机械能守恒定律及应用

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1、第3讲 机械能守恒定律及其应用考点考点1 1 重力做功与重力势能重力做功与重力势能1.1.重力做功的特点重力做功的特点(1)(1)重力做功与重力做功与_无关，只与始末位置的无关，只与始末位置的_有关有关.(2)(2)重力做功的大小重力做功的大小:W:WG G=mgh,=mgh,若物体下降，则重力做正若物体下降，则重力做正功，若物体上升，则重力做负功功，若物体上升，则重力做负功(或说成物体克服重力或说成物体克服重力做功）。做功）。(3)(3)重力做功不引起物体重力做功不引起物体_的变化的变化.路径路径高度差高度差机械能机械能2 2重力势能重力势能（1)1)定义：物体的重力势能等于定义：物体的重力

2、势能等于它所受重力它所受重力与与所处所处高度高度的乘积的乘积（2 2）表达式：）表达式：Ep=mgh(hEp=mgh(h为相对参考面的高度）为相对参考面的高度）（3 3）矢标性：重力势能是标量，但有正负，正负）矢标性：重力势能是标量，但有正负，正负表大小如表大小如EpEp1 1=2J,Ep=2J,Ep2 2=-4J=-4J则有则有EpEp1 1EpEp2 2（相对参考面（相对参考面的大小）。的大小）。（4)4)相对性：重力势能的大小与参考面的选取有关，相对性：重力势能的大小与参考面的选取有关，但重力势能的变化是绝对量，与参考面的选取无关但重力势能的变化是绝对量，与参考面的选取无关（5 5）系统

3、性：重力势能是物体和地球组成系统所）系统性：重力势能是物体和地球组成系统所共有的。共有的。(6).(6).重力做功与重力势能变化的关系重力做功与重力势能变化的关系1)1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大重力对物体做负功，重力势能就增大.2)2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即的减少量，即W WG G=-(E=-(Ep2p2-E-Ep1p1)=E)=Ep1p1-E-Ep2p2.3)3)重力势能的变化是绝对的，与参考面的选取无关重力势能的变化是绝对

4、的，与参考面的选取无关.3 3弹性势能弹性势能（1 1）定义：发生弹性形变的物体的各个部分之间，）定义：发生弹性形变的物体的各个部分之间，由于有弹力的相互作用，而具有的势能。由于有弹力的相互作用，而具有的势能。（2 2）大小：与形变和劲度系数有关（）大小：与形变和劲度系数有关（Ep=1/2kxEp=1/2kx2 2)(3)(3)矢标性：是标量，只有正直。矢标性：是标量，只有正直。（4)4)相对性：相对弹簧原长而言。形变量越大，则相对性：相对弹簧原长而言。形变量越大，则弹性势能越大弹性势能越大（5 5）弹力做功与弹性势能变化的关系）弹力做功与弹性势能变化的关系1,1,弹力做功与弹性势能变化的关系

5、类似于重力做功弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：与重力势能变化的关系，用公式表示：W=-EW=-Ep p.2,2,对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大,弹弹性势能越大性势能越大2.2.重力势能与弹性势能重力势能与弹性势能内容内容重力势能重力势能弹性势能弹性势能概念概念大小大小矢标性矢标性相对性相对性物体由于物体由于 而而具有的能具有的能物体由于发生物体由于发生 而而具有的能具有的能E Ep p=与形变量及劲度系数有与形变量及劲度系数有关关标量标量标量标量大小与所选取的参考大小与所选取的参考平面有关平面有关一般选弹

6、簧形变为零的状一般选弹簧形变为零的状态为弹性势能零点态为弹性势能零点被举高被举高弹性形变弹性形变mghmgh将质量为将质量为100 kg100 kg的物体从地面提升到的物体从地面提升到10 m10 m高处高处,在在这个过程中这个过程中,下列说法中正确的是下列说法中正确的是(取取g=10 g=10 m/sm/s2 2)()()A.A.重力做正功重力做正功,重力势能增加重力势能增加1.01.010104 4 J JB.B.重力做正功重力做正功,重力势能减少重力势能减少1.01.010104 4 J JC.C.重力做负功重力做负功,重力势能增加重力势能增加1.01.010104 4 J JD.D.重

7、力做负功重力做负功,重力势能减少重力势能减少1.01.010104 4 J JC C20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 1.1.关于重力势能，下列说法中正确的是关于重力势能，下列说法中正确的是()A.A.重力势能是地球与物体所组成的系统共有重力势能是地球与物体所组成的系统共有 B.B.重力势能为负值，表示物体的重力势能比重力势能为负值，表示物体的重力势能比 在参考平面上具有的重力势能少在参考平面上具有的重力势能少 C.C.卫星绕地球做椭圆运动，当由近地点向远卫星绕地球做椭圆运动，当由近地点向远 地点运动时，其重力势能减小地点运动时，其

8、重力势能减小 D.D.只要物体在水平面以下，其重力势能为负只要物体在水平面以下，其重力势能为负 值值ABAB20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 2.2.质量是质量是100g100g的物体从距地面的物体从距地面1.8m 1.8m 的高处落下，又弹到距地面的高处落下，又弹到距地面1.25m1.25m处，则处，则 重力对物体做的功为重力对物体做的功为_J_J。重力势。重力势 能的变化为能的变化为_J_J。(g g取取10m/s10m/s2 2)0.550.550.550.5520122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星

