应用抽样技术课后习题答案.ppt

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1、应用抽样技术答案 第二章 抽样技术基本概念 2.7（ 1） 抽样分布： 3 3.67 4.33 5 5.67 6.33 7 1/10 1/10 2/10 2/10 2/10 1/10 1/10 （ 2） 期望为 5， 方差为 4/3 （ 3） 抽样标准误 1.155 （ 4） 抽样极限误差 2.263 （ 5） 置信区间 （ 3.407， 7.933） 第三章 简单随机抽样 3.3为调查某中学学生的每月购书支出水平，在全校 名学生中，用不放回简单随机抽样的方法抽得一 个的样本。对每个抽中的学生调查其上个月的购 书支出金额 yi （如表 1所示）。 (1)在 95%的置信度下估计该校学生该月平均

2、购书支 出额； (2)试估计该校学生该月购书支出超出 70元的人数； (3)如果要求相对误差限不超过 10%，以 95%的置信 度估计该校学生该月购书支出超出 70元的人数比 例，样本量至少应为多少。 样本 序号 支出额 （元） 样本 序号 支出额 （元） 样本 序号 支出额 （元） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 85 62 42 15 50 39 83 65 32 46 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 75 34 41 58 63 95 120 19 57 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 49 45 95 36 25

3、45 128 45 29 84 表 1 30名学生某月购书支出金额的样本数据 3.3解： (1)依据题意和表 1的数据，有： 2216821 6 8 2 , 5 6 . 0 7 ( ) , ( 1 1 8 2 6 6 1 6 8 2 / 3 0 ) / 3 0 7 9 8 . 7 3 30iyy y s 元 21 1 7 5 0 3 0 0 . 0 3 2 7 6 4 3 0 1 7 5 0 f N n b a c n n N ( ) 0 . 0 3 2 7 6 7 9 8 . 7 3 2 6 . 1 6 8vy ( ) ( ) 5 . 1 1 5s e y v y 因此，对该校学生某月的人均

4、购书支出额的估计为 56.07 （元），由于置信度 95%对应的 t=1.96, 所以，可以以 95%的把 握说该学生该月的人均购书支出额大约在 56.07 1.96 5.115， 即 50.96-61.19元之间。 ， (2)易知， N=1750， n=30， 1 8n t=1.96 1 8 0 . 2 6 7 30 np n 1 1 7 5 0 3 0 0 . 0 3 3 8 9 1 ( 1 ) 2 9 1 7 5 0 f N n n n N ( 1 ) 0 . 2 6 7 0 . 7 3 3 0 . 1 9 5 7p q p p ( 1 ) 0 . 0 3 3 8 9 0 . 1 9 5

5、 7 0 . 0 8 1 4 4 1 f p q n 1 0.0167 2 n P 的 95%的置信区间为 : 1 2 ( 1 ) 1( ) 0 .2 6 7 ( 1 .9 6 0 .0 8 1 4 4 0 .0 1 6 7 ) 12 = ( 0 .0 9 0 7 ,0 .4 4 3 3 ) f p qpu nn 的 95%的置信区间为 : 1N (159， 776) (3)N=1750， n=30， n1=8, t=1.96, p=0.267, q=1-0.267=0.733 由此可计算得： 2 2 0 2 1 . 9 6 0 . 7 3 3 1 0 5 4 . 6 4 0 . 0 1 0

6、. 2 6 7 tqn rp 计算结果说明，至少应抽取一个样本量为 659的简单随机 样本，才能满足 95%置信度条件下相对误差不超过 10%的精度 要求。 n = n0/1+(n01)/N = 1054.64/1+1053.64/1750=658.2942 = 659 3.5要调查甲乙两种疾病的发病率，从历史资料得知， 甲种疾病的发病率为 8，乙种疾病的发病率为 5 ，求： (1)要得到相同的标准差 0.05，采用简单随机抽样各 需要多大的样本量？ (2)要得到相同的变异系数 0.05，又各需要多大的样 本量？ 3.5解：已知 P1= 0.08, Q1= 1-P1 = 0.92; P2= 0

