数学322xtxedt例例3-39 求求解解3322222xaxtttxxaedtedtedt2322xxttaaedtedt 4623()()xxexex 46223xxxex

17、e 医用高等数学00解解 这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.020sinlimxxtdtx例例3-40 求极限求极限020(sin)lim()xxtdtx0sinlim2xxx12020sinlimxxtdtx医用高等数学()()xaf t dtF xC,xa b()()()()babf x dxF xF bF aa 定理定理3-4(3-4(微积分基本定理微积分基本定理)如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,且且 是是 一个原函数，则一个原函数，则()F x()f x,a b()f x证明证明 已知已知 是是 的一个原函数的一个原函数()F x()f x又

18、又 也是也是 的一个原函数的一个原函数()xaf t dt()f x牛顿牛顿莱布莱布尼茨公式尼茨公式医用高等数学令令xa()()0aaF aCf t dt()F aC()()()xaf t dtF xF a()()()baf x dxF bF a令令xb 牛顿牛顿莱布尼茨公式表明：一个连续函数在区间莱布尼茨公式表明：一个连续函数在区间a,b 上的定积分等于该函数的任意一个原函数在上的定积分等于该函数的任意一个原函数在 a,b上函数上函数值的增量值的增量.医用高等数学例例3-413-41 求求 120.x dx解解312011100333xx dx 例例3-423-42 求求 312.xdx解解

19、22222xxxxx312xdx2312(2)(2)x dxxdx5医用高等数学解解 小鼠一天之内的能量代谢值可用小鼠一天之内的能量代谢值可用0,240,24这一时间这一时间间隔里代谢率的积分求得间隔里代谢率的积分求得,即即其中其中 t=0、24、28 相应于下午相应于下午4点点.求求小鼠的日代谢值小鼠的日代谢值.例例3-433-43 设小鼠的能量代谢率设小鼠的能量代谢率EMREMR以日为周期而变以日为周期而变化化:()0.6cos1.2(/)12tEMR tkJ d 242400()(0.6cos1.2)12tEMEMR t dtdt2412 0.6sin1.2 012tt 28.8(/)k

20、J d医用高等数学 定理定理3-53-5 假设假设 在区间在区间 上连续上连续,函数函数 在区间在区间 上是单值的且有连续的导数上是单值的且有连续的导数;其其中中 、.当当 在区间在区间 上变化时，上变化时，的值在的值在 上变化，则上变化，则()f x,a b()t,t,()xt,a b()a()b()()()baf x dxftt dt 注意注意:(1)用用 把变量把变量 换成新变量换成新变量 时时,积分积分限也相应的改变限也相应的改变.()xtxt (2)(2)求出新变量的积分后求出新变量的积分后,只要将新的积分限代入计算只要将新的积分限代入计算,不必换回原来的变量不必换回原来的变量.四、

21、定积分的换元法和分布积分法四、定积分的换元法和分布积分法1.1.定积分的换元法定积分的换元法定积分的换元定积分的换元公式公式医用高等数学例例3-443-44 计算计算1230(1).x xdx解解 设设21xt 0 x 1;t 1x 2t 2341211151288t dtt1123232001(1)(1)(1)2x xdxxd x所以所以1123232001(1)(1)(1)2x xdxxd x241115(1)088x若不换新变量若不换新变量,就不要换上、下限就不要换上、下限,即即医用高等数学例例3-453-45 计算计算520cossin.xxdx解解520cossinxxdx520co

22、scosxdx 6201 cos6x 16医用高等数学例例3-463-46 计算计算12201.xx dx解解 设设sin,cosxt dxtdt0 x 0;t 1x 2t 12201xx dx2220sin1 sincostttdt22222001sincossin 24ttdttdt20111(1 cos4)(sin4)28840t dttt16医用高等数学证明证明00()()()aaaaf x dxf x dxf x dx例例3-473-47 设函数设函数 在区间在区间a,ba,b上连续上连续,试证试证 ()f x()f x00,()2(),aaaf x dxf x dx()f x为奇函

23、数为奇函数为偶函数为偶函数0()af x dxxu 00()()aafu dufx dx0()()()aaaf x dxfxf x dx00()2()()af xf x dxf x为奇函数为偶函数医用高等数学证明证明(),uvu vuv()bbbabaaauv dxuvvduudv()bbbaaauv dxu vdxuv dx.bbaabudvuvvdua2.定积分的分部积分法定积分的分部积分法定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 定理定理3-63-6 设函数设函数 、在区间在区间 上具有连续导上具有连续导数数,则有则有()u x()v x,a bbbaabudvuvvdua医用高等数学例

24、例3-483-48 求求10.xxe dx解解11100010 xxxxxe dxxdexee dx1(1)10 xeeee例例3-493-49 求求1ln.exdx解解111lnln1eeexdxxxxdxx11eex医用高等数学 例例3-503-50 药物从患者的尿液中排出药物从患者的尿液中排出,一种典型的排泄一种典型的排泄速率函数是速率函数是 ,其中其中 是常数是常数.求在时间间隔求在时间间隔 内内,排出药物的量排出药物的量 .()ktr ttekD0,T0()TDr t dt0Tkttedt10()0TktktkTteedt 210ktktTkTeek解解 在时间间隔在时间间隔0,T内

25、内,排出药物的总量排出药物的总量2211()kTTekkk医用高等数学1 1定积分的定义定积分的定义 定积分的几何意义定积分的几何意义2 2定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分化整为零化整为零分割分割直（不变）代曲（变）直（不变）代曲（变）近似近似主要内容主要内容 3.积分上限函数积分上限函数 积分上限函数的导数积分上限函数的导数 微积分基本微积分基本公式公式(牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式)4.定积分的换元积分法定积分的换元积分法 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式医用高等数学作业：作业：思考与练习思考与练习 1.2.3.4.