实验二 快速电子的动量与动能的相对论关系

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1、实验二快速电子的动量与动能的相对论关系一实验目的本实验通过对快速电子的动量值及动能的同时测定来验证动量和动能之间的相对论关 系。同时实验者将从中学习到B磁谱仪测量原理、闪烁记数器的使用方法及一些实验数据处 理的思想方法。二实验内容1 测量快速电子的动量。2 测量快速电子的动能。3 验证快速电子的动量与动能之间的关系符合相对论效应。三原理经典力学总结了低速物理的运动规律，它反映了牛顿的绝对时空观：认为时间和空间 是两个独立的观念，彼此之间没有联系；同一物体在不同惯性参照系中观察到的运动学量(如 坐标、速度)可通过伽利略变换而互相联系。这就是力学相对性原理：一切力学规律在伽利 略变换下是不变的。1

2、9 世纪末至20 世纪初，人们试图将伽利略变换和力学相对性原理推广到电磁学和光学 时遇到了困难；实验证明对高速运动的物体伽利略变换是不正确的，实验还证明在所有惯性 参照系中光在真空中的传播速度为同一常数。在此基础上，爱因斯坦于1905 年提出了狭义相对论；并据此导出从一个惯性系到另一惯性系的变换方程即“洛伦兹变换”。洛伦兹变换下，静止质量为m,速度为v的物体，狭义相对论定义的动量p为:mp 二0一 v 二 mv/ ” (41)式中m二mJ V1 - P2, B = v / c。相对论的能量E为：E = mc 2(42)这就是著名的质能关系。me2是运动物体的总能量，当物体静止时v=0,物体的能

3、量为E0=m0c2 称为静止能量；两者之差为物体的动能己1，即k(43)(44)1E = mc 2 - m c 2k0=mc 2(-1)0 J-0 2当B 1时，式(43)可展开为E = m c 2(1 +k0)-mc 2 1 mv 2 =1 巴0202 m0即得经典力学中的动量能量关系。由式(41)和(42)可得：E2 c2p2 二 E02(45)这就是狭义相对论的动量与能量关系。而动能与动量的关系为E = E 一 E 0 = c 2 p 2 + m 2 c 4 一 me 2（46）k00o，这就是我们要验证的狭义相对论的动量与动能的关系。对高速电子其关系如图所示，图中pc用MeV作单位，电

4、子的m0c2=0.511MeV。式(44)可化为：1 p 2c 2p2c 2E,以利于计算。四实验装置及方法实验装置主要由以下部分组成：真空、非真空半圆聚焦卩磁谱仪；卩放射源90Sr90Y(强度1毫居里)，定标用Y放射源137Cs和60Co(强度2微居里)；200ymAl窗NaI(Tl)闪烁探头；数据处理计算软件；高压电源、放大器、多道脉冲幅度分析器。闪烁探头真亘餐、60 Coitkix真空泵高压电源宝道分祈器B源射出的高速B粒子经准直后垂直射入一均匀磁场中（V丄B）,粒子因受到与运动方 向垂直的洛伦兹力的作用而作圆周运动。如果不考虑其在空气中的能量损失（一般情况下为 小量）,则粒子具有恒定的

5、动量数值而仅仅是方向不断变化。粒子作圆周运动的方程为： dp=一 ev x B（47）e为电子电荷，v为粒子速度，B为磁场强度。由式（一1）可知p=mv,对某一确定的动量数 值P,其运动速率为一常数，所以质量m是不变的，故dp dv二 mdt dt,且dvdtv 2R所以 p = eBR（4一8）式中R为B粒子轨道的半径，为源与探测器间距的一半。在磁场外距B源X处放置一个B能量探测器来接收从该处出射的B粒子，则这些粒子 的能量（即动能）即可由探测器直接测出，而粒子的动量值即为：p二eBR二eBAX/2。由 于B源90Sr（02.27MeV）射出的B粒子具有连续的能量分布（02.27MeV）,因

6、此探测 器在不同位置（不同AX）就可测得一系列不同的能量与对应的动量值。这样就可以用实验方法 确定测量范围内动能与动量的对应关系，进而验证相对论给出的这一关系的理论公式的正确 性。五实验步骤1 检查仪器线路连接是否正确，然后开启高压电源，开始工作；2. 打开60 Co Y定标源的盖子，移动闪烁探测器使其狭缝对准60 Co源的出射孔并开始记 数测量；3. 调整加到闪烁探测器上的高压和放大数值，使测得的60 Co的1.33MeV峰位道数在一个 比较合理的位置（建议：在多道脉冲分析器总道数的 50%70%之间，这样既可以保证 测量高能B粒子（1.81.9MeV）时不越出量程范围，又充分利用多道分析器