9、远程学校湖南长郡卫星远程学校 3.3.关于弹性势能的大小，下列说法正确的是关于弹性势能的大小，下列说法正确的是()A.A.当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大 B.B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小 C.C.在拉伸长度相同时，在拉伸长度相同时，k k越大的弹簧，它的越大的弹簧，它的 弹性势能越大弹性势能越大 D.D.弹簧拉伸时的弹性势能一定大于压缩时弹簧拉伸时的弹性势能一定大于压缩时 的的 弹性势能弹性势能C C20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 4.4.如图所示，

10、在光滑水平面上有如图所示，在光滑水平面上有A A、B B 两球，中间连一弹簧，两球，中间连一弹簧，A A球固定，今用手拿球固定，今用手拿 住住B B球将弹簧压缩一定距离，然后释放球将弹簧压缩一定距离，然后释放B B 球，在球，在B B球向右运动到最大距离的过程中，球向右运动到最大距离的过程中，B B球的加速度将球的加速度将_，B B球的速球的速 度将度将_，弹簧的弹性势能将，弹簧的弹性势能将 _。先变小后变大先变小后变大先变小后变大先变小后变大先变大后变小先变大后变小考点考点2 2机械能守恒定律机械能守恒定律1.1.内容内容:在只有重力或弹力做功的情况下，物体的在只有重力或弹力做功的情况下，物

11、体的_与与_相互转化，但机械能的总量保持相互转化，但机械能的总量保持_._.动能动能势能势能不变不变1.1.对对机械能守恒条件机械能守恒条件的理解的理解只有重力及系统内的弹力做功只有重力及系统内的弹力做功，可以从以下三方面理解：，可以从以下三方面理解：(1)(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒体运动，物体的机械能守恒.(2)(2)受其他力，但其他力不做功或其它力做功的代数和为零，受其他力，但其他力不做功或其它力做功的代数和为零，只有重力或系统内的弹力做功只有重力或系统内的弹力做功.如沿光滑斜面或光滑曲

12、面下滑如沿光滑斜面或光滑曲面下滑的过程。的过程。用能量转化来判断：若物体系统中用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互只有动能和势能的相互转化转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒守恒2.2.机械能守恒定律表达式机械能守恒定律表达式观观 点点表达式表达式守恒观点守恒观点转化观点转化观点转移观点转移观点 E Ek1k1+E+Ep1p1=E Ek k=E EA A=E Ek2k2+E+Ep2p2-E Ep p-E EB B2.2.对机械能守恒定律三种表达式的理解对机械能守恒定律三种表达式的理解(1)(1)守恒观点守恒观点.

13、意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能.注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面过程中必须选取同一个零势能参考平面.表达式表达式:mgh:mgh1 1+1/2mv+1/2mv1 12 2=mgh=mgh2 2+1/2mv+1/2mv2 22 2或或(2)(2)转化观点转化观点.意义：系统意义：系统(或物体或物体)的机械能守恒时，系统增加的机械能守恒时，系统增加(或减或减少少)的动能等于系统减少的动能等于系统减少(或增加或增加)的重力势能的重力势能.注意问题：要明确重力

14、势能的增加量或减少量，即重力注意问题：要明确重力势能的增加量或减少量，即重力势能的变化，可以不选取零势能参考平面势能的变化，可以不选取零势能参考平面.(3)(3)转移观点转移观点.意义：若系统由意义：若系统由A A、B B两部分组成，当系统的机械能守恒两部分组成，当系统的机械能守恒时，则时，则A A部分物体机械能的增加量等于部分物体机械能的增加量等于B B部分物体机械能的部分物体机械能的减少量减少量.注意问题：注意问题：A A部分机械能的增加量等于部分机械能的增加量等于A A末状态的机械能末状态的机械能减初状态的机械能，而减初状态的机械能，而B B部分机械能的减少量等于部分机械能的减少量等于B

15、 B初状态初状态的机械能减末状态的机械能的机械能减末状态的机械能.20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 (1)(1)机械能守恒定律是一种机械能守恒定律是一种“能能能转能转 化化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时关系，其守恒是有条件的，因此，应用时 首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是 否守恒做出判断。否守恒做出判断。(2)(2)如果系统如果系统(除地球外除地球外)只有一个物体，用只有一个物体，用 守恒观点列方程较方便；对于由两个或两个以守恒观点列方程较方便；对于由两个或两个以 上物体组成的

16、系统，用转化或转移的观点列方上物体组成的系统，用转化或转移的观点列方 程较简便。程较简便。名师点睛名师点睛 1.1.关于机械能是否守恒，下列说法正关于机械能是否守恒，下列说法正 确的是确的是()A.A.做匀速直线运动的物体机械能一定做匀速直线运动的物体机械能一定 守恒守恒 B.B.做圆周运动的物体机械能一定守恒做圆周运动的物体机械能一定守恒 C.C.做变速运动的物体机械能可能守恒做变速运动的物体机械能可能守恒 D.D.合外力对物体做功不为零，机械能合外力对物体做功不为零，机械能 一定不守恒一定不守恒C C2.(20112.(2011全国高考全国高考)一蹦极运动员身系弹性一蹦极运动员身系弹性 蹦

17、极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距 水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运 动员可视为质点，下列说法正确的是动员可视为质点，下列说法正确的是()A.A.运动员到达最低点前重力势能始终减小运动员到达最低点前重力势能始终减小 B.B.蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做 负功，弹性势能增加负功，弹性势能增加 C.C.蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所 组成的系统机械能守恒组成的系统机械能守恒 D.D.蹦极过程中，重力势能的改变与重力势蹦极过程中，重

