不定积分的基本公式与运算法.ppt

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1、 42 不定积分的基本公式与运算法 则、直 接积分法 案例研究 我 国 自 行 研 制 的 动 车 组 列 车 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations x x x x x C 类似地，可以推导出其他基本积分公式： 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 1d x x C 11 ( 1 ) 1x dx x C 1 d l nx x C x d ln x x aa x C a dxxe x e C 湖 南 对 外 经 济

2、 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College si n d c osx x x C c os si nx dx x C 2se c d t a nx x x C 2c sc c otx dx x C 2 1 d a r c si n 1 x x Cx 2 1 d a r c ta n 1 x x Cx 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 问 下述公式右边的对数中为什么要加绝对值？ 1 d l nx x C x

3、 . 讨论 当 0 x 时，有 ,xxlnxln 1)( 当 0 x 时，也有 xxxxxlnxln 11)()( 所以 ln| |x 是 1x 的原函数 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例 1 求下列不定积分： （ 1） 7 d.xx （ 2） 1 d.xx （ 3） 3 d .xxex 解 （ 1） 7 7 1 811 .7 1 8x dx x C x C （ 2） 11 1 2211 2. 11 2 dx x dx x C x C x （ 3） ( 3 )3 ( 3 )

4、.l n ( 3 ) x x x x ee d x e d x C e 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 不定积分的基本运算法则 法则 两个函数代数和的不定积分等于各个函数 的不定积分的代数和，即 ( ) ( ) d ( ) d ( ) d .f x g x x f x x g x x 法则 2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积 分符号外面，即 ( ) d ( ) d ( 0) .k f x x k f x x k 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Fo

5、reign Economic Relations & Trade College 例 2 求 ( 2 c os 3 ) d .x x x 解 ( 2 c os 3 ) dx x x d 2 c os d 3 dx x x x x d 2 c os d 3 1 dx x x x x 21 2 sin 3 . 2 x x x C 问： 最后的结果为什么只写一个任意常数？ 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 直接积分法 定义 直接用积分基本公式与运算性质求不定积 分，或者对被积函数进行适当的

6、恒等变形（包括代数变 形与三角变形），再利用积分的基本公式与运算法则求不 定积分的方法叫做 直接积分法 例 3 求 21 d.x xx 解 2 21 21 ddx xxxxxx 2112 d 2 l n . 2x x x x x Cx 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例 4 求 2 2 2 . 1 x dx x 解 222 1 1 d 2 d11xxxx 2 12 1 d 1 xx 2 2 a r c ta nx x C 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan

7、Foreign Economic Relations & Trade College 例 5 求 2c os .2x dx 解 利用降幂公式化简 . 2 1 c o sc o s d d 22 xxxx 1 1 c o s d2 xx 1 sin .2 x x C 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 案例 4.2的解 求积分，得 21 1 11 d 1 d d . 3 3 6s t t t t t t t C 依题意，当 0t 时， 0.s 代入上式，得 0.C 于是， 得 21 6s

8、 t t . 将 3t 代入上式，得 213 3 1.5. 6s 即列车在离站台 1.5公里处开始制动 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例 6 已知某种商品的最大需求量为 A（即价格为 0时 的需求量），有关部门给出这种商品的需求量 Q的变化 率模型为 plnApQ )21(2)( （也称边际需求），其中 p 表示商品的价格，求这种商品的需求函数 . 解 1( ) l n 2 ( ) d2 pQ p A p 1l n 2 ( ) d 2 pAp 11l n 2 ( ) l n

9、2 2 pAC 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 1( ) . 2 pAC 将 AQ,p 0 代入上式，得 .C 0 所以这种商品的 需求函数为 )p(Q .A p)21( 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 小结： 1不定积分的基本公式： 10个公式，要熟记； 2不定积分的基本运算法则： （ 1） ( ) ( ) d ( ) d ( ) df x g x x f x x g x x （ 2） ( ) d ( ) d ( 0)k f x x k f x x k 3直接积分法。 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College