高一数学笔记

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1、第一章集合1 1 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。2 2 元素与集合的关系；（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to）A，记作 aA（2）如果a 不是集合 A 的元素，就说a 不属于（not belong to）A，记作aA（或aA）（举例）3 3 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作 N正整数集，记作 N*或 N+；整数集，记作 Z有理数集，记作 Q4 4 任何一个集合是它本身的子集5 5 真子集的概念：若集合A B，存在元素xB且x A，则称集合 A 是集合 B 的真子集（proper su

2、bset）。记作：AB（或 BA）6 6 空集的概念不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集7 7 集合基本运算的一些结论：ABA，ABB，AA=A，A=,AB=BAAAB，BAB，AA=A，A=A,AB=BA（CUA）A=U，（CUA）A=若 AB=A，则 AB，反之也成立若 AB=B，则 AB，反之也成立若 x（AB），则 xA 且 xB若 x（AB），则 xA，或 xB2A B，且B C，则A C：A A第二章函数第二章函数1.2.2 函数的表示法1 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，

3、使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B的一个函数（function）记作：y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain）；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域（range）2 2 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3 3 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB为从集合 A

4、到集合 B 的一个映射（mapping）记作“f：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截不同的其中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述补充：复合函数如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA)称为 f、g 的复合函数。1.3.1 函数的单调性1增函数一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（increasing function）思考：仿照增函数的定义

5、说出减函数的定义（学生活动）注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2)2函数的单调性定义如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间：3判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：1任取 x1，x2D，且 x11，且nN*2.1.1 指数n当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数此时，a的n次方根用

6、符号na表示式子na叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示正的n次方根与负的n次方根可以合并成na（a0）由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作n0 0思考：（课本 P58探究问题）nan=a一定成立吗？（学生活动）结论：当n是奇数时，nan aa(a 0)nnn当是偶数时，a|a|a(a 0)分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：amnnam(a 0,m,n N*,n 1)m

7、na1amn1nam(a 0,m,n N*,n 1)有理指数幂的运算性质（1）aa arsrsrrrs(a 0,r,sQ)；(a 0,r,sQ)；(a 0,b 0,r Q)（2）(a)a（3）(ab)a arrs2.1.2 指数函数及其性质（一）指数函数的概念一般地，函数y a(a 0,且a 1)叫做指数函数（exponential function），其中 x 是自x变量，函数的定义域为R2 你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？图象特征函数性质a 10 a 1a 10 a 1非奇非偶函数向 x、y 轴正负方向无限延伸图象关于原点和 y 轴不对称函数图象都在 x 轴上方函数图象

8、都过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐上升在第一象限内的图象纵坐标都大于 1自左向右看，图象逐渐下降在第一象限内的图象纵坐标都小于 1函数的定义域为 R函数的值域为 R+a01增函数减函数x 0,ax1x 0,ax1在第二象限内的图象纵坐标都小于 1图象上升趋势是越来越陡在第二象限内的图象纵坐标都大于 1图象上升趋势是越来越缓x 0,ax1函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；x 0,ax1函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；课题：2.2.1 对数1对数的概念一般地，如果a N(a 0,a 1)，那么数x叫做以，a为底N的对数（Logarithm）x记作：x logaNa 底

9、数，N 真数，logaN 对数式1注意底数的限制a 0，且a 1；说明：对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1 的对数是零：loga1 0；（3）底数的对数是 1：logaa 1；（4）对数恒等式：an（5）logaa nlogaN N；：2.2.2 对数函数（一）（一）对数函数的概念1定义：函数y logax(a 0，且a 1)叫做对数函数（logarithmic function）其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）1对数函数的定义与指数函数类似，注意：都是形式定义，注意辨别 如：y 2log2x，y log5x都不是对数函数，而只能称其为对数型函数52对数指数对数（二）对数的运算

10、性质如果a 0，且a 1，M 0，N 0，那么：1loga(MN)logaMlogaN；MlogaMlogaN；N3logaMn nlogaM(n R)2loga注意：换底公式logab logcb（a 0，且a 1；c 0，且c 1；b 0）logca利用换底公式推导下面的结论（1）logambn1n（2）logab logab；logbam函数对底数的限制：(a 0，且a 1)2类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表图象特征函数性质a 10 a 1a 10 a 1非奇非偶函数函数的值域为 R函数图象都在 y 轴右侧图象关于原点和 y 轴不对称向 y 轴正负方向无限延伸函数图象都过定点（1，1）自左向右看，图象逐渐上升第一象限的图象纵坐标都大于 0第二象限的图象纵坐标都小于 0自左向右看，图象逐渐下降第一象限的图象纵坐标都大于 0第二象限的图象纵坐标都小于 0函数的定义域为（0，）11增函数减函数x 1,logax 00 x 1,logax 00 x 1,logax 0 x 1,logax 0