18、力势能的改变与重力势 能零点的选取有关能零点的选取有关ABCABC20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 3.3.如图所示，在光滑水如图所示，在光滑水 平面上有一物体，它的左端平面上有一物体，它的左端 连接着一轻弹簧，弹簧的另连接着一轻弹簧，弹簧的另 一端固定在墙上，在力一端固定在墙上，在力F F作用下物体处于静止状作用下物体处于静止状 态，当撤去力态，当撤去力F F后，物体将向右运动，在物体向后，物体将向右运动，在物体向 右运动的过程中，下列说法正确的是右运动的过程中，下列说法正确的是()A.A.弹簧的弹性势能逐渐减少弹簧的弹性势能逐渐

19、减少 B.B.弹簧的弹性势能逐渐增加弹簧的弹性势能逐渐增加 C.C.弹簧的弹性势能先增加后减少弹簧的弹性势能先增加后减少 D.D.弹簧的弹性势能先减少后增加弹簧的弹性势能先减少后增加D D4.(20124.(2012大理模拟大理模拟)如图所示，将一个内外侧面均如图所示，将一个内外侧面均 光滑的半圆形光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一 坚直墙壁。现让一小球自坚直墙壁。现让一小球自左端槽口左端槽口A A点的正上方由静点的正上方由静 止开始下落，从止开始下落，从A A点与半圆形槽相切进点与半圆形槽相切进入槽内，则下入槽内，则下 列说法正确的是列说法正确的

20、是()A.A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重 力对它做功力对它做功 B.B.小球从小球从A A点向半圆形槽的最低点运动的过程点向半圆形槽的最低点运动的过程 中中,小球处于失重状小球处于失重状态态 C.C.小球从小球从A A点经最低点向右点经最低点向右 侧最高点侧最高点运动的过程中，小球与运动的过程中，小球与 槽组成的系统机槽组成的系统机械能守恒械能守恒 D.D.小球从下落到从右侧离开小球从下落到从右侧离开 槽的过程槽的过程机械能守恒机械能守恒C C如图所示，物块、斜面和水平面都是光滑的，物块从如图所示，物块、斜面和水平面都是光滑的，物块从静止开始沿

21、斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？静止开始沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？解析：解析：以物块和斜面组成的系以物块和斜面组成的系统为研究对象，很明显物块下统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒又阻力，故系统机械能守恒又由斜面将向左运动，即斜面的由斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械机械能将增大，故物块的机械能一定将减少能一定将减少20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 20122012年下学期年下学期 制作制作 060

22、6 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 (3)(3)选取零势能面，确定研究对象在选取零势能面，确定研究对象在 初、末状态的机械能。初、末状态的机械能。(4)(4)根据机械能守恒定律列出方程。根据机械能守恒定律列出方程。(5)(5)解方程求出结果，并对结果进行解方程求出结果，并对结果进行 必要的讨论和说明。必要的讨论和说明。质量为质量为m m的小球从高的小球从高H H处由静止开始自由下落，以地面作为零势处由静止开始自由下落，以地面作为零势能面能面.当小球的动能和重力势能相等时，重力的瞬时功率为当小球的动能和重力势能相等时，重力的瞬时功率为()()【解析解析】选选B.B.设当小球动能和重力势

23、能相等时，小球下落的高设当小球动能和重力势能相等时，小球下落的高度度为为h,h,由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得mgH=mvmgH=mv2 2+mg(H-h)+mg(H-h)，mvmv2 2=mg(H-h)=mg(H-h)，解解得得:故此时重力的功率为故此时重力的功率为P=mgv=BP=mgv=B正确正确.11A.2m g gH B.m g gH C.m g gH D.m g gH231212Hh,vgH,2mg gH,机械能守恒的判断机械能守恒的判断【例证例证1 1】如图所示，质量均为如图所示，质量均为m m的的A A、B B两个小球，用长为两个小球，用长为2L2L的轻质杆相连接，在竖直

24、平面内绕固定轴的轻质杆相连接，在竖直平面内绕固定轴O O沿顺时针方向自沿顺时针方向自由转动由转动(转轴在杆的中点转轴在杆的中点)，不计一切摩擦，某时刻，不计一切摩擦，某时刻A A、B B球恰球恰好在如图所示的位置，好在如图所示的位置，A A、B B球的线速度大小均为球的线速度大小均为v,v,下列说法下列说法正确的是正确的是()()A.A.运动过程中运动过程中B B球机械能守恒球机械能守恒B.B.运动过程中运动过程中B B球速度大小不变球速度大小不变C.BC.B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量保持球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量保持不变不变D.BD.B球在运动到最高点

25、之前，单位时间内机械能的变化量不断球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量不断变化变化【解题指南解题指南】解答本题时应注意以下两点：解答本题时应注意以下两点：(1)A(1)A、B B两球的速度大小始终相等两球的速度大小始终相等.(2)B(2)B球单位时间内高度变化的关系球单位时间内高度变化的关系.【自主解答自主解答】选选B B、D.D.以以A A、B B球组成的系统为研究对象，两球在球组成的系统为研究对象，两球在运动过程中，只有重力做功运动过程中，只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零轻杆对两球做功的和为零)，两球的，两球的机械能守恒，以过机械能守恒，以过O O点的水平面为重力势能的参考平

26、面时，系统点的水平面为重力势能的参考平面时，系统的总机械能为的总机械能为E=2E=2 mv mv2 2=mv=mv2 2.假设假设A A球下降球下降h,h,则则B B球上升球上升h h，此时，此时两球的速度大小是两球的速度大小是vv，由机械能守恒定律知，由机械能守恒定律知mvmv2 2=mv=mv2 22+mgh-mgh,2+mgh-mgh,得到得到v=v,v=v,故运动过程中故运动过程中B B球速度大小不变球速度大小不变.当单独分当单独分析析B B球时，球时，B B球在运动到最高点之前，动能保持不变，重力势能在球在运动到最高点之前，动能保持不变，重力势能在不断增加不断增加.由几何知识可得单位

