未定式极限的计算.ppt

《未定式极限的计算.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《未定式极限的计算.ppt（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第四章 微分中值定理与导数的 应用 高等数学 第二节 未定式极限的计算 01 : 0 L H o sp it a l 、 型 及 型 未 定 式 解 法 法 则 定义 . 0 0 )( )( lim )()( )( )( 型未定式或常把这种极限称为 在通可能存在、也可能不存极限 大，那末都趋于零或都趋于无穷与 时，两个函数或如果当 xF xf xFxf xax x ax ( 1 ) , ( ) ( ) ; ( 2) , ( ) ( ) ( ) 0 ; () ( 3 ) l i m ( ) ; () ( ) ( ) l i m l i m . ( ) ( ) xa x a x a x a f x

2、 F x a f x F x Fx fx Fx f x f x F x F x 设 当 时 函 数 及 都 趋 于 零 在 点 的 某 去 心 邻 域 内 及 都 存 在 且 存 在 或 为 无 穷 大 那 末 定理 1 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为 LHospital 法则 . 证 定义辅助函数 ,0 ),()(1 ax axxfxf ,0 ),()(1 ax axxFxF ,),(0 xaU 内任取一点在 ,为端点的区间上与在以 xa ,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有 )()( )()( )( )( aFxF afx

3、f xF xf )( )( F f )( 之间与在 ax , aax 时当 ,)( )(l i m AxF xfax ,)( )(l i m AFfa .)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax ., 该法则仍然成立时以及时当 xaxx ( ) 0 ( ) , ( ) ( ) 0 fx f x F x Fx 如 果 仍 属 型 ， 且 满 足 定 理 的 条 件 ， 可 以 继 续 使 用 LHospital 法 则 ， 即 .)( )(lim)( )(lim)( )(lim xF xfxF xfxF xf axaxax .)( )(lim)( )(lim xF xfxF x

4、f xx 注 ： 例 1 解 .t a nlim0 x xx 求 )( )( t a nlim 0 x x x原式 1 seclim 2 0 x x .1 例 2 解 .123lim 23 3 1 xxx xx x求 123 33lim 2 2 1 xx x x原式 26 6lim 1 x x x .23 )00( )00( 例 3 解 . 1 a r c t a n 2lim x x x 求 2 2 1 1 1 lim x x x 原式 2 2 1lim x x x .1 例 4 解 .s i nln s i nlnl i m 0 bxaxx 求 axbxb bxaxa x s i nc o

5、 s s i nc o slim 0 原式 .1 )00( )( ax bx x c o s c o slim 0 例 5 解 .3t a nt a nlim 2 x x x 求 x x x 3s e c3 s e cl i m 2 2 2 原式 xx x 2 2 2 c o s 3c o sl i m 3 1 xx xx x s i nc o s2 3s i n3c o s6lim 3 1 2 x x x 2s in 6s inlim 2 x x x 2c o s2 6c o s6lim 2 .3 )( 注意： LHospital 法则是求未定式的一种有效方法，但 与其它求极限方法结合使用，

6、效果更好 . 例 6 解 .t a nt a nl i m 20 xx xxx 求 30 t a nl i m x xx x 原式 x xx x 6 t a ns e c2lim 2 0 2 2 0 3 1s e cl i m x x x x x x t a nlim 3 1 0 .3 1 型未定式解法、 00 ,1,0,02 例 7 解 .l i m 2 xx ex 求 )0( x e x x 2lim 原式 2lim x x e . 关键 :将其它类型未定式化为 LHospital 法则可解决的 类型 . ),00( )( 型0)1( 步骤 : ,10 .0100 或 例 8 解 ).1s

7、 i n1(l i m 0 xxx 求 )( 0 1 0 1 . 0 00 xx xx x s i n s i nl i m 0 原式 xxx x x c o ss i n c o s1l i m 0 .0 型)2( 步骤 : 步骤 : 型00 ,1,0)3( ln0 1ln 0ln0 1 0 0 0 取对数 .0 例 9 求 x x x 0lim 解 设 取对数得 ,xxy xxy lnln 0)ln(limlnlim 00 xxy xx 0 ln 000 limlimlim e eyx y xx x x 1 )0( 0 例 10 解 .lim 1 1 1 x x x 求 )1( xx x

