《层次分析法AHP法》PPT课件.ppt

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1、第 8章 系统评价 （参见教材第 8章） 层次分析法 本节主要内容 一、层次分析法简介 一、适用场合 三、层次分析法的基本原理 四、基本思想 五、实施步骤 六、应用举例 一、层次分析法简介 层次分析法（ Analytical Hierarchy Process）是美国匹 兹堡大学运筹学家 A.L saaty教授于 1973年提出的一种层次 权重决策分析方法。 该方法把复杂问题中的各种因素，通过划分相互联系的有 序层次，使之条理化，并根据一定的客观现实的判断，就 每一层次的元素相对重要性给以定量表示，并利用数学方 法确定全部要素的相对重要性次序（权重），从而帮助人 们更好地进行评价与决策。 目前

2、， AHP在能源政策分析、产业结构研究、科技成果评价、 发展战略规划、人才考核评价以及发展目标分析等方面得 到了广泛的应用，取得了令人满意的成果。 AHP是一种能将定性分析与定量分析相结合的系统分析 方法。在进行系统分析时，有些问题难以甚至根本不可 能建立数学模型进行定量分析；应用 AHP方法进行分析， 就可以简便而迅速地解决问题。 AHP是一种分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工 具。 层次分析法是在一个多层次的分析结构中 ， 最终被系统 分析归结为最低层相对于最高层的相对重要性数值的确 定或相对优劣次序的排列问题 。 二、适用场合 层次分析法 (Analytic Hierarchy Pr

3、ocess-AHP) 适用于处理那些多目标、多层次、多准则、定性指 标较多的社会系统工程的复杂问题。 三、层次分析法的基本原理 如果知道 N个西瓜总重量为 1， 每个西瓜的重量为 1 2 ， 这些西瓜两两比较 （ 相除 ） ， 可以得到表示 N个西瓜相对重量关系的比 较矩阵 （ 判断矩阵 ） 。 从 A阵可以看出 1 1 1 12 2 2 2 12 n 12 () n n n n n n n W W W W W W W W W W W WA ij W W W W W W a 1iia 1/ ij jiaa / , , 1 , 2 , . ,ij ik jka a a i j k N 由于 AW

4、 W， 对应 A矩阵的特征根 ， W对应 A矩阵的特征向量 。 在比较矩阵中 AW NW, N是 A矩阵的一个特征根 ， W对应特征根为 N时 的特征向量 ， W代表每个西瓜重量 ， 此时 N代表西瓜的个数或矩阵的 阶数 。 假如不知道每个西瓜的重量 W，但通过某种手段，设法知道每两个 西瓜的相对比较重量，即构造出判断矩阵，因为矩阵满足完全 一致性要求时，或具有较满意的一致性要求时 , maxN ，其余 特征根接近于零。 四、基本思想 通过分析系统所包含的要素及其相互关系，建立递阶层次结构； 然后对同一层次的各元素关于上一层次中某一要素的重要性进 行两两比较，得出该层要素对于该要素的权重；最后

5、计算各层 次要素对于总体目标的总权重，从而得出不同设想方案的权值， 为选择最优方案提供依据。 确定最优生产方案 期望利润 产品成品率 市场占有率 投资费用 产品外观 自行设计 国外引进 改建 选择旅游景点 A 景色 B1 门票 B2 交通 B3 龙门石窟 C1 白马寺 C2 关林庙 C3 S A1 A2 Am B1 B2 Bn C1 C2 Ck 五 、实施步骤 投资效果评价为例进行说明 （一） 建立递阶层次结构模型 （二）构造判断矩阵 （三）层次单排序 计算权重，并进行一致性检验 （四）层次总排序，并得出结论 （一）建立递阶层次结构模型 分析系统所包含的要素，以及要素间的相互关系。根据要素之

6、间的关系，建立递阶层次结构模型。 1、建立方法 （ 1）解释结构模型化技术（ ISM） （ 2）分解法。目标 -一级指标 -二级指标 - -方案 2、三个层次（ P124） （ 1）目标层 （ 2）准则层 （ 3）方案层 （ 目标层 ） （ 准则层 ） （ 方案层 ） 选择旅游景点 A 景色 B1 门票 B2 交通 B3 龙门石窟 C1 白马寺 C2 关林庙 C3 （二）构造判断矩阵 AHP法采用两两比较的方法建立判断矩阵，然后导出各要素 的相对重要性 。 1、判断矩阵的形式 以上一层的某一要素 A作为评价准则，对本层的各要素 B1、 B2、 的重要性进行两两比较，即计算 aij=bi/bj的

