张量分析初学者必看

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1、例如例如,三维空间任意一点三维空间任意一点P P在笛卡儿坐在笛卡儿坐标系标系321,xxx用指标符用指标符号表示为号表示为3,2,1,ixinaaaa,321 niai,2,1,nxxxx,321 nixi,2,1,i取值范围为小于或等于取值范围为小于或等于n n的所有正整数的所有正整数n nnxaxaxaS 2211njjjniiixaxaS11jjiixaxaS求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维3131ijjiijyxA333323321331322322221221311321121111yxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyx

2、AyxAjiijkjiijkzyxA 333323213123232221211313212111bxAxAxAbxAxAxAbxAxAxAijijbxA j i在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同013,2,1,01133132232112332211时，有当当当jijijiijji1100010001333231232221131211ijijmjimiiiijijAAaaaaa332211ijjijijiiiijijijkjikilkljkijjjiiijijijkjikiieeaaaaaaaaa33221133221133 等若有两个或三个指标相若若2,3,1,3,1,2,1,2,

3、3,2,1,3,1,3,2,3,2,1,011kjikjieijk011113112111321132213312231123 eeeeeeeee偶次置换奇次置换1001010100131211232221333231321333222111321321321eekjikjikjikkkjjjiiiijk333222111321321321rqprqprqpkkkjjjiiipqrijkeekijjkiijkkjiikjjikijkeeeeeeeippipipipi11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijkeejqirjriqjrjqiriqkqrijkeekp32132

4、1322311332112312213322113312312332211333231232221131211kjiijkkjiijkaaaeaaaeaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAitjsjtiskstkijee 321,eeeiieaeaeaeaa332211 ijjiee jjiiijjijjiibababaebeabakijkjieeeekjkjkikieeee kijktijttjsirrstjjjiiijieeeeeeeeeee321321321 jiijkkkjiijkkijkjijijijjiibaeccebaeeebaeebaebeabakjiijkk

5、rrjiijkrrkjiijkcbaecbaeecebaecba ijkrkijrkrijrkjieeeeeeee jijijjiijjiieebaebeaabebbeaa,333323231313323222221212313121211111eebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaab cossinsincosyxyyxxcossinsincosyxyyxxcossinsincos212211xxxxxxcossinsincos212211xxxxxxii iiii iixxxx),cos(),cos(iii iiii ixxxx 1001iji ii i,

6、i ii iii iiii iieeeeii iii iivvv lijkl lkkj ji ilkj i lkjilijkeeee jij ijij ij ieeTeeBABAT )(beTaeeTeaTakijjkikjjkii)()(矢量与张量点乘的结果仍为张量矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量新张量b b比原张量比原张量 T T的阶数降低一阶的阶数降低一阶 ceaTeaTeaeeTaTijijjkikijkkjiij)()(aTTa AeeTaeeeeTaeeTeaTakrjkiijrkrijrjkikjjkii)()(BeeaTeeeeaTeaeeTaTrikijjkrrjkrik

7、ijkkjiij)()(SeeeeBAeeeeBAeeeBeeeABAtsjitkskijtskrjitrskijtsrtrskjikij )()(两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 2 2 两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这这相当于矩阵相乘相当于矩阵相乘 SeeBAeeBAeeeBeeeABAtijktijktiksjrrstijktsrrstkjiijk)(:两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个

8、张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 4 4 rstijkksnjrmimnttnmirstijkksnjrmtnksnrstmjrmiijktsrrstkjiijkBAeeSSeeeeBAeeeeeBeeeAeeeBeeeABA)(jiijeeAA 332211AAAAAeeAAiiijijjiij在张量的不变性记法中在张量的不变性记法中,将某两个基矢量点乘将某两个基矢量点乘,其结果是一个较原张量低二阶的新张量其结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运这种运算称为缩并算称为缩并 kjiijkeeeAA kjiijkkjijikeeeBeeeA若对该张量的分量中任意两个指标交换次序若对该张量

9、的分量中任意两个指标交换次序,得得到一个与原张量同阶的新张量到一个与原张量同阶的新张量 kjiijkkjijikkijijkeeeBeeeAeeeA jiijTT jiijWW若张量的任意两个指标经置换后所得的张若张量的任意两个指标经置换后所得的张量与原张量相同量与原张量相同,则称该张量关于这两个指则称该张量关于这两个指标为对称标为对称,若与原张量相差一符号若与原张量相差一符号,则称则称该张量关于这两个指标为反称。该张量关于这两个指标为反称。有有6 6个独立分量个独立分量 有有3 3个独立分量个独立分量 对已知张量的对已知张量的N N个指标进行个指标进行N!N!次不同的置次不同的置换换,并取所