8、e ln1 1 1lim 原式 x x xe 1 lnlim 1 1 1 lim 1 x x .1 e 例 11 解 .)( c o tlim ln 1 0 x x x 求 )( 0 ,)( c o t )l n ( c o tln 1ln 1 xxx ex 取对数得 )l n( c o tln 1l i m 0 xx x x xx x 1 s i n 1 c o t 1 lim 2 0 xx x x s i nc o s lim 0 ,1 .1 e原式 例 12 解 .c o slim x xxx 求 1 s i n1lim x x 原式 ).s i n1(l i m xx LHospita

9、l法则失效 . )c o s11(lim xxx 原式 .1 注意： L Hospital法则的使用条件 极限不存在 解 ： n x x xln li m 1 1 lim nx nx x 01lim nx nx 。 解 ： x n x e x lim x n x e nx 1 lim x n x e xnn 2 2)1( lim 0!l i m xnx e n 。 解 ： n x x xln li 1 1 lim nx nx x 01lim nx nx 。 解 ： n x x xln lim 1 1 lim nx nx x 01lim nx nx 。 解 ： n x x xln lim 1 l

10、im nx nx x 01lim nx nx 。 解 ： x n x e x li x n x e nx 1 lim x n x e xnn 2 2)1( lim 解 ： x n x e x lim x n x e nx 1 lim x n x e xnn 2 2)1( lim 解 ： x n x e x lim x n x nx 1 lim x n x e xn 2 2)1( lim 例 13 求 n x x x ln lim ( n 0) 。 例 14 x n x e x lim ( n 为正整数， 0) 。 解 ： xx n x lnlim 0 nx x x ln lim 0 10 1

11、l i m nx nx x 0l i m 0 n x n x 。 解 ： xx n x lnlim 0 nx x x ln lim 0 10 1 lim nx nx x 解 ： xx n x lnlim 0 nx x x ln lim 0 10 1 l i m nx nx x 解 ： )t a n( s e cl i m 2 xx x x x x c o s s i n1l i m 2 0 s i n c oslim 2 x x x 。 解 ： )t a n( s e clim 2 xx x x x x c o s s in1lim 2 0 s in c oslim 2 x x x 。 解 ：

12、 )t a n( s e clim 2 xx x x x x c o s s in1lim 2 s in c oslim 2 xx 。 解 ： )tan(seclim 2 xx x x x x cos sin1lim 2 0 sin coslim 2 x x x 。 例 15 求 0 lim x x n ln x ( n 0) 。 例 16 求 ) tan (sec lim 2 x x x 。 三、小结 洛必达法则 型00 ,1,0 型 型0型0 0 型 gfgf 1 fg fggf 11 11 取对数 令 gfy 思考题 设 )( )( lim xg xf 是不定型极限，如果 )( )( x

13、g xf 的极 限不存在，是否 )( )( xg xf 的极限也一定不存在？ 举例说明 . 思考题解答 不一定 例 ,si n)( xxxf xxg )( 显然 )( )(li m xg xf x 1 c o s1li m x x 极限不存在 但 )( )(lim xg xf x x xx x s inlim 1 极限存在 一、 填空题： 1 、 洛必达法则除了可用于求 “ 0 0 ”，及 “ ”两种 类型的未定式的极限外，也可通过变换解决 _ _ _ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _

14、 _ _ _ _ ，等型的未定式 的求极限的问题 . 2 、 x x x )1ln ( li m 0 =_ _ _ _ _ _ _ . 3 、 x x x 2t anln 7t anln l i m 0 =_ _ _ _ _ _ _ _. 练 习 题 二、 用洛必达法则求下列极限： 1 、 2 2 )2( si nln lim x x x ； 2 、 x x x a rc t a n ) 1 1l n ( l i m ； 3 、 xx x 2co tlim 0 ； 4 、 ) 1 1 1 2 (lim 2 1 xx x ； 5 、 x x x s i n 0 l i m ； 6 、 x x x t a n 0 ) 1 (l i m ； 7 、 x x x )a r c ta n 2 (l i m . 三、 讨论函数 0, 0, )1( )( 2 1 1 1 xe x e x xf x x 当 当 , 在 处点 0 x 的连续性 . 一、 1 、 00 ,0,1,0 ； 2 、 1 ； 3 、 1. 二、 1 、 8 1 ； 2 、 1 ； 3 、 2 1 ； 4 、 2 1 ； 5 、 1 ； 6 、 1 ； 7 、 2 e . 三、连续 . 练习题答案