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1、2023届高考数学一轮复习解答题之导数专练A卷1.设，曲线在点处取得极值.（1）求a的值；（2）求函数的单调区间和极值.2.已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.3.已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求a的取值范围；（3）设，证明：.4.已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）设，讨论函数在上的单调性；（）证明：对任意的s，有.5.已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线.（1）若，求a；（2）求a的取值范围.6.已知函数.（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，则.7.已
2、知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围.8.已知函数，.（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）设函数，讨论函数的零点个数.9.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若关于x的方程有3个不等实根，求证：.10.已知函数.(1)若恒成立，求a的取值范围；(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围.答案以及解析1.答案：（1）（2）的极大值为的极小值为解析： （1）因为，所以.由题意知，故可得，解得.（2）由（1）可知，.令，解得.因为函数定义域为，所以当或时，当时，.故可得在区间和上单调递减，在区间上单调递增.故的极大值为的极小值
3、为.2.答案：（1）（2）见解析解析：（1），.若，在R上恒成立，在R上单调递增，即无最小值；若，当时，单调递减，当时，单调递增.在处取得最小值.当时，单调递减，当时，单调递增.在处取得最小值.又与有相同的最小值，.设，则，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增.在处取得最小值，则当时，恒成立，单调递增.又，.（2）由（1）得，且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，.当直线与曲线和共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为，且，则.，.由于，所以，则，上述两式相减得，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.3.答案：（1）的减区间为，增区间为（2）（3）证明见解析解析：解
4、：（1）当时，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减.（2），当时，在上单调递增，与题意矛盾.当时，.在上单调递减，满足题意.当时，设，则，在上单调递减，在上单调递减，满足题意.当时，令，则，易知为减函数，又，时，使，且当时，在上单调递增，此时，当时，在上单调递增，与题意矛盾.综上，实数a的取值范围为.（3）解法一先证不等式成立.不等式成立（其申），构造函数，则.当时，所以函数在上单调递减，从而不等式成立.令，则有，整理可得，故，即成立.解法二用数学归纳法证明.当时，左边成立.假设当时，不等式成立，即，则当时，欲证原不等式成立，即证成立.以下证明此式成立，因为，所以欲证，需证，即需证成
5、立，令，则，则需证，令，即需证，.构造函数，则.当时，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立上，综上，不等式成立.4.答案：（）（）在上单调递增（）见解析解析：（）由题，故，因此，曲线在点处的切线方程为.（）解法一：，则，设，则，故在上单调递增，故，因此对任意的恒成立，故在上单调递增.解法二：，则，又，当时，故对任意的恒成立，故在上单调递增.（）设，则，由（）知在上单调递增，故当，时，因此，在上单调递增，故，因此，对任意的，有.5.答案：（1）（2）解析：（1）当时，所以切点坐标为.由，得，所以切线斜率，所以切线方程为，即.将代入，得.由切线与曲线相切，得，解得.（2）由，得，所以切线斜率，
6、所以切线方程为，即.将代入，得.由切线与曲线相切，得，整理，得.令，则，由，得，0，1，随x的变化如下表所示：x01-0+0-0+极小值极大值极小值由上表知，当时，取得极小值，当时，取得极小值，易知当时，当时，所以函数的值域为，所以由，得，故实数a的取值范围为.6.答案：（1）；（2）证明见解析解析：（1）由题意知函数的定义域为.由，可得函数在上单调递减，在上单调递增.所以.又，所以，解得，所以a的取值范围为.（2）解法一：不妨设，则由（1）知，.令，则.令，则，所以当时，所以当时，所以当时，所以在上单调递增，所以，即在上.又，所以，即.由（1）可知，函数在上单调递增，所以，即.解法二（同构构
7、造函数化解等式）不妨设，则由（1）知，.由，得，即.因为函数在R上单调递增，所以成立.构造函数，则，所以函数在上单调递增，所以当时，即当时，所以，又，所以在上单调递减，所以，即.7.答案：（1）（2）解析：（1）当时，所求切线方程为，即.（2），1当时，若，则，在上无零点，不符合题意.2当时，.令，则，在上单调递增，（a）若，则，时，在上恒成立，在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立，在上单调递增，在，上均无零点，不符合题意.（b）若，则，时，存在，使得.在上单调递减，在上单调递增.，.（）当，即时，在上恒成立，在上恒成立，在上单调递增.，当时，在上无零点，不符合题意.（）当，即时，存在，使得，
8、在，上单调递增，在上单调递减.，当时，在上存在一个零点，即在上存在一个零点，当时，在上存在一个零点，即在上存在一个零点.综上，a的取值范围是.8.答案：（1）（2）见解析解析：（1）当时，可得.，故.从而函数的图象在点处的切线方程为，即.（2），其定义域为，则.（i）当时，对于任意的恒成立，故在上单调递减，令，则，.又因为，所以在上有唯一零点.（）当时，令，得.所以在上单调递减，在上单调递增，故.若，函数无零点.若，函数有唯一零点.若，.令，有.令，有.所以函数在，上各有一零点，从而函数有两个零点.综上可得：当时，函数没有零点；当或时，函数有唯一零点；当时，函数有两个零点.9.答案：(1)在上
9、单调递增，在上单调递减.(2)见解析.解析：(1)依题意得，.令，得；令，得或.所以函数在上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)可知函数的极小值，极大值.当时，当时，画出的大致图象如图所示.方程有3个不等实根等价于直线与函数的图象有3个不同交点，不妨设，由图象可知.构造函数，则.当时，则在上单调递减，.所以，故，由(1)知，在上单调递减，所以，即，又，故.10.答案：(1).(2)的取值范围是.解析：(1)由题可知，要使恒成立，即恒成立.令，则.当时，所以在上单调递增，又，与矛盾，不满足题意.当时，若，则；若，则.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.综上，.(2)由题可知，所以是方程的两个根，所以，所以，所以.又，所以.不妨设，则上式转化为.令，则在上恒成立.由，易知.令，则.令，则函数的图象开口向下，且对称轴为.当，即时，则在上恒成立，在上单调递减，则，符合题意.当，即时，此时存在唯一的，使得，则在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意.综上所述，的取值范围是.15
2023届高考数学一轮复习解答题之导数专练卷（含解析）