27、时间内由几何知识可得单位时间内B B球上升的高度不同，因此球上升的高度不同，因此机械能的变化量是不断改变的机械能的变化量是不断改变的.B.B、D D正确正确.1212【总结提升总结提升】机械能是否守恒的判断方法机械能是否守恒的判断方法(1)(1)利用机械能的定义判断利用机械能的定义判断(直接判断直接判断):):机械能包机械能包括动能、重力势能和弹性势能，判断机械能是否括动能、重力势能和弹性势能，判断机械能是否守恒可以看物体或系统机械能的总和是否变化守恒可以看物体或系统机械能的总和是否变化.(2)(2)用做功判断：若物体或系统只有重力用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧或弹簧的弹力的弹力)做

28、功，虽受其他力，但其他力不做功，机做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒械能守恒.(3)(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒化，则物体系统机械能守恒.(4)(4)对多个物体组成的系统，除考虑是否只有重力对多个物体组成的系统，除考虑是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因有摩擦热产生，系统机械能将有损力做功时，因有摩擦热产生，系统机械能将有损失失.【变式训练变式训练】

29、(2012(2012闸北区模拟闸北区模拟)乒乓球上下振乒乓球上下振动动,振动的幅度愈来愈小振动的幅度愈来愈小,关于乒乓球的机械能关于乒乓球的机械能,下下列说法中正确的是列说法中正确的是()()A.A.机械能守恒机械能守恒B.B.机械能减少机械能减少C.C.机械能增加机械能增加D.D.机械能有时增加机械能有时增加,有时减少有时减少【解析解析】选选B.B.乒乓球振动的幅度愈来愈小乒乓球振动的幅度愈来愈小,说明乒说明乒乓球克服阻力做功乓球克服阻力做功,故机械能减少故机械能减少,只有只有B B项正确项正确.【变式备选变式备选】如图所示，具有一定初速度的物块，如图所示，具有一定初速度的物块，沿倾角为沿倾

30、角为3030的粗糙斜面向上运动的过程中，受的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力一个恒定的沿斜面向上的拉力F F作用，这时物块的作用，这时物块的加速度大小为加速度大小为4 m/s4 m/s2 2，方向沿斜面向下，那么，方向沿斜面向下，那么，在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是()()A.A.物块的机械能一定增加物块的机械能一定增加B.B.物块的机械能一定减小物块的机械能一定减小C.C.物块的机械能可能不变物块的机械能可能不变D.D.物块的机械能可能增加也可能减小物块的机械能可能增加也可能减小A A【解析解析】选选A.A.机械能变化的

31、原因是非重力、弹力机械能变化的原因是非重力、弹力做功，题中除重力外，有拉力做功，题中除重力外，有拉力F F和摩擦力和摩擦力F Ff f做功，做功，则机械能的变化取决于则机械能的变化取决于F F与与F Ff f做功大小关系做功大小关系.由由mgsin+Fmgsin+Ff f-F=ma-F=ma知：知：F-FF-Ff f=mgsin30=mgsin30-ma0-ma0，即即FFFFf f，故，故F F做正功多于克服摩擦力做功，故机械做正功多于克服摩擦力做功，故机械能增加能增加.A.A项正确项正确.BDBD1.1.（(2011(2011南通模拟南通模拟)如图所示，如图所示，A,A,B B两球质量相等

32、，两球质量相等，A A球用不球用不能伸长的轻能伸长的轻 绳系于绳系于O O点，点，B B球用轻弹簧系于球用轻弹簧系于O O点，点，O O与与O O点在同一水平面上，分别将点在同一水平面上，分别将A A、B B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹于水平，弹 簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球两球 达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则则()()A A两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等 B

33、B两球到达各自悬点的正下方时，两球到达各自悬点的正下方时，A A球动能较大球动能较大C C两球到达各自悬点的正下方时，两球到达各自悬点的正下方时，B B球动能较大球动能较大D D两球到达各自悬点的正下方时，两球到达各自悬点的正下方时，A A球受到向上的拉力较大球受到向上的拉力较大 BDBD 解析：解析：整个过程中两球减少的重力势能相等，整个过程中两球减少的重力势能相等，A A球减少的重球减少的重力势能完全转化为力势能完全转化为A A球的动能，球的动能，B B球减少的重力势能转化为球减少的重力势能转化为B B球的动能和弹簧的弹性势能，所以球的动能和弹簧的弹性势能，所以A A球的动能大于球的动能大

34、于B B球的动球的动能，所以能，所以B B正确；在正确；在O O点正下方位置根据牛顿第二定律，小点正下方位置根据牛顿第二定律，小球所受拉力与重力的合力提供向心力，则球所受拉力与重力的合力提供向心力，则A A球受到的拉力较球受到的拉力较大，所以大，所以D D正确。正确。答案：答案：BDBD 如下图所示，总长为如下图所示，总长为L L的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时某一的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？o o=0=0重心重心v v

35、重心重心 解：解：铁链下滑过程机械能守恒。铁链下滑过程机械能守恒。初态机械能为：初态机械能为：末态机械能为：末态机械能为：根据机械能守恒根据机械能守恒 E E1 1=E=E2 2LgLmvLmEEEPk41)()(210202222gLv 解得：解得：0111PKEEE选初态重心所在平面为零势能面。选初态重心所在平面为零势能面。设单位长度的质量为设单位长度的质量为 m m0 0 则则:(2010(2010 年上海卷年上海卷)如图如图 ，ABC ABC 和和 ABD ABD 为两个光滑固为两个光滑固定轨道，定轨道，A A、B B、E E 在同一水平面，在同一水平面，C C、D D、E E 在同一