10、得的并取所得的N!N!个新张量的算术平均值的运算个新张量的算术平均值的运算。其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放在圆括弧内表示对称化运算在圆括弧内表示对称化运算。)(!31)(!21ikjjikkjikijjkiijkijkjiijijAAAAAAAAAA 对已知张量的对已知张量的 N N 个指标进行个指标进行N!N!次不同的次不同的置换置换,并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号,再求算术平均值再求算术平均值,这种运算称张量的反称化这种运算称张量的反称化,其结果其结果张量关于参与置换的指标为反称。将指标

11、放在方括张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括弧内表示反称运算。弧内表示反称运算。)(!31)(!21ikjjikkjikijjkiijkijkjiijijAAAAAAAAAA若在某坐标系中按某规律给出若在某坐标系中按某规律给出 33=27 个数个数 A(ijk),且且A(ijk)bk=Cij,其中其中bk 是与是与A(ijk)无关的任意矢量无关的任意矢量 ,Cij是张量是张量 ,那么那么,A(ijk)必为比必为比Cij高一阶的张量。高一阶的张量。jiijeeBBuvBiiijijkkjiijeuevBeveeBbBaBbaB)(B B的作用如同一个算子的作用如同一个算子,它使空间内每一

12、个向量变换它使空间内每一个向量变换为另一个向量为另一个向量,或者说或者说 B B 能把一个向量空间映射能把一个向量空间映射为另一向量空间。为另一向量空间。jiTijjijijiTijTBBeeBeeBBjiijTBBBB,jiijTBBBB,TTTTTTTTTTTTBBBBABBABaaBBABAaBbbBa)()()()()(11 jiijeeIIBB,11111111)()(BBBAABII 对于仿射量对于仿射量B,B,若存在三个相互垂直的方向若存在三个相互垂直的方向i,ji,j,k k,其映象其映象 B Bi,Bi,Bj,Bj,Bk k也相互垂直也相互垂直,则称该三个方向则称该三个方向为

13、为 B B 的主向。对称仿射量的主向。对称仿射量T T 必存在三个主向和三必存在三个主向和三个相应的主值。主值个相应的主值。主值S S 满足如下特征方程。满足如下特征方程。023SISS 0I23SSS333231232221131211333113113332232222211211332211ITTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT I3132sin32I31sin32I3132sin32321eSeSeSijijTqeeqI31I3166,233arcsin31223 kkSjjSiiSTSSS321321 jjjjjiijjiijeeeeeeeeTT零阶张量零阶张量(标量标量

14、)总是各向同性的。一阶张量总是各向同性的。一阶张量(即矢即矢量量)总不是各向同性的。对于对称二阶张量总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,T,如果如果其三个主值相等其三个主值相等,即即S S1 1=S=S2 2=S=S3 3=,=,则是各向同性的。则是各向同性的。jjijj iijeeTT jkiljlikklijijklA333322221111,AAArAAA333322221111(1)4个指标都相同的分量有3个jkiljlikklijijklA 3331222111131112,AAAA(2)4个指标有3个相同的分量有24个以A1112 为例。如绕x2转1800，坐标变换系数为1000

15、10001111211122211321111112AAAAmnpqqpnm要使新坐标的分量A1112 与原坐标中的分量A1112 相等，A1112。必为零。xzy yxz231123112322112211123111123AAAAAmnpqqpnm所以 A1123=0。其它都为零。(3)4个指标中有2个相同的分量有36个 3312221311321123,AAAA以A1123 为例。坐标仍绕x2转1800，坐标变换系数同上，则将此三类分量用统一形式表示为：(3)4个指标中有2对指标重复的分量有18个。可分为3类，每6个分量相等。3113133123323223122121121313313

16、13232232321211212113333113322223322111122AAAAAAAAAAAAAAAAAAjkiljlikklij 在空间所论域内在空间所论域内,每点定义的同阶张量每点定义的同阶张量,构成了张量场。一般张量场中被考察的张构成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置而变化。研究张量场因位置而变量随位置而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们从张量代数的领域进入张化的情况使我们从张量代数的领域进入张量分析的领域。量分析的领域。一、哈密顿一、哈密顿(Hamilton)(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子)rddxeedxdzzdyydxxdjjiiii梯度算子

17、,矢量算子 一、哈密顿一、哈密顿(Hamilton)(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子)321ezeyexgrad ujjiijjzyxeueuzuyuxudiv,一、哈密顿一、哈密顿(Hamilton)(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子)uujjiijijikjiijkeueueeeueuuuzyxeeecurl321321二二、张量场的微分张量场的微分 kjiijkkjjkiieeeAeeAeA,ikjijkikjjkieeeAeeeAA,二二、张量场的微分张量场的微分 kjjkkijijkkjjkiieAeAeeAeA,kjkjjkjkkijijkikjjkieA