7、.05, Q2 = 1 P2 = 0.95; V(p) = 0.05*0.05 ， (1) 由 0 () PQn Vp 得： 1 0 2 0 . 0 8 0 . 9 2 30 0 . 0 5n 20 2 0 . 0 5 0 . 9 5 19 0 . 0 5n 由 0 2 () Qn C v p P 得： (2) 1 0 2 0 .9 2 4600 0 .0 5 0 .0 8n 20 20 .9 5 76000 .0 5 0 .0 5n 第四章 分层抽样 4.3解： （ 1） ， （ 2） 按比例分配 n=186， n1=57， n2=92， n3=37 （ 3） Neyman分配 n=175，

8、 n1=33， n2=99， n3=43 4.5 ， 置信区间 （ 60.63， 90.95） 元 。 2 0 .0 7sty （ 元 ） ( ) 3 . 0 8stsy （ 元 ） 7 5 . 7 9sty （ 元 ） 4.6 解 已知 W1=0.2， W2=0.3， W3=0.5， P1=0.1， P2=0.2， P3=0.4 P=hWhPh=0.28， Q=1 P=0.72 n=100的简单随机抽样估计方差： V(Psrs) (1 f )/100PQ 0.28*0.72/100 = 0.002016 按比例分配的分层抽样的估计方差： V(Pprop) hWh2 (1 fh)/nh Ph

9、Qh n-1hWh Ph Qh = n-10.2*0.1*0.9+0.3*0.2*0.8+0.5*0.4*0.6 = 0.186 n-1 故 n 92.26 93 4.8 解 已知 W1=0.7， W2=0.3， p1=1/43， p2=2/57 （ 1）简单随机抽样 Psrs=(1+2)/100=0.03 V(P)=PQ/(n-1)=0.03*0.97/99=0.0002937 （ 2）事后分层 Ppst=hWhph=0.7*1/43+0.3*2/57=0.0268 V(Ppst) =hWh2(1 fh)/(nh 1)phqh =0.72*1/42(1/43)(42/43)+0.32*1/5

10、6(2/57)(55/57) =0.00031942 第五章 比率估计与回归估计 5.2 N 2000, n 36, 1 0.95, t 1.96, f = n/N 0.018， 0.000015359， 0.00392 置信区间为 40.93%,42.47%。 )(Rv )(Rse 第五章 比率估计与回归估计 5.3当 时用第一种方法 ， 当 时用第二种 方法 ， 当 时两种方法都可使用 。 这是因为： ， ， 若 则 0 Y X C C 2 Y XCC2 Y X C C 2 222 11)( YY CYn fSn fyV )2(1)()( 222 XYXY CCCCRn fRVxyV )(

11、 XyV 22222 11 YY CRn fCYXn f Y XCC2 )2(1)()( 2 XYX CCCRn fxyVXyV Y X C C 2 0)2( 1)()( 2 XYX CCCRn f x yV X yV Y XCC2 )2(1)()( 2 XYX CCCRn f x yV X yV 0 5.4 解 ： V(YR)(1 f)/nY2CY2+CX2 2rCYCX V(Ysrs)=(1 f)/nSY2 =(1 f)/n CY2Y2 故 V(YR)/V(Ysrs) = 1 2rCX/CY CX2/CY2 = 1-2*0.696*1.054/1.063-1.0542/1.0632 = 1

12、-0.397076 = 0.602924 5.5 证明：由 （ 5.6） 得： 21 2 1 )(1 )( d N i ii R SNn nN N RXY n fyV ,2 VSNn nN d 令 ，则 22 )( dd NSSNVn NV S V S SNV NS n d d d d 2 2 2 2 1 从而 5.6 解 (1) 简单估计 : 总产量 : Ysrs=(N/n)i=1n Yi=(140/10)1400+1120+ +480 =176400(斤 ) v(Ysrs)=N2(1 f)/nSY2 =1402(1 10/140)/10*194911.1 = 354738222 se(Ys

13、rs)= 18834.496 5.6 解 (2) 比率估计 : R =i=1n Yi/ i=1n Xi = 12600/29.7 = 424.2424 YR= XR = 460*424.2424 = 195151.5(斤 ) v(YR)=N2(1 f)/n *i=1n (yi RXi )2/(n-1) =1402(1 10/140)/90*124363.5 = 25149054 se(Ysrs)= 5014.883 面积 / 亩 产量 / 斤 3 1400 2.5 1120 4.2 1710 3.6 1500 1.8 720 5.2 1980 3.2 1310 2.4 1080 2.6 130