36、竖在同一竖直线上，直线上，D D 点距水平面的高度为点距水平面的高度为 h h，C C 点高度为点高度为 2h2h，一滑块从一滑块从 A A点以初速度点以初速度 v v0 0 分别沿两轨道滑行到分别沿两轨道滑行到 C C 或或 D D 处后水平抛出处后水平抛出(1)(1)求滑块落到水平面时，落点与求滑块落到水平面时，落点与 E E 点间的距离点间的距离 s sC C 和和 s sD D.(2)(2)为实现为实现 s sC Cs sD D，v v0 0 应应满足什么条件？满足什么条件？【例证例证2 2】(15(15分分)如图所示，斜面轨道如图所示，斜面轨道ABAB与水平面与水平面之间的夹角之间的

37、夹角=53=53，BDBD为半径为半径R=4 mR=4 m的圆弧形轨的圆弧形轨道，且道，且B B点与点与D D点在同一水平面上，在点在同一水平面上，在B B点，斜面轨点，斜面轨道道ABAB与圆弧形轨道与圆弧形轨道BDBD相切，整个轨道处于竖直平相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在面内且处处光滑，在A A点处有一质量点处有一质量m=1 kgm=1 kg的小球的小球由静止滑下，经过由静止滑下，经过B B、C C两点后从两点后从D D点斜抛出去，最点斜抛出去，最后落在地面上的后落在地面上的S S点时的速度大小点时的速度大小v vS S=8 m/s=8 m/s，已知，已知A A点距地面的高度点距

38、地面的高度H=10 mH=10 m，B B点距地面的高度点距地面的高度h=5 mh=5 m，设以设以MDNMDN为分界线，其左边为一阻力场区域，右边为分界线，其左边为一阻力场区域，右边为真空区域，为真空区域，g g取取10 m/s10 m/s2 2，cos53cos53=0.6=0.6，求：，求：(1)(1)小球经过小球经过B B点时的速度为多大？点时的速度为多大？(2)(2)小球经过圆弧轨道最低处小球经过圆弧轨道最低处C C点时对轨道的压力为点时对轨道的压力为多大？多大？(3)(3)小球从小球从D D点抛出后，受到的阻力点抛出后，受到的阻力F Ff f与其瞬时速度与其瞬时速度方向始终相反，求

39、小球从方向始终相反，求小球从D D点到点到S S点的过程中阻力点的过程中阻力F Ff f所做的功所做的功.【解题指南解题指南】解答本题时应注意以下三个方面：解答本题时应注意以下三个方面：(1)(1)轨道轨道ABCDABCD光滑，只有重力对小球做功光滑，只有重力对小球做功.(2)MN(2)MN左侧为阻力场区域，有阻力对小球做负功左侧为阻力场区域，有阻力对小球做负功.(3)B(3)B、D D等高，两处小球速度大小相等等高，两处小球速度大小相等.【规范解答规范解答】(1)(1)设小球经过设小球经过B B点时的速度大小为点时的速度大小为v vB B,由机械能由机械能守恒得：守恒得：mg(H-h)=mv

40、mg(H-h)=mvB B2 2 (3 (3分分)解得解得v vB B=10 m/s.(1=10 m/s.(1分分)(2)(2)设小球经过设小球经过C C点时的速度为点时的速度为v vC C,对轨道的压力为对轨道的压力为F FN N，则轨道，则轨道对小球的支持力对小球的支持力F FN N=F=FN N，根据牛顿第二定律可得，根据牛顿第二定律可得F FN N-mg=(2-mg=(2分分)由机械能守恒得：由机械能守恒得：mgR(1-cos53mgR(1-cos53)+mv)+mvB B2 2=mv=mvC C2 2 (3 (3分分)由以上两式及由以上两式及F FN N=F=FN N解得解得F FN

41、 N=43 N.(2=43 N.(2分分)122CvmR1212(3)(3)设小球受到的阻力为设小球受到的阻力为F Ff f,到达到达S S点的速度为点的速度为v vS S,在此在此过程中阻力所做的功为过程中阻力所做的功为W W，由机械能守恒知，由机械能守恒知v vD D=v=vB B,由动由动能定理可得能定理可得mgh+W=mvmgh+W=mvS S2 2-mv-mvD D2 2.(3.(3分分)解得解得W=-68 J.(1W=-68 J.(1分分)答案：答案：(1)10 m/s (2)43 N (3)-68 J(1)10 m/s (2)43 N (3)-68 J1212【总结提升总结提升】

42、机械能守恒问题的规范解答机械能守恒问题的规范解答1.1.一般步骤一般步骤(1)(1)选取研究对象选取研究对象 (2)(2)分析受力情况和各力做功情况，确定是否符合机械能分析受力情况和各力做功情况，确定是否符合机械能守恒条件守恒条件.(3)(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况化情况.(4)(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解选择合适的表达式列出方程，进行求解.(5)(5)对计算结果进行必要的讨论和说明对计算结果进行必要的讨论和说明.单个物体多个物体组成的系统含弹簧的系统2.2.应注意的问题应注意的问题(1)(1)列方程时，选

