一起学奥数-盈亏问题.ppt

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1、2016 风子整理 教育目标 了解“赢”与“亏”的意义，及盈亏问题的特征 学习逻辑推理能力，探索解决盈亏问题的方法 体会数学问题在实际生活中的应用 教育重点 弄清楚“赢”与“亏”，与赢亏乊间的差的关系 教育难点 用线段图来思考盈亏乊间的逻辑关系 概念 盈亏问题：顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物 品时，经常会产生这种盈亏现象 盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化。 分 类 直接计算型盈亏问题 条件转换型盈亏问题 关系互换型盈亏问题 第一课 基础部分 例 1、幼儿园老师给小朋友分糖果，每个小朋友分 5颗糖果，就多出 22颗糖 果；每个小朋友分 7颗糖果，就少 18颗糖果

2、。有多少个小朋友和多少 颗糖果？ 5 颗 /人 【 分析 】 首先我们要弄清楚，变化的是什么，不变的是什么。这个问题变化的 是每个人分到的糖，不变的是人数和糖的总数。 22+18 下面我们来分糖。先每人 5颗，结果多了 18颗糖。如图 22 老师分好糖后，想把多于的糖也分给小朋友，决定每人又再分了 7-5=2颗糖。 这是老师发现有一部分小朋友没有分到第二次的两颗。于是又拿来一些，又分 了 18颗糖。 很显然，第二次分了 40颗糖，每人分 2颗。所以，可以知道有几个小朋友： （ 22+18） （ 7-5） =20 +2 可以找几个小朋友实际试试。 例 2、一根绳子围着大树绕 9圈剩 4米，如果围

3、着大数绕 10圈又缺 1米，那么 绕 8圈还剩多少米？ 【 分析 】 上面棕色线段表示正好可以绕大树 9圈，蓝色线段表示绕完 9圈后剩余 的线段。 后来想了想，估计还能绕，可是实际上差了一点。于是又拿来一根绳子，又用 掉了 1米。 显然，第二次绕的一圈，实际用掉绳子长为： 4+1=5米。 所以，绳子总的长度为 49米，绕 8圈则剩下： 49-8 5=9米 也可以这样计算绕 8圈后剩下的绳子 ： (9-8) （ 4+1） +4=9 例 3、人民路小学三、四、五年级的同学乘汽车去春游，如果每车坐 45人， 有 10人不能坐车；如果每车多坐 5人，又多出一辆车。一共有多少辆 汽车？有多少名同学去春游

4、？ 45 10 【 分析 】 先按照每辆车坐 45人，画出示意图。每格表示 1辆车，车上有 45人， 最后多出 10人。 后来一辆车出了故障，不能去了。所以这辆车上的小朋友也不能坐车了。这时， 不能坐车的小朋友有： 45+10=55人。 老师看了下其它车，每车还有 5个空位，正好把这些没上车的小朋友装下。这 时带小朋友去春游的车有： 55 5=11辆 总的车的数量，不要把没装人的那辆忘记： 11+1=12 学生的总数量是 11辆车每车装了 50人： 11 (45+5） =550人 例 4、动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分 5个，还剩 32个；如 果其中 10只小猴每只分 4个，其余的

5、猴每只分 8个，就恰好分完。问： 猴山有猴多少只？共买来多少个桃？ 【 分析 】 这里猴子的数量是不变的。按没猴 5只桃子，最后剩 32只。 10 32 后来觉得大小猴子应该有区别。 10只小猴子给 4个就够了，于是各收回来一个。 这样多出来的桃子有 32+10=42个了 多出来的桃子给大猴子，使每只大猴子有 8个桃子。也就是第二次每只大猴子 又得到了 3个桃子。所以，大猴子有： （ 32+10） （ 8-5） =14只 所以，猴子数量为： 14+10=24只 桃子的数量为： 5 24+32=152个。 例 5、学校组织同学乘车去科技馆参观，原计划每车坐 30人，还剩下 1人； 后来又临时增加

6、了 100人，汽车却比原来少一辆；这样每辆车要坐 36 人，还剩 5个人。原计划乘坐几辆车？原计划去多少人？ 【 分析 】 这题我们不再画图，而是采用逻辑推理的过程来分析。 首先，两次车上的同学数量比较，后一次比前一次多 100+1-5=96人 车辆比原来少了一辆，则少的这辆车上的人，也被分配到了其它的车上。 所以第二次被分配的人应该是： 96+30=126人 第二次分配的方式是在每辆车上再乘 6个人。即 126按 6人分组，能分几组， 而每组对应一辆车。 126 6=21 不要粗心，问题是原计划乘坐的车辆数： 21+1=22辆 原计划去的人为： 22 30+1=661人 例 6、果树专业队上

7、山植果树，所需栽的苹果树苗是梨树苗的 2倍。如果梨 树苗每人栽 3棵，还余 2棵；苹果树苗每人栽 7棵，则少 6颗。问：果 树专业队上山植树的有多少人？要栽多少颗苹果树和梨树？ 【 分析 】 这个题目需要关注的是苹果树苗与梨树苗不是等值的，而是存在 2倍 关系。所以余下的 2棵梨树苗应该折算成 2 2=4棵苹果树苗。 在比较每人的树苗时，也要考虑倍数关系。 因为人员是确定值， 7=3 2+1，所以相比较梨树苗，每人要多种一颗苹果树。 而相对于梨树苗数量，苹果树苗缺口是 6+2 2=10 所以，果树专业队上山植树的人 : （ 6+2 2） （ 7-3 2） =10人 要栽的苹果树苗有： 10 7