7、值， 来确定矩阵的元素，并写成矩阵形式，如下图所示： A B1 B2 Bn B1 B2 Bn a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 比较次数： n(n-1)/2 A B1 B2 B3 Wi Wi0 B1 1 1/3 2 B2 3 1 5 B3 1/2 1/5 1 B1 C1 C2 C3 Wi Wi0 C1 1 1/3 1/5 C2 3 1 1/3 C3 5 3 1 B2 C1 C2 C3 Wi Wi0 C1 1 2 7 C2 1/2 1 5 C3 1/7 1/5 1 B3 C1 C2 C3 Wi Wi0 C1 1 3 1/7 C2 1/3 1 1/9 C3 7

8、 9 1 标度 含义 (ai与 aj相比 ) 1 3 5 7 9 2， 4， 6， 8 上述值的倒数 前者与后者具有同样重要性（ ai与自身相比） 前者比后者稍微重要 前者比后者明显重要 前者比后者强烈重要 前者比后者极端重要 上述两相邻判断的中间值 若因素 i与 j相比为 aij,则因素 j与 i 相比为 aji=1/aij 2、判断矩阵元素的取值（ 1 9标度法） 为了使判断定量化，层次分析法采用 1 9标度方法，对 不同情况的评比给予数量尺度（共 17个）。 采用 1-9标度法的依据： 选择 1-9之间的整数及其倒数作为 aij取值的主要原因是，它符合 人们进行比较判断时的心理习惯。 （

9、 1）心理学实验表明，大多数人对不同事物在某种相同属性上 的差别的分辨能力在 5 9个之间， 1 9标度能够反映大多数人 的判断能力； （ 2）大量社会调查表明， 1 9的比例标度早已为人们所熟悉和 采用； （ 3）科学考察和实践表明， 1 9的比例标度已完全能区分引起 人们感觉差别的事物的各种属性。 3、判断矩阵的性质 （ 1） aij0 （ 2） aii=1 （ 3） aij=1/aji （ 4） （在理想情况下） jkikij aaa / 几个概念： 正矩阵：满足（ 1） 正互反矩阵：满足（ 1）、（ 2）、（ 3） 一致性矩阵：满足（ 1）、（ 2）、（ 3） 、（ 4） A B1 B

10、2 B3 Wi Wi0 B1 1 1/3 2 B2 3 1 5 B3 1/2 1/5 1 （三）层次单排序 计算权重，并进行一致性检验 权重 判断矩阵的特征向量 1、特征根、特征向量计算 方法： （ 1）迭代法 （ 2）和积法 （ 3）方根法 （ 1） 特征根、特征向量计算 (迭代法 ) 迭代法的计算步骤为： （ 1） 取任意与判断矩阵 B同阶的正规化的初值向量 W0 ； （ 2） 计算 （ 3） 令 ， 计算 ， （ 4） 对于预先给定的精确度 ， 当 对所有 成立时 ， 为所求特征向量 。 可由下式求得 式中： n为矩阵阶数； 为向量 的第 i个分量 。 1 , 0 , 1 , 2 , .

11、 . . ;k kw B W k 1 1 n k i i w 11 1 kkWw 0 , 1 , 2 , . .;k 1k ki iww 1, 2 , . .,in 1kWW max 1 m a x 1 k i k i n w nw i kiw kW （ 2） 特征根、特征向量计算 (和积法 ) 和积法的计算步骤为： （ 1） 将矩阵的每一列正规化 （ 2）将正规化后的矩阵按行加总 （ 3）将加总后得到的向量 再正规化， 所得到的即为所求特征向量； （ 4）计算矩阵的最大特征根 ： 式中 表示向量的第 i个分量。 / , , 1 , 2 , . . . . . . , ;i j i j k j