14、0 1.2 480 29.7 12600 5.6 解 (3) 回归估计 : 回归系数 b = Sxy/Sxx2= 370.5965 ylr=x b(x X)=1260 370.5965*(2.97 460/140)=1377.089 Ylr=Nylr=192792.47(斤 ) v(Ylr)=N2(1 f)/n *i=1n yi y b(xi x)2/(n-2) =1402(1 10/140)/80*89480.59 = 20356834 se(Ylr)= 4511.855 5.7解： ,)( YyE lr )1(1)( 22 Ylr S n fyV n i iilrlr XxBynxXByx

15、XByy 1 )(21)(2)( YxEXByEyE lrlr )()()( )(21)( 1 n i iilr XxBynVyV 2 1 )(2111 YXXBYNn f N i ii )(41)44(1 22222 YXxYYXXY SBSBSn fBSSBSn f )()1(11 222 lrYY yVSn fSn f 故估计量 虽然与 一样都是 的无偏估计 ， 但方差不小于 的方差 ， 当 时 ， 故 不优于 。 lry lry Ylry 0 )()( lrlr yVyV lry lry 0.223 9 0.251 4 0.154 8 0.057 3 0.048 7 0.102 2 0

16、.067 6 0.098 1 第六章 不等概率抽样 6.1假设对某个总体，事先给定每个单位的与 规模成比例的比值 Zi ，如下表，试用代码 法抽出一个 n=3的 PPS 样本。 i iz i iz 表 1 总体单位规模比值 6.1解：令 ,则可以得到下表，从 1 1000中 产生 n=3个随机数，设为 108， 597， 754，则第二、 第六和第七个单位入样。 0 1000M i Mi 累计 Mi 代码 1 2 3 4 5 6 7 8 98 102 57 251 67 48 154 223 98 200 257 508 575 623 777 1000 198 99200 201257 25

17、8508 509575 576623 627777 7781000 M0=1000 281 954 1 085 1 629 215 798 920 1 834 5 6 7 8 1 353 639 650 608 1 238 746 512 594 1 2 3 4 子公司 序号 子公司 序号 6.3欲估计某大型企业年度总利润，已知该企业 有 8个子公司，下表是各子公司上年利润 Xi 和当年利润 Yi 的数据，以 Mi作为单位 Xi大小 的度量 ,对子公司进行 PPS 抽样，设 n=3,试与 简单随机抽样作精度比较。 iYiXiYi X 表 2 某企业各子公司上年与当年利润（单位：万元） 对子公司

18、进行抽样，根据教材（ 6.7）式： 88 11 6 . 3 8 , 3 , 6 8 5 7 , 7 1 9 9ii ii N n X X Y 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 N i H H i i i N i i i Y V Y Z Y nZ Y XY nX 21 6 8 5 7 7 7 0 7 .8 2 7 1 9 9 3 3 4 2 3 0 3 . 5 5 8 5 .0 7HHVY 显然对 抽样，估计量的精度有显著的提高 。 如果对子公司进行简单随机抽样，同样样本量时 的 简单估计方差为： Y 2S R S yN N nV Y Sn 85 4580379.693 6107172

19、9. 2 7 8 1 4 .8 4S R SVY PPS 抽样的设计效应是： 3 4 2 3 0 3 .5 0 .0 0 5 6 0 5 61071729. 2d e ff PPS 6.4 解 (1) PPS的样本抽样方法可采用代码法或拉希里法 . (2) 若在时间长度 2、 8、 1、 7h中打入电话数量分别为 8、 29、 5、 28，则客户打入电话的总数： YHH=(35/4)8/2+29/8+5/1+28/7=145.46875 (3) 估计量的方差估计 v(YHH)=n(n 1)-1i=1n(yi/zi YHH)2 =352/(4*3)(8/2 4.15625)2+(29/8 4.1

20、5625)2 +(5/1 4.15625)2+(28/7 4.15625)2 =106.4697 6.5设总体 N=3, zi=1/2,1/3,1/6， Yi=10,8,5, 采取的 n=2的 PS抽样，求 i ,ij (i,j=1,2,3) 。 解： (1)所有可能样本为：（ 10， 8），（ 10， 5），（ 8， 10），（ 8， 5），（ 5， 10），（ 5， 8），其概率分别为： 1 2 2 2 3 6 1 1 12 3 6 1 3 3 3 4 12 1 1 1 3 4 12 1 3 3 6 5 30 1 2 2 6 5 3 0 1 2 1 3 3 5 1 6 6 1 2 3 0