8、-6=64棵 要栽的梨树苗有： 10 3+2=32棵。 第二讲 提高篇 1.直接计算型 -盈亏问题 关系式：人数或单位数 =（赢数 +亏数） 两次分配之差 一般情况下，两次分配的结果，一次分配后有多，即“赢”；一次 分配后不足，即“亏”。如基础部分所讲的案例，都是属于这一类。 用下面线段来表示，蓝菊相交点为分配平衡点，蓝线为多余部分， 虚线为不足部分。由于单位内的数量不等，经过单位数的累积，导致蓝 菊线的出现原因。 赢数 亏数 1.直接计算型 -盈盈问题 关系式：人数或单位数 =（赢数 -赢数） 两次分配之差 有时，两次分配的结果，都出现盈余的情况。 实质上，这与盈亏问题没有原则性的区别。盈亏

9、问题中，两者之间 的差距部分进行了再分配。而盈盈问题也同样是赢数 1与赢数 2之间的差 距部分进行再分配。 赢数 1 赢数 2 1.直接计算型 -盈盈问题 例：老猴子给小猴子分桃。每只小猴分 10个桃，就多出 9个桃，每只小猴 分 11个桃则多出 2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少只 桃子？ 【 分析 】 老侯子两种方式分桃，单位数相差 1个，而两次多出来的桃子 数相差 7个。这是由于每只小猴子多分了 1个桃子，导致了剩余的桃子家 少了 7个。 所以，小猴子有： (9-2) （ 11-10） =7只 桃子总数为： 7 10+9=79个 1.直接计算型 亏亏问题 关系式：人数或单位

10、数 =（亏数 -亏数） 两次分配之差 有时，两次分配的结果，都出现不足的情况。我们称为亏亏问题。 实质上，这也与盈亏问题没有原则性的区别。盈亏问题中，两者之 间的差距部分进行了再分配。而亏亏问题也同样是亏数 1与亏数 2之间的 差距部分进行再分配。 1.直接计算型 亏亏问题 例：学校新进了一批书，将它们分给几位老师，如果每人发 10本，还差 9 本，每人发 9本，还差 2本，请问有多少老师？多少本书？ 【 分析 】 老师的人数是不变的。所以第一次与第二次相比，不够的数减 少了 7本，这是由于每个人少发了一本导致的结果。 所以，老师的人数为： （ 9-2） （ 10-9） =7人 书的数量为：

11、7 10-9=61本 2.条件转换型 赢亏问题 例：军队分配宿舍，如果每间住 3人，则多出 20人；如果每间住 6人，余 下 2人可以每人各住一个房间，现在每间住 10人，可以空出多少个房间？ 【 分析 】 所谓条件转换型，即把题目中给定的条件转换为直接可用的条 件。本题“每间住 6人，余下 2人可以每人住一个房间”说明少了 10个人。 所以，房间数为： (2 6-2+20) (6-3)=10间 总人数为： 3 10+20=50人 那么，每间住 10，所需房间为： 50 10=5间 空房间为： 10-5=5间。 3.关系互换型 赢亏问题 例：幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给大班的小朋友每人

12、 3个则余 10个苹果；如果分给小班的小朋友每人 6个则缺 2个苹果。已知大班比小 班多 5个小朋友，问这筐苹果共有多少个？ 【 分析 】 直接计算的盈亏问题所参与的对象是同一个，而关系互换型中， 前后两次参与的对象并不是同一个，但它们之间存在着转换关系。 题目中，分别分给了大班和小班，而大班和小班的人数是存在数量上的 关系的。即题目条件“分给大班每人 3个余 10个”，可转化为“分给小 班每人 5个余 5 3+10=25”，两者存在可比效应。 所以，盈亏总数为： 25+2=27 小班小朋友为： 27 （ 6-3） =9 苹果数量为： 9 6-2=52 例、三年级给学生发糖果，如果每个学生发

13、5个还剩 32个；如果其中 10个学生每人 4个，其余每人 8个，就恰好发完。那么学生有几人？糖 果有多少个？ 【 分析 】 首先分析，两个方案发糖的参与对象是不变的。但条件有所变 化，因此要做条件转移。 可以把第二个方案转为为：每个学生发 8颗，则少 40个糖果。这样，两 次的盈亏值为： 32+40=72 学生数为： 72 （ 8-5） =24人 糖果数量为： 24 5+32=152个 小白兔和小灰兔各有若干只。如果 5只小白兔和 3只小灰兔放到一个笼子中，小 白兔还多 4只，小灰兔恰好放完；如果 7只小白兔和 3只小灰兔放到一个笼子中， 小白兔放完，小灰兔还多 12只。问小白兔和小灰兔共有

14、多少只。 5 2 3 n m 4 12 【 分析 】 按题目给出的信息，画出上图。 根据图示，我们得到一个问题：原来小灰兔正好装下，后来为什么多出 12只。 因为小灰兔总数没变，那只有一个可能，笼子减少了。减少的笼子数量是： 123=4只（为什么） 那么第二个问题出现了：为什么小白兔都能有笼子住呢？因为减少笼子中的和 原来没地方住的小白兔被安排到了剩下的笼子中，剩下的笼子每个比原来多住 了（ 7-5）个。所以，剩下的笼子数量为： （ 45+4） （ 7-5） =12只 所以，小白兔和小灰兔的总数是： 127+312+12=132（只） 知识点小结 盈亏问题涉及的因素包括：赢、亏、单位数、单位量， 找到它们中的变量与不变量，及操作过程导致的因果关系， 就能得到问题的结果。