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1、北京工业大学 2020 年攻读博士学位研究生入学考试试题笔记考试科目：弹塑性力学 科目代码：2220 考试时间： 月 日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）弹塑性力学这门课程是弹性力学的延伸，经典弹塑性力学的基本要求是 应力只能在屈服面以内或屈服面之上，材料在屈服面以外的力学行为是没有定义 的，这意味着经典弹塑性理论只能处理稳定结构。结构需要加固力维持稳定，说 明结构部分区域应力已超出屈服面。一般说来对于给定的外荷载，结构的工作区 域可能是弹性区、稳定弹塑性区和非稳定弹塑性区。弹性区和稳定弹塑性区可由 经典弹塑性力学处理，变形加固理论处理的是非稳定弹塑性区。
2、本文首次提出变 形加固理论的基础是非平衡态弹塑性力学，它是经典弹塑性力学的增量延拓，其 理论核心是最小塑性余能密度原理，在结构上反映为最小塑性余能原理。1 变形加固理论的提出工程结构弹塑性有限元计算表现为一系列逼近真解的迭代过程。考察某一典型的迭代步，设某一高斯点在该迭代步的初始应力为。且有f（。）W0,当前应00力为。应力场。，0都应满足平衡条件，即该应力场在结构内处处满足平衡1 0 1微分方程，在边界上满足力的边界条件，在有限元分析中表示为S/Bto dV二Bto dV=F （1）01式中：F为外荷载向量，e表示对结构所有单元求和。经典弹塑性理论要求结构各点应力必须在屈服面之上或以内，即各
3、点都要满 足屈服条件，这意味着结构在外荷载作用下是稳定的。而本文讨论加固问题首先 意味着结构在外荷载作用下是不稳定的，需要引入加固力以维持稳定。所以有必 要对经典弹塑性理论进行延拓以容纳加固特点。受弹塑性迭代总是使范数不断减 少的启发，本文提出一个最小塑性余能原理：对于给定的外荷载，在所有和其平 衡的应力场中，结构真实应力场的塑性余能范数最小。以此而论，弹塑性有限元 计算的迭代过程就是AE的一个最小化过程。3 经典弹塑性本构关系本文讨论关联的理想弹塑性材料，且不考虑弹塑性耦合。经典弹塑性力学的 本构关系为率形式。4 非平衡态弹塑性本构关系非平衡态弹塑性力学处理应力状态处于屈服面以外的材料行为，
4、其本构关系 基本上就是上述经典弹塑性本构关系的增量化。只有增量化才能出现应力位于屈 服面以外的情形，这和弹塑性数值方法的处理方法是一致的。不过弹塑性数值方 法是作为弹塑性理论的近似方法，而在本文，这些增量关系作为非平衡态弹塑性 力学的本构关系，是作为事先给定的基本定义和出发点。第一和第二最小塑性余能密度原理可统称为最小塑性余能密度原理，如上所 述，其实质为增量型正交流动法则。增量型正交流动法则为正交流动法则的一阶 近似。正是在这个意义上，非平衡态弹塑性力学可以看作是经典弹塑性力学在非 稳定弹塑性区的一阶近似。最小塑性余能密度原理式可以认为是极值问题式的增 量对偶。如上所述，该原理是所有重要关系
5、的出发点，是非平衡态弹塑性力学最 根本的理论基石。5 最小塑性余能原理的证明和讨论如前所述，非平衡态弹塑性力学可以看作是经典弹塑性力学在非稳定弹塑性 区的一阶近似。故在此意义上最小塑性原理亦为一阶近似理论。但非平衡态弹塑 性本构关系和最小塑性余能原理是完全一致的。最小塑性余能原理适用于由关联的理想弹塑性材料组成的结构。岩土材料一 般为非关联流动材料，由Radenkovic第一定理可知，在相同屈服条件下，考虑非 关联效应使结构极限承载力降低，换句话说，考虑非关联效应将使加固力提高。 对于一超过极限承载力的外荷载F来说，可以构造无数多和其平衡的应力场，显 然所有应力场都无法全面满足屈服条件，故每个
6、应力场都是种破坏模式，其塑 性区构成了可行的破坏结构，并且需要加固力才能维持稳定。对于每个和外荷载 平衡的应力场，加固力方案都不是唯一的，此处假设加固力方案都是相对该应力 场的最优方案。根据最小塑性余能原理，在各种破坏机构中，真实的破坏机构加 固力最小。注意加固力就是破坏或失稳滑动的抵抗力，所以可以说，真实的破坏 机构抵抗力最小。显然当外荷载F趋近极限承载力时，上述提法就退化为潘家铮 最小原理。6 总结对于给定的外荷载，结构的工作区域包括弹性区、稳定弹塑性区和非稳定弹 塑性区，结构在非稳定弹塑性区需要加固力维持稳定。经典弹塑性理论只适用于 弹性区和稳定弹塑性区。变形加固理论的理论基础为非平衡态弹塑性力学，它是 经典弹塑性理论的增量延拓，适用于非稳定弹塑性区。非平衡态弹塑性力学的理 论核心为最小塑性余能密度原理，其理论基础为增量正交流动法则。结构在非稳 定弹塑性区服从最小塑性余能原理，该原理要求在给定外荷载的情况下，结构自 承力最大而加固力最小，该理论为新奥法施工技术提供了严格的理论依据。通过弹塑性力学的学习，我加深了对固体力学的理解，认识到弹塑性力 学用于指导实际工程有很大的发挥空间，对今后的进一步学习奠定了基础，从理 论上得到进一步的加强。
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