21、6 0 2 2 1 3 2 4 4 6 1 2 1 2 3 0 6 0 3 1 1 3 2 2 5 6 1 2 3 0 3 0 6 0 12 2 3 3 5 6 1 2 6 0 13 1 3 1 6 6 3 0 6 0 23 1 2 9 12 30 60 所以： 6.6 解 (1) 简单随机抽样简单估计 Y=2+3+6+8+11+14=44 S2=(N 1)-1i=1N(Yi Y)2 =(2*3 22)2+(3*3 22)2+(6*3 22)2 +(8*3 22)2+(11*3 22)2+(14*3 22)2/(5*9) = 322/15 = 21.4667 总值估计的方差估计 V(Ysrs)

22、 = N2(1 f)/nS2 = 36(1 2/6)/2322/15 =1288/5 = 257.6 6.6 解 (2) 简单随机抽样比率估计 X=1+2+4+7+9+13=36， Y=2+3+6+8+11+14=44， R=44/36=11/9， f=2/6=1/3 总值估计的方差估计 V(YR) N2(1 f)/n i=1N(Yi RXi)2/(N 1) = 36(1 2/6)/10(2 1*11/9)2+(3 2*11/9)2 +(6 4*11/9)2 +(8 7*11/9)2 +(11 9*11/9)2+(14 13*11/9)2 = (12/5)*(488/81) = 14.46 6

23、.6 解 (3) PPS抽样汉森 赫维茨估计 X=1+2+4+7+9+13=36， Y=2+3+6+8+11+14=44， 取 Zi=Xi/X, (i=1,2,6) 总值估计的方差估计 V(YHH) = (1/n) i=1N Zi(Yi/Zi Y)2 = (1/nX)i=1N Xi(XYi/Xi Y)2 = (1/72)1*(36*2/1 44)2+2*(36*3/2 44)2 +4*(36*6/4 44)2 +7*(36*8/7 44)2 +9*(36*11/9 44)2+13*(36*14/13 44)2 = 24.96 第七章 整群抽样 7.1（略） 7.3 解： 不是 的无偏估计 ，

24、此因类似于 有 因为对群进行简单随机抽样 ， 故 ， ，从而 ，若取 则 2s 2S 1 )1()1( 222 AM SASMAS bw 1 )1()1( 22 2 aM sasMas bw 22 bb SEs 22 ww SEs 2222 1 )1()1( S aM SaSMaEs bw 1 )1()1( 222 AM sAsMAS bw 22 SSE 7.2 样本 耐用时数 1 1036 1075 1125 995 1088 1065 1023 988 1002 994 2 1047 1126 1183 1058 1142 1098 945 968 1036 987 3 1046 1153

25、 1087 984 1224 998 1032 976 1103 958 4 1153 1078 1039 1006 1214 1076 986 994 1048 1126 5 1216 1094 1096 1035 1004 1053 1004 1122 1080 1152 6 964 1136 1185 1021 1007 948 1024 975 1083 994 7 1113 1093 1005 1088 997 1034 985 997 1005 1120 8 1047 1097 1136 989 1073 1102 976 984 1004 1082 样 本 耐用时数 均值 标准差

26、 1 1036 1075 1125 995 1088 1065 1023 988 1002 994 1039.1 47.09907 2 1047 1126 1183 1058 1142 1098 945 968 1036 987 1059 78.46443 3 1046 1153 1087 984 1224 998 1032 976 1103 958 1056.1 85.65493 4 1153 1078 1039 1006 1214 1076 986 994 1048 1126 1072 73.9324 5 1216 1094 1096 1035 1004 1053 1004 1122 10

27、80 1152 1085.6 66.5736 6 964 1136 1185 1021 1007 948 1024 975 1083 994 1033.7 77.44539 7 1113 1093 1005 1088 997 1034 985 997 1005 1120 1043.7 53.65952 8 1047 1097 1136 989 1073 1102 976 984 1004 1082 1049 57.28098 y = (1/80)ij yij = 1054.78, sb2= (10/7)i (yi y)2 = 3017.65 V(y) = (1 f)/(aM)sb2 = (1