7、的有效探测范 围）；4. 选择好高压和放大数值后，稳定1020分钟；5. 正式开始对NaI（Tl）闪烁探测器进行能量定标，首先测量60 Co的丫能谱，等1.33MeV 光电峰的峰顶记数达到1000以上后（尽量减少统计涨落带来的误差），对能谱进行数据 分析，记录下1.17和1.33MeV两个光电峰在多道能谱分析器上对应的道数CH3、CH/6. 移开探测器，关上60 Co y定标源的盖子，然后打开137Cs y定标源的盖子并移动闪烁 探测器使其狭缝对准137Cs源的出射孔并开始记数测量，等0.661MeV光电峰的峰顶记数 达到1000后对能谱进行数据分析，记录下0.184MeV反散射峰和0.661

8、 MeV光电峰在多 道能谱分析器上对应的道数CH、CH2；7. 关上137CsY定标源，打开机械泵抽真空（机械泵正常运转23分钟即可停止工作）；8. 盖上有机玻璃罩，打开B源的盖子开始测量快速电子的动量和动能，探测器与B源的距离AX最近要小于9cm、最远要大于24cm，保证获得动能范围0.41.8MeV的电子；9. 选定探测器位置后开始逐个测量单能电子能峰,记下峰位道数CH和相应的位置坐标X；10. 全部数据测量完毕后关闭0源及仪器电源，进行数据处理和计算。六数据处理1真空状态下P与AX的关系的合理表述由于工艺水平的限制， 磁场的非均匀性（尤其是边缘部分）无法避免， 直接用 p二eBR二eB

9、AX/2来求动量将产生一定的系统误差；因此需要采取更为合理的方式来表述P与AX的关系。设粒子的真实径迹为aob,位移ds与Y轴的夹角为如上图所示；则ds在X轴上的 投影为sin 9 - ds。显然有：Ax 二 Je1sin 9 -ds u Rin 9 -ds （. 91 u 兀）（49）00又因为ds = R - d9以及R = P/eB ,（其中r、B分别为ds处的曲率半径和磁场强度），则 有：（.真空中P为定值）（4一10）AX J sin 9 P d9 = P 卜 sin 9 d90 eB e 0 B所以有：P 二 eAX / A 里9 d9 二-BeAX0 B 211 仃 sin 9(

10、B = 2-d9 )(4-11)1把百改写成:B d9 / k sin9 d90则物理含义更为明显：即1/B为粒子在整个路径上的磁场强度的倒数以各自所处位置处的 位移与Y轴夹角的正弦为权重的加权平均值。显然，B相当于均匀磁场下公式 P _ eBR _ eBAX / 2中的磁场强度B；即只要求出B，就能更为确切地表述P与AX的关 系，进而准确地确定粒子的动量值。实际计算操作中还需要把求积分进一步简化为求级数和；即可把画在磁场分布图上直 径为AX的半圆弧作N等分(间距取10毫米左右为宜)，依此读出第i段位移所在处的磁场强 度 Bi ，再注意到：i6i = -(i -1)以及 AOi 上NN则最后求

11、和可以得到：11 J* 兀 sin O=uB 2 o Bcl兀V 兀兀V 兀(412)-dOu乙sin (i -1)/ B 二 乙sin (i -1)/ B2 N N i 2N Ni=1i=1所以：(413)NeAxP = 去兀兀 sinn (i - 1)/ Bji=12.0粒子动能的测量卩粒子与物质相互作用是一个很复杂的问题，如何对其损失的能量进行必要的修正十分 重要。 卩粒子在Al膜中的能量损失修正在计算卩粒子动能时还需要对粒子穿过Al膜(220pm： 200pm为NaI(Tl)晶体的铝膜密封层厚 度, 20pm为反射层的铝膜厚度)时的动能予以修正，计算方法如下。设卩-粒子在Al膜中穿越A

12、x的动能损失为AE,贝9：A E = -dE- pA x(414)dx p其中dE (亜 0)是ai对卩-粒子的能量吸收系数，(p是Al的密度)，亜是关于E的函数， dxp dxpdxp不同E情况下dE的取值可以通过计算得到。可设如 p = K (E)，则AE=K(E)Ax；取Axt0, dxpdx p则卩-粒子穿过整个Al膜的能量损失为：./ 一x 十 dE E =节 K (E) dx(48)；即 E1 = E 2 - J K (E) dx(42 1 1 2xx其中d为薄膜的厚度，E2为出射后的动能，E1为入射前的动能。由于实验探测到的是经Al 膜衰减后的动能，所以经公式(49)可计算出修正

13、后的动能(即入射前的动能)。下表列出了 根据本计算程序求出的入射动能E1和出射动能E2之间的对应关系：EMeV)E2(MeV)E,(MeV)E2(MeV)E,(MeV)E2(MeV)0.3170.2000.8870.8001.4891.4000.3600.2500.9370.8501.5361.4500.4040.3000.9880.9001.5831.5000.4510.3501.0390.9501.6381.5500.4970.4001.0901.0001.6851.6000.5450.4501.1371.0501.7401.6500.5950.5001.1841.1001.7871.70