43、取的表达角度不同，表达式不同，列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同对参考平面的选取要求也不一定相同.(2)(2)应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同.【变式训练变式训练】如图甲所示，一半径如图甲所示，一半径R=1 mR=1 m、圆心角等于、圆心角等于143143的竖直圆弧形光滑轨道，与斜面相切于的竖直圆弧形光滑轨道，与斜面相切于B B处，圆弧轨道的最处，圆弧轨道的最高点为高点为M M，斜面倾角，斜面倾角=37=37,在在t=0t=0时

44、刻有一物块沿斜面上滑，时刻有一物块沿斜面上滑，其在斜面上运动的速度变化规律如图乙所示其在斜面上运动的速度变化规律如图乙所示.若物块恰能达若物块恰能达到到M M点点(g=10m/s(g=10m/s2 2,sin37,sin37=0.6,cos37=0.6,cos37=0.8),=0.8),求：求：(1)(1)物块经过物块经过B B点时的速度点时的速度v vB B;(2)(2)物块与斜面间的动摩擦因数物块与斜面间的动摩擦因数;(3)AB(3)AB间的距离间的距离x xABAB.【解析解析】(1)(1)由题意物块恰能到达由题意物块恰能到达M M点点,则在则在M M点有点有由机械能守恒定律有由机械能守

45、恒定律有 mgR(1+cos37 mgR(1+cos37)=)=代入数据可求得：代入数据可求得：(2)(2)由由v-tv-t图可知物块运动的加速度图可知物块运动的加速度a=10 m/sa=10 m/s2 2由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有 mgsin37 mgsin37+mgcos37+mgcos37=ma=ma所以物块与斜面间的动摩擦因数所以物块与斜面间的动摩擦因数2MvmgmR22BM11mvmv22Bv46 m/s.a gsin370.5gcos37(3)(3)由运动学公式由运动学公式2ax2axABAB=v=vA A2 2-v-vB B2 2.又又v vA A=8 m/s,=8 m/s

46、,得得x xABAB=0.9 m.=0.9 m.答案：答案：(1)(2)0.5 (3)0.9(1)(2)0.5 (3)0.9 m m46 m/s3 3光滑曲面轨道置于高度为光滑曲面轨道置于高度为H H1.8 m1.8 m的平台上，的平台上，其末端切线水平；另有一长木板两端分别搁在轨其末端切线水平；另有一长木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面间，构成倾角为道末端点和水平地面间，构成倾角为3737的的斜面，如图所示。一个可视作质点的质量为斜面，如图所示。一个可视作质点的质量为m m1 1 kgkg的小球，从光滑曲面上由静止开始下滑的小球，从光滑曲面上由静止开始下滑(不计空不计空气阻力，气阻力，g

47、g取取10 m/s10 m/s2 2，sin37sin370.60.6，cos37cos370.8)0.8)(1)(1)若小球从高若小球从高h h0.2 m0.2 m处下滑，则小球离开平台时速度处下滑，则小球离开平台时速度v v0 0的大小是多少？的大小是多少？(2)(2)若小球下滑后正好落在木板的末端，则释放小球的高度若小球下滑后正好落在木板的末端，则释放小球的高度h h为多大？为多大？(3)(3)试推导小球下滑后第一次撞击木板时的动能与它下滑高试推导小球下滑后第一次撞击木板时的动能与它下滑高度度h h的关系表达式。的关系表达式。答案答案：(1)2 m/s(1)2 m/s(2)0.8 m(2

48、)0.8 m(3)(3)E Ek k32.532.5h h20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 例例 3如图所示，滑块质量为如图所示，滑块质量为 m，与水，与水 平地面间的动摩擦因数为平地面间的动摩擦因数为 0.1，它以，它以 v03 gR 的初速度由的初速度由 A 点开始向点开始向 B 点滑行，点滑行，AB5R，并滑上光滑的半径为，并滑上光滑的半径为 R 的的14圆弧圆弧 BC，在在 C 点正上方有一离点正上方有一离 C 点高度也为点高度也为 R 的旋转平台，沿平的旋转平台，沿平 台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔台直径方向开有两

49、个离轴心距离相等的小孔 P、Q，旋转，旋转 时两孔均能达到时两孔均能达到 C 点的正上方。若滑块滑过点的正上方。若滑块滑过 C 点后从点后从 P 孔上升又恰能从孔上升又恰能从 Q 孔落下，则平台转动的角速度孔落下，则平台转动的角速度 应满应满 足什么条件？足什么条件？20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 (1)(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。程中，系统的机械能是

50、否守恒。(2)(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。和位移关系。(3)(3)列机械能守恒方程时，一般选用列机械能守恒方程时，一般选用E Ek kE Ep p的形式。的形式。例例33如图所示，长为如图所示，长为L L的轻杆，一端装的轻杆，一端装有固定光滑的转动轴有固定光滑的转动轴O O，另一端及中点固，另一端及中点固定着质量相同的定着质量相同的B B球和球和A A球，将轻杆从水球，将轻杆从水平位置由静止释放，当平位置由静止释放，当 轻杆摆至竖直位置时，轻杆摆至竖直位置时，A A、B B两球两球的速度大小各是多少？的速度大小各是多少？审题

51、指导审题指导 A A、B B两球各自的机械能并不守恒，所以应两球各自的机械能并不守恒，所以应用机械能守恒定律时，必须选用机械能守恒定律时，必须选A A、B B组成的系统为研究对组成的系统为研究对象，又由于象，又由于A A、B B均绕均绕O O点做圆周运动，故可由点做圆周运动，故可由v vrr得得出出A A、B B两球速度间的关系两球速度间的关系。3.(3.(双选双选)如图所示，在光滑固定的曲面上，放有两个质量如图所示，在光滑固定的曲面上，放有两个质量分别为分别为1 kg1 kg和和2 kg2 kg的可视为质点的小球的可视为质点的小球A A和和B B，两球之间用，两球之间用 一根轻质弹簧相连，用