28、8/2000)/(8*10)*3017.65 = 37.5697 Se(y) = 6.1294 (1) 以每盒灯泡为群实施整群抽样 y = (1/80)ij yij = 1054.78, s2= (1/79)ij (yij y)2 = 4628.667 V(y) = (1 f)/(aM)s2 = (1 80/20000)/(8*10)*4628.667 = 57.6269 Se(y) = 7.5912 (2) 以从 20000个灯泡中按简单随机抽样 y = (1/80)ij yij = 1054.78, Sw2 = (1/a) i si2 = 1/(a(M 1)ij (yij yi)2 = 4

29、721.0056 r = (sb2 sw2)/sb2+(M 1)sw2 = -0.04723 Deff = V(y)/V(y) = 1+(M 1)r = 0.6694 7.4 对 7.2题群内相关系数进行估计 7.5 解：由于农户是调查单位，故以村为抽样单位的抽样是 整群抽样，村即是群。对于村既有生猪存栏数，也有户数，因 此在村大小不等的整群抽样下，既可使用简单估计量估计生猪 存栏数，也可以户数为辅助指标构造比率估计和回归估计来估 计生猪存栏数 。 （ 1）简单估计量 （ 2）以户数为辅助变量的比率估计量 ,1080063240200 yAY ,6 3 9 4 2 4 0 0 01 )()1(

30、 )( 1 2 2 a yy a fAYv a i i 2 5 2 8 7)( Yse ,1 1 3 6 8 4 2 8 5 0 3 2 4 01 0 0 0 0 0 1 1 0 a i i a i i R m y MY 314.452， 98880， 365.718， 133750 ys 2ys xs 2xs 1 36 8 4.1 2 85 0 3 24 0 1 1 a i i a i i m y R 0.934 r 13341)2()1()()( 222 2 xyxyRR srsRsRsa fAYvYse （ 3）以户数为辅助变量的回归估计量 8 0 3.022 x xy x yx s s

31、rs s sb 108000 0.803 （ 100000 200 475） 112015 475m )()( 0 mNMbYmNMNbYyNY lrlr 9034)1(21)1()()( 22 2 rsaaa fAYvYse ylrlr 显然以户数为辅助变量构造回归估计量效果最好。此因各村 生猪存栏数与村的规模（户数）有高度相关性， r 0.934， 故采用回归估计量精度最高。 企业 已婚女职工人数 /人 Mi 平均理想婚龄 /岁 yi 1 495 24.1 2 1020 22.8 3 844 25.5 4 1518 24.6 5 635 25.8 6 394 23.7 7 2346 24.

32、5 7.6 7.6 (1) 按简单随机抽样抽取 , 简单估计量估计 y = (1/7) i Mi yi = 25321.1571 M = 35680/35 = 1019.4286 Y = y / M = 24.8386 v(y) = (1f)/(a(a1)M2) i (yiy)2 = (17/35)/(42*1019.42862)*1711911436 = 31.3768 Se(y) = 5.6015 7.6 (2) 按简单随机抽样抽取 , 采用比率估计量估计 YR = i yi / i Mi = 177248.1/7252 = 24.4413 v(y) = (1f)/(a(a1)m2) i

33、(yiYmi )2 = (17/35)/(42*1019.42862)*4536349.45 = 0.0831445 Se(y) = 0.2883 7.6 (3) 按 PPS抽样抽取 , 抽样概率与企业女职工人数成比例 YHH = i yi / a = 24.4286 v(Y) = 1/(a(a1) i (yiy)2 = (1/42)*6.3542857 = 0.15129 se(Y) = 0.38896 7.7证明 分别以 记整群抽样 、 简单随机抽样的估计量： srscl u pp , 1 )( 1 )( 1 2 A PP a f pV A i i c l u 1 1 1 11)( 2 A

34、M APQ a fPQ AM AM aM fS aM fpV srs APQ PPM APQ PP A AM APQ PP A AM pV pVd e f f A i i A i i A i i srs c l u 1 2 1 2 1 2 )()()( 1 1 )( )( 7.8 市县编号 社会从业人员数 /万人 mi 第三产业从业人员数 /万人 ti 18 37.60 7.00 32 41.30 7.39 43 34.40 6.30 65 28.90 4.97 87 57.60 11.23 pR = i ti /i mi = 36.89/199.8 = 0.1846, 7.8 v(pR) = (1f)/(a(a1)m2) i (tipRmi )2 = (15/110)/(20*39.962)*0.549388 = 0.00001642 se(pR) = 0.004052