18、eAeAeeeAA,二二、张量场的微分张量场的微分 jirkjrkikrrjkijrkrijrijkkjjkiieeAeeeAeeeeAeeAeA,二二、张量场的微分张量场的微分 jirikkrjijrjkkrirjijkkirikjjkieeAeeeAeeeAeeeeAA,三三、散度定理散度定理 dsVVVdvzVyVxVSzyxVzyxcoscoscosdsnVdvViSiVii,三三、散度定理散度定理 dsnAdvAkSijkVkijk,dsAndvAndsAdvASVSV 一、曲线坐标一、曲线坐标在笛卡儿坐标系在笛卡儿坐标系,空间任一点空间任一点 P 的向径是的向径是设在设在三维空间三

19、维空间某连通区域某连通区域,给定了笛氏坐标的三个给定了笛氏坐标的三个连续可微的单值函数连续可微的单值函数)(iiixxx)(iiixxxiiexr反函数反函数1g2g3g3x2x1x)(iiixxx若函数不是线性函数若函数不是线性函数,则称其为曲线坐标系则称其为曲线坐标系 0iixxJzzryrx,sin,cos例如：圆柱坐标系11JJxxxxxxxxjrrijrriji01iixxJ二、局部基矢量二、局部基矢量 在笛卡儿坐标系在笛卡儿坐标系,空间任意向量空间任意向量(张量张量)都可以在基上分都可以在基上分解。这种做法可进行两种不同的解释解。这种做法可进行两种不同的解释:(l)(l)空间里只有

20、一个固定在原点的基空间里只有一个固定在原点的基e ei i,先将向先将向量量(张量张量)平行移至原点平行移至原点,然后在这基上分解。然后在这基上分解。(2)(2)在定义区域内每点都有一个与在定义区域内每点都有一个与e ei i相同的基相同的基,即局部基即局部基,向量向量(张量张量)在本作用点的局部基上就在本作用点的局部基上就地分解。地分解。1g2g3g3x2x1x2e1e3e二、局部基矢量二、局部基矢量 iiiiiiiiexxexxxrg ijjig gg度量张量 二、局部基矢量二、局部基矢量 21321sincossincos ,sin ,coseerggeeer1 rexxrrzzryrx

21、iiii二、局部基矢量二、局部基矢量 321cossinergeerg32zrr100000012rijg二、局部基矢量二、局部基矢量 kjiijkgggAA 由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲,例例如如,圆柱坐标中的。因此圆柱坐标中的。因此,相对相对 应的自然基矢量就不应的自然基矢量就不是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量(张张量量)在这样的基上在这样的基上 的各分量并不具有物理量纲的各分量并不具有物理量纲,从而从而给直接的物理解释带来不便给直接的物理解释带来不便。二、局部基矢量二、局部基矢量

22、为了使张量在每个具体坐标系里能取得具有物为了使张量在每个具体坐标系里能取得具有物理量纲的分量理量纲的分量,在正交曲线坐标系在正交曲线坐标系,取切取切 于坐标曲于坐标曲线的无量纲单位矢量作为基矢量线的无量纲单位矢量作为基矢量,即即iiigggiiige11 在物理标架上分解的张在物理标架上分解的张量量,其相应的各分量能其相应的各分量能取得相同的物理量纲取得相同的物理量纲 圆柱坐标系的物理基3213213211000cossin0sincos1eeeggrgeee球坐标系的物理基3213213210cossinsinsincoscoscoscossinsincossinsin11eeegrgrge

23、ee三、张量对曲线坐标的导数三、张量对曲线坐标的导数 s sSiiiiiiiigSxSxSxxSegrrsse iiiiiiixgSxSxxS1 两边点乘ie三、张量对曲线坐标的导数三、张量对曲线坐标的导数 iiiiiiiieeexg1形式导数1.1.克里斯多弗符号克里斯多弗符号jkjjijjkijjkiijkkkjjiiijkggxggggggg1211,kijkjieedf1.1.克里斯多弗符号克里斯多弗符号kjjjiijjjkkjjkkkjjjiiikjiijkgxxgggggggxggggee111)1(1kijkdfjiee1.1.张量的梯度张量的梯度kjijkikjijrirkrk

24、irjjkirikrjjkkrijrjkkjjkiikijjkkjijkkjjkiikjjkiiAAAAAAAAAAAAeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeejrirkrkirjjkijkiAAAAijigg 和度量张量圆柱坐标系的自然基33212211321cossinsincossincos,sin,cosezgerergeergzeererrzzryrxr rr rr r空间任意点的向径为100000012rgij圆柱坐标系的物理基3213213211000cossin0sincos1eeeggrgeeeijk圆柱坐标系的0ln1,21ln10ln1,1ln10ln1,0ln1l

25、n11,1332232333113132233232221121211331311122121332211gggrggzgrgrggzggrgkjgggrggkkjjjkjk公式圆柱坐标系张量的导数zxgrxgrxgrrgrggzxxrxkjk333322221