52、一根轻质弹簧相连，用手拿着手拿着A A如图所如图所 示竖直放置，示竖直放置，ABAB间距离间距离L L0.2 m0.2 m，小球，小球B B刚刚与曲面接刚刚与曲面接 触且距水平面的高度触且距水平面的高度h h0.1 m0.1 m。此时弹簧的弹性势能。此时弹簧的弹性势能E Ep p1 J1 J，自由释放后两球以及弹簧从静止开始下滑到光滑，自由释放后两球以及弹簧从静止开始下滑到光滑地面上，以后一直沿光滑地面运动，不计一切碰撞时机械地面上，以后一直沿光滑地面运动，不计一切碰撞时机械能的损失，能的损失，g g取取10 m/s10 m/s2 2。则下列说法中正确的是。则下列说法中正确的是 ()答案：答案

53、：BDBD如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角=30=30，另一边与水平地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的另一边与水平地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细绳跨过定滑轮，两端分别与物体细绳跨过定滑轮，两端分别与物体A A和和B B连接，连接，A A的质量的质量为为4m4m，B B的质量为的质量为m m。开始时将。开始时将B B按在地面上不动，然后按在地面上不动，然后放开手，让放开手，让A A沿斜面下滑而沿斜面下滑而B B上升。物块上升。物块A A与斜面间无摩与斜面间无摩擦，若擦，若A A沿斜面下滑沿斜面下滑s s距离时，细绳突然断了。求物体距离时，细绳

54、突然断了。求物体B B上升的最大高度上升的最大高度H H。(B(B始终不与定滑轮相碰始终不与定滑轮相碰)A AB B解析：解析：从静止到绳断系统机械能守恒：从静止到绳断系统机械能守恒：0214sin3052mgsmgsmv225vgs212mvmgh0.2hs1.2Hshs绳断后对绳断后对B B有：有：内壁及边缘光滑的半球形容器，半径为内壁及边缘光滑的半球形容器，半径为R R，质量为，质量为M M和和m m的两个小球用不可伸长的细线相连，现将的两个小球用不可伸长的细线相连，现将M M由静止从由静止从容器边缘内侧释放，如图所示，试计算容器边缘内侧释放，如图所示，试计算M M滑到容器底滑到容器底时

55、，两者的速率各为多大？时，两者的速率各为多大？M Mm mR R2211222MmMgRmgRMvmv0sin45mMvv(2)22MMm gRvMm2(2)2mMm gRvMm解析：此过程系统机械能守恒，有：解析：此过程系统机械能守恒，有：解得：解得：m mM M4 54 50 0v vm mv vM Mv vm m如图可知：如图可知：如图所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，用轻绳跨如图所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，用轻绳跨过圆柱体与两小球过圆柱体与两小球m m1 1、m m2 2相连相连(m(m1 1、m m2 2分别为它们的质分别为它们的质量量)，开始时让，开始时让m m1 1放在平台

56、上，两边绳绷直，两球从静放在平台上，两边绳绷直，两球从静止开始止开始m m1 1上升，上升，m m2 2下降，当下降，当m m1 1上升到圆柱的最高点时，上升到圆柱的最高点时，绳子突然断裂，发现绳子突然断裂，发现m m1 1恰能做平抛运动抛出求恰能做平抛运动抛出求m m2 2应为应为m m1 1的多少倍？的多少倍？解析：解析：m m1 1与与m m2 2组成的系统机械能守恒由题意知：组成的系统机械能守恒由题意知：动能增加量为：动能增加量为：重力势能改变量为：重力势能改变量为：22121122KEm vm v21()22PREm g Rm gR KPEE 211vm gmR2151mm到最高点绳

57、子突然断裂，到最高点绳子突然断裂，m m1 1恰能做平抛运动抛出，有：恰能做平抛运动抛出，有：由以上各式解得：由以上各式解得：【例证例证3 3】有一个固定的光滑直杆，该直杆与水平有一个固定的光滑直杆，该直杆与水平面的夹角为面的夹角为5353，杆上套着一个质量为，杆上套着一个质量为m=2 kgm=2 kg的的滑块滑块(可视为质点可视为质点).).乙乙(1)(1)如图甲所示，滑块从如图甲所示，滑块从O O点由静止释放，下滑了位移点由静止释放，下滑了位移x=1 mx=1 m后到达后到达P P点，求滑块此时的速率点，求滑块此时的速率.(2)(2)如果用不可伸长的细绳将滑块如果用不可伸长的细绳将滑块m

58、m与另一个质量为与另一个质量为M=2.7 kgM=2.7 kg的物块通过光滑的定滑轮相连接，细绳因悬的物块通过光滑的定滑轮相连接，细绳因悬挂挂M M而绷紧，此时滑轮左侧绳恰好水平，其长度而绷紧，此时滑轮左侧绳恰好水平，其长度 (如图乙所示如图乙所示).).再次将滑块从再次将滑块从O O点由静止释放，求滑块点由静止释放，求滑块滑至滑至P P点的速度大小点的速度大小.(.(整个运动过程中整个运动过程中M M不会触地，不会触地，sin53sin53=0.8,cos53=0.8,cos53=0.6,g=0.6,g取取10 m/s10 m/s2 2)5L m3【解题指南解题指南】解答本题时应注意以下两点