14、00.6400.5501.2391.1501.8341.7500.6900.6001.2861.2001.8891.8000.7400.6501.3331.2501.9361.8500.7900.7001.3881.3001.9911.9000.8400.7501.4351.3502.0381.950卩粒子在有机塑料薄膜中的能量损失修正此外，实验表明封装真空室的有机塑料薄膜对卩存在一定的能量吸收，尤其对小于 0.4MeV的卩粒子吸收近0.02MeV。由于塑料薄膜的厚度及物质组分难以测量，可采用实验 的方法进行修正。实验测量了不同能量下入射动能Ek和出射动能E(单位均为MeV)的关系， 采用分段

15、插值的方法进行计算。具体数据见下表：Ek(MeV)0.3820.5810.7770.9731.1731.3671.5671.752E0(MeV)0.3650.5710.7700.9661.1661.3601.5571.7473数据处理的计算方法和步骤：设对探测器进行能量定标(操作步骤中的第5、6 步)的数据如下能量(MeV)0.1840.6621.171.33道数(CH)48152262296实验测得当探测器位于21cm时的单能电子能峰道数为204,求该点所得B粒子的动能、动 量及误差，已知B源位置坐标为6cm、该点的等效磁场强度为620高斯(Gs)。1) 根据能量定标数据求定标曲线已 知E1

16、 二 0.184MeV, CH 1 二 48；E2 二 0.662MeV, CH2 二 152；E3 = 1.17MeV, CH3 = 262 ； E4 = 1.33MeV, CH4 = 296 ；根据最小二乘原理用线性拟合 的方法求能量E和道数CH之间的关系：E = a + b x CH可以推导，其中：a =丄工 CH .2 - 工 E.工 CH .工(CH . E )人iii i i /iiiib = 1 n工(CH . E.)工 CH .工 E 人 i i7iiiiiA = n工 CH .2 (工 CH .)2iiii代入上述公式计算可得：E = 0.038613+ 0.0046 x C

17、H2）求B粒子动能对于X=21cm处的B粒子： 将其道数204代入求得的定标曲线，得动能E2=0.8998MeV，注意：此为3粒子穿过总计 220pm厚铝膜后的出射动能，需要进行能量修正； 在前面所给出的穿过铝膜前后的入射动能E1和出射动能E2之间的对应关系数据表中取 E2=0.8998MeV前后两点作线形插值，求出对应于出射动能E2=0.8998MeV的入射动能 E1=0.9486MeVE,(MeV)E2(MeV)0.9370.8500.9880.900 上一步求得的E1为3粒子穿过封装真空室的有机塑料薄膜后的出射动能E。，需要再次进 行能量修正求出之前的入射动能Ek，同上面一步，取Eo=0

18、.9486MeV前后两点作线形插值, k0求出对应于出射动能E =0.9486MeV的入射动能E =0.9556MeV； 0kEk(MeV)0.7770.973E0(MeV)0.7700.966Ek=0.9556MeV才是最后求得的3粒子动能。3) 根据3粒子动能由动能和动量的相对论关系求出动量PC (为与动能量纲统一，故把动量 P乘以光速，这样两者单位均为MeV)的理论值由 E = E 一 Eo = c2p2 + m 2 c4 一 m C2 得出：kUY00PC = .-(E + m c2)2 一 m 2c4- k 0 0将E =0.9556MeV代入，得PCT=1.3747MeV，为动量P

19、C的理论值。k4) 由P = eBR求PC的实验值3 源位置坐标为 6cm， 所以 X=21cm 处所得的3 粒子的曲 率半径为： R = (21 6)/2 = 7.5cm ；电 子电量 e = 1.60219 x 10 -19 C ，磁场强度 B = 620 Gs = 0.062 T，光速c = 2.99 x 108m /s ；所以：PC = eBRC = 1.60219 x 10-19 x 0.062 x 0.075 x 2.99 x 108 J ；因为 1eV = 1.60219 x 10 -19 J，所以：PC = BRC (eV) = 0.062 x 0.075 x 2.99 x 1

20、08eV = 1390350 eV u 1.39MeV5) 求该实验点的相对误差 DPC|PC PCT1.39 1.3747DPC = =x 100% = 1.1%PCT1.3747七思考题1. 观察狭缝的定位方式，试从半圆聚焦B磁谱仪的成象原理来论证其合理性。2. 本实验在寻求P与AX的关系时使用了一定的近似，能否用其他方法更为确切地得出P 与AX的关系？3. 用Y放射源进行能量定标时，为什么不需要对Y射线穿过220pm厚的铝膜时进行“能量 损失的修正”？4. 为什么用Y放射源进行能量定标的闪烁探测器可以直接用来测量B粒子的能量？八实验注意事项1. 闪烁探测器上的高压电源、前置电源、信号线绝对不可以接错；2. 严禁探测器在工作状态下见光，以免光电倍增管过载烧坏（通高压电的情况下不得拆卸 探测器）；3. 装置的有机玻璃防护罩打开之前应先关闭B源；4. 应防止B源强烈震动，以免损坏它的密封薄膜；5. 移动真空盒时应格外小心，以防损坏密封薄膜；