12、b a a i j n 1 , 1 , 2 , . . . . . . . ,ii i j j w b j n iW , 1 , 2 , . . . . . . . ,i v i jW W W i n max m a x 1 () () n i i i AW nW ()iAW （ 3 ） 特征根、特征向量计算 (方根法 ) 方根法计算步骤为： (1) 将 B的元素按行相乘 （ 2） 所得乘积分别开 n次方 （ 3） 将所得方根向量正规化 ， 即得特征向量 W， 其中 （ 4） 计算判断矩阵最大特征根 1 n i j i j j b ni ij 1 i i n i i W max m a x 1

13、 () () n i i i AW nW A B1 B2 B3 Wi Wi0 B1 1 1/3 2 0.874 0.230 B2 3 1 5 2.466 0.648 B3 1/2 1/5 1 0.464 0.122 Max=3.004 C.I.=0.002 R.I.=0.52 C.R.0.1 1、用方根法计算权重 例：计算权重，并进行一致性检验 A B1 B2 B3 Wi Wi0 B1 1 1/3 2 0.874 0.230 B2 3 1 5 2.466 0.648 B3 1/2 1/5 1 0.464 0.122 Max=3.004 C.I.=0.002 R.I.=0.52 C.R.n 。

14、由定理 2可知，当判断矩阵完全一致时，应该有 max=n 。 稍有不一致，则 maxn ，并且 max 比 n大得越多，判断矩 阵的不一致性程度就越严重。因此可以 用 max -n作为度量 偏离一致性的指标 。 计算 max 3. 004 )122.0 367.0648.0 948.1230.0 690.0(31m a x 15/12/1 513 23/11 AW 122.0 648.0 230.0 367.0 948.1 690.0 n i i n j jijn i i i W WA nnW AW 1 1 1 m a x 1)( （ 3）一致性检验的步骤 A B1 B2 B3 Wi Wi0

15、B1 1 1/3 2 0.874 0.230 B2 3 1 5 2.466 0.648 B3 1/2 1/5 1 0.464 0.122 计算一致性指标（ C.I.） 002.013 3004.31. m a x n nIC 提示：当判断矩阵具有完全一致性时， C.I.=0 查找同阶数的平均随机一致性指标（ R.I. ） R.I.的值是这样得到的：随机地从 1-9及其倒数中抽取数字构 造 1000个样本的正互反矩阵，这样构造的判断矩阵最不一致， 求其一致性指标的平均值。 1.49 1.46 1.41 1.36 1.26 1.12 0.89 0.52 0 0 R.I. 10 9 8 7 6 5

16、4 3 2 1 n 平均随机一致性指标 计算一致性比例（ C.R. ） 只有 C.R.0.1时，认为判断矩阵具有满意的一致性 ，层次 单排序的结果才认为是可信的，否则需要调整判断矩阵元 素的取值，直到具有满意的一致性为止。 1.0004.052.0 002.0. . IR ICRC B1 B2 B3 0.230 0.648 0.122 C1 0.105 0.592 0.149 0.426 C2 0.258 0.333 0.066 0.283 C3 0.637 0.075 0.785 0.291 B层 C层 （四）计算层次总排序，并得出结论 四、应用举例 某工厂在扩大企业自主权后，有一笔企业留成

17、利润要由厂领导和职 工代表大会决定如何使用。可以供选择的方案有： (1) 作为奖金发给职工 (2) 扩建职工宿舍、食堂、托儿所等福利设施 (3) 办职工业余技术学校 (4) 建图书馆、俱乐部、文工团与体工队 (5) 引进技术设备进行企业技术改造 这些方案都有其合理的因素，但哪一个方案更能调动职工的积极性， 更能促进企业快速发展呢 ?这是厂领导和职工代表大会所面临的需 要分析决策的问题。 1、建立层次分析结构模型 对于本题，经过分析后，上面五个措施可以归结为三个方面的 准则： （ 1）调动职工劳动积极性 （ 2）提高企业技术水平 （ 3）改善职工物质文化生活 以上三个准则都是以合理使用企业利润，

