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1、双曲线的简单几何性质复习讲义知识回顾一、双曲线定义第一定义： ；第二定义： ；二、双曲线的方程1，标准方程： ；2，参数方程： 。三、双曲线的几何性质方程xoyF2F1P1. =1（a0，b0）2.=1（a0，b0）图象基本参数范围|x|a; 顶点A(a, 0), 对称性关于X轴、Y轴、原点对称离心率范围e1时ca,b0双曲线开口小e0时c0,ba双曲线开口大e1焦点F1(c, 0) F2(c, 0)准线、渐近线准线：； 渐近线：焦半径p(x0,y0)为双曲线右支上点，F1、F2为左右焦点则 p(x0,y0)为双曲线左支上点，F1、F2为左右焦点则“长加短减”|PF1|PF2|=2a过焦点的弦
2、AB长通径（过焦点垂直于实轴的弦）。1、正确理解双曲线的定义一要注意不要将“绝对值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要注意“常数”的条件，即常数2a |F1F2|时，其轨迹不存在。2、准确把握双曲线的标准方程（1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。（2）焦点在x轴上和焦点在y轴上的两种双曲线的异同：相同点：形状、大小相同，都有a0，b0，c=a+b；不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。（3）判断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x轴上标准方程中x项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上标准方程中y项的
3、系数为正。3、 对双曲线的几何性质的加强理解（1）双曲线的焦点（两个）总在它的实轴上。椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据；同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当e从接近于1逐渐增大时，的值就从接近于0逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大。（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法。因为y=x00，所以把标准方程1（a0，b0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：渐近线方程为mxny0的双曲线的方程为：mxny（0且为常数）。与双曲线1（a0，b0）有共同渐近线的双曲线方程可设为（0且为常数）。
4、（4）实轴与虚轴相等（即a=b）的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线为y=x，离心率e=。四、直线与双曲线的位置关系1，直线L方程与双曲线C方程联立消去y 得关于x的一元二次方程则：（1）当时： 直线与双曲线相交有两个交点； 直线与双曲线相切有一个交点； 直线与双曲线相离没有交点（2）当时：消元所得的是一次方程，此时不能用判别式来处理。2，求弦长方法：利用弦长公式；若过焦点用焦半径来求；3，弦的中点求法：一般把直线与双曲线方程联立再用韦达定理求：。五、共轭双曲线双曲线的共轭双曲线为。即为两共轭双曲线。（1） 共轭双曲线有相同的渐近线；（2） 共轭双曲线有相同的焦距（焦点不同），焦点在同一圆上；（3
5、） 共轭双曲线的离心率的平方的倒数和等于1。六、等轴双曲线双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.共渐近线的双曲线系方程：如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.典型例题一、直线与双曲线【例1】，过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点， 可作直线有：区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出
6、的直线数目可能有0、2、3、4条.例1 直线与双曲线的左支有且仅有一个公共点，则k的取值范围为_ 解：由已知得其渐近线方程为，又直线必过点（0，1）当时，直线与双曲线的左支没有公共点；当时，直线与双曲线的左支相交且仅有一个公共点；且直线与双曲线相切时仅有一个公共点，这时将直线代入双曲线， 得， 由，解得 又知只有时，直线与双曲线的左支相切，综上可知，k的取值范围是变式1过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为则， ，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令
7、，化简得：无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条和.说明：（1）若过点呢？过点呢？（分别是四条直线和两条直线）（2）用图象去判断直线的条数，可以知道：和渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点.变式2（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.解：由得得（*）设方程（*）的解为，则有 得，.（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为， 由得（*）设方程（*）的解为，则 ，且，得或.方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：， 即， 即（图象的一部分）说明：（1）弦长公式；（2）有关中点弦问
8、题的两种处理方法.二、求双曲线方程【例2】 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（3，2）；（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.剖析：设双曲线方程为=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为=1，由题意得解得a2=，b2=4.所以双曲线的方程为=1.（2）设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.解法二：（1）设所求双曲线方程为（0），将点（3，2）代入得，所以双曲线方程为
9、.（2）设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程axby=0，可设双曲线方程为a2x2b2y2=（0）.变式训练：1，ABC中已知BC=a，当动点A满足时，求动点A的轨迹方程。三、最值【例3】，已知点A（3，2），F（2，0），试在双曲线上求点P，使最小值。变式训练：1，已知A（4，2）、B（3，0），P是双曲线上一点，则|AP|+|PB|的最小值是 。（因为B为右焦点，则|AP|+|PB|=|AP|+|PF2|= |AP|+
10、（|PF1|4）|AF1|4=）2，若P是双曲线右支上一个动点，F是右焦点，已知A（3，1），则的最小值是 。四、双曲线的综合应用【例4】 如下图，在双曲线=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列.（1）求y1+y3的值；（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.剖析：可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A与C.由双曲线的对称性，易知A与C也在双曲线上，且A、B、C满足题
11、设条件，所以AC的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.（1）解：c=5，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|FB|=|FA|+|FC|.分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有2|BB2|=|AA2|+|CC2|，此即26=y1+y3，可见y1+y3=12.（2）证明：AC的中垂线方程为y
12、=（x），即y6=x+. 由于A、C均在双曲线上，所以有=1，=1.相减得=.于是有=（y1+y3）=12=13，故变为y=x+，易知此直线过定点D（0，）.评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.五、实际应用例5（04广东卷） (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
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