59、：解答本题时应注意以下两点：(1)(1)滑块滑块m m与物块与物块M M的速度大小关系；的速度大小关系；(2)(2)滑块滑块m m与物块与物块M M的位移大小关系的位移大小关系.【自主解答自主解答】(1)(1)设滑块下滑至设滑块下滑至P P点时的速度为点时的速度为v v1 1,由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得mgxsin53mgxsin53=mv=mv1 12 2解得解得v v1 1=4 m/s=4 m/s12(2)(2)设滑块再次滑到设滑块再次滑到P P点时速度为点时速度为v v2 2,M M的速度为的速度为v vM M,如图如图,将将v v2 2进行分解得：进行分解得：v vM M=v

60、=v2 2coscos绳与直杆的夹角为绳与直杆的夹角为，由几何关系得，由几何关系得=90=90v vM M=0=0再由系统机械能守恒定律得：再由系统机械能守恒定律得：MgL(1-sin53MgL(1-sin53)+mgxsin53)+mgxsin53=mv=mv2 22 2+0+0解得解得v v2 2=5 m/s=5 m/s答案：答案：(1)4 m/s (2)5 m/s(1)4 m/s (2)5 m/s 12【互动探究互动探究】本题中若直杆和细绳足够长，试求滑块沿杆本题中若直杆和细绳足够长，试求滑块沿杆下滑的最大距离下滑的最大距离x xm m.【解析解析】如图所示如图所示,设设M M上升的最大

61、高度为上升的最大高度为H HM M，则，则有有(H(HM M+L)+L)2 2=(x=(xm m-x)-x)2 2+(Lsin53+(Lsin53)2 2由系统机械能守恒得：由系统机械能守恒得：mgxmgxm msin53sin53-MgH-MgHM M=0=0可求得：可求得：x xm m=6.127 m=6.127 m答案答案:6.127 m6.127 m【总结提升总结提升】多物体机械能守恒问题的分析方法多物体机械能守恒问题的分析方法(1)(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒程中，系统的机械能是否守恒.(2)(2)注

62、意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系和位移关系.(3)(3)列机械能守恒方程时，一般选用列机械能守恒方程时，一般选用EEk k=-E=-Ep p的的形式形式.20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 .(2012.(2012汉中模拟汉中模拟)倾角为倾角为的光滑斜面上的光滑斜面上 放有放有两个质量均为两个质量均为m m的小球的小球A A和和B B，两球之间用，两球之间用 一根长一根长为为L L的轻杆相连，下面的小球的轻杆相连，下面的小球B B离斜面底离斜面底 端的高度端的高度为为h h，两球

63、从静止开始下滑，不计机，两球从静止开始下滑，不计机 械能损失，械能损失，求：求：(1)(1)两球都进入光滑水平面时两小球运动两球都进入光滑水平面时两小球运动 的速度大小；的速度大小；(2)(2)此过程中杆对此过程中杆对B B球球 所做的功。所做的功。20122012年下学期年下学期 制作制作 0606 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校 【例证例证】如图所示，质量为如图所示，质量为m m1 1的物体的物体A A经一轻质弹经一轻质弹簧与下方地面上的质量为簧与下方地面上的质量为m m2 2的物体的物体B B相连，弹簧的相连，弹簧的劲度系数为劲度系数为k k，A A、B B都处于静止状态都处于

64、静止状态.一条不可伸一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮，一端连物体长的轻绳绕过定滑轮，一端连物体A A，另一端连一，另一端连一轻挂钩轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，开始时各段绳都处于伸直状态，A A上方的一上方的一段绳沿竖直方向段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为现在挂钩上挂一质量为m m3 3的物体的物体C C并从静止状态释放，已知它恰好能使并从静止状态释放，已知它恰好能使B B离开地面但不继续上升离开地面但不继续上升.若将若将C C换成另一个质量为换成另一个质量为(m(m1 1+m+m3 3)的物体的物体D D，仍从上述初位置由静止，仍从上述初位置由静止状态释放，则这次状态释放，则这次B B

65、刚离地时刚离地时D D的速度的大小是多少？已知重力加的速度的大小是多少？已知重力加速度为速度为g.g.考查内容考查内容与弹簧有关的机械能守恒问题与弹簧有关的机械能守恒问题【规范解答规范解答】开始时开始时,A,A、B B静止，设弹簧压缩量为静止，设弹簧压缩量为x x1 1，有，有kxkx1 1=m=m1 1g g 挂挂C C并释放后，并释放后，C C向下运动，向下运动，A A向上运动，设向上运动，设B B刚要离开地面时弹刚要离开地面时弹簧伸长量为簧伸长量为x x2 2,则则kxkx2 2=m=m2 2g g B B不再上升，表示此时不再上升，表示此时A A和和C C的速度为零，的速度为零，C C

66、已降到最低点已降到最低点.由机械由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为E=mE=m3 3g(xg(x1 1+x+x2 2)-m)-m1 1g(xg(x1 1+x+x2 2)C C换成换成D D后，当后，当B B刚离地时的弹性势能的增量与前一次相同，由能刚离地时的弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得量关系得 (m(m3 3+m+m1 1)v)v2 2+m+m1 1v v2 2=(m=(m3 3+m+m1 1)g(x)g(x1 1+x+x2 2)-m)-m1 1g(xg(x1 1+x+x2 2)-E )-E 由式得由式得 (2m(2m1 1+m+m3 3)v)v2 2=m=m1 1g(xg(x1 1+x+x2 2)由式得由式得答案：答案：12122112132mmmgv2mmk2112132mmmg2mmk121.(20121.(2012包头模拟包头模拟)如图所示，下列四个选项的图中，木块均如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图在固定的斜面上运动，其中图A A、B B、C C中的斜面是光滑的，图中的斜面