18、促进企业发展为目的 的。 办职工业余 技校 ( S3 ) 合理使用企业利润 促进企业发展 (A) 调动职工劳动 积极性 ( B1 ) 提高企业技术 水平 ( B2 ) 改善职工物质 文化生活 ( B3 ) 发奖 金 ( S1 ) 扩建职工 宿舍 ( S2 ) 新建图书 馆 ( S4 ) 引进新技术 设备 ( S5 ) 2、建立判断矩阵 假定厂长或职工代表大会根据实际情况构造的判断矩阵如下： （ 1）相对于合理使用企业利润，促进企业发展的总目标 A， 各考虑准则之间 Bi的相对重要性比较 (判断矩阵 A B)： 11 / 33 315 1 / 31 / 51 B B B BBB 3 2 1 32

19、1 A （ 2）相对于调动职工劳动积极性准则 B1，各方案之间的重 要性比较 (判断矩阵 B1 S)： 13/115/17/1 3122/14/1 12/113/13/1 52312/1 74321 S S S S S SSSSS 5 4 3 2 1 54321 B1 （ 3）相对于提高企业技术水平准则 B2，各方案之间的重要 性比较 (判断矩阵 B2 S)： 131 / 35 1 / 311 / 53 3517 1 / 51 / 31 / 71 S S S S SSSS 5 4 3 2 5432 B2 （ 4）相对于改善职工物质文化生活准则 B3，各方案之间的 重要性比较 (判断矩阵 B3

20、S)： 111/ 31/ 3 111/ 31/ 3 3311 3311 S S S S SSSS 4 3 2 1 4321 B3 3、层次单排序，并进行一致性矩阵 （ 1）判断矩阵 A B 11 / 33 315 1 / 31 / 51 B B B BBB 3 2 1 321 W0 0.105 0.637 0.258 (2) 判断矩阵 B1 S 13/115/17/1 3122/14/1 12/113/13/1 52312/1 74321 S S S S S SSSSS 5 4 3 2 1 54321 W0 0.435 0.268 0.088 0.147 0.062 m a x 0.439 0

21、.264 W , = 5. 12 7 , CR = 0 .0 290.089 0.146 0.061 CR0.1 一致性检验： W0 0.105 0.637 0.258 BW0 0.318 1.936 0.785 解得： 1 1/3 3 3 1 5 1/3 1/5 1 B B B B B B 3 2 1 3 2 1 1)R I ( n nCR m a x 1.00 3 6.0 )13(52.0 30 3 7.3 037.3m a x (3) 判断矩阵 B2 S 131 / 35 1 / 311 / 53 3517 1 / 51 / 31 / 71 S S S S SSSS 5 4 3 2 54

22、32 W0 0.055 0.565 0.118 0.262 m a x 0.055 0.565W , = 4.11 7 , CR = 0.04 3 0.118 0.262 CR0.1 （ 4）判断矩阵 B3 S 111/ 31/ 3 111/ 31/ 3 3311 3311 S S S S SSSS 4 3 2 1 4321 W0 0.375 0.375 0.125 0.125 m a x 0. 37 5 0. 37 5W , = 4 , CR= 0 0. 12 5 0. 12 5 CR0.1 4、层次总排序 层次 B对层次 A的排 序 层次 S对 层次 B的排序 B1 B2 B3 S层次总排

23、 序权重 序号 S1 S2 S3 S4 S5 0.105 0.637 0.258 0.435 0.268 0.088 0.147 0.062 0 0.055 0.565 0.118 0.262 0.375 0.375 0.125 0.125 0 W1=0.143 W2=0.16 W3=0.4 W4=0.122 W5=0.173 5 1 2 3 4 试用求和法计算下述判断矩阵的最大特征根及 其对应的特征向量。注：阶数为 3的平均随机 一致性指标 R.I.=0.52 作业： B C1 C2 C3 C1 1 3 5 C2 1/3 1 3 C3 1/5 1/3 1 简答题 1、系统具有哪些特性？系统的一般属性对你的工 作和学习有什么启发和帮助？ 2、系统工程的研究对象是什么？研究对象有哪些 具体特征？ 3、 Checkland方法论与 Hall三维结构理论有哪些区 别？ 温故而知新（一） 求出下图所示有向连接图的邻接矩阵和可达矩阵 , 写出节点 S3的可达集合、先行集合。 温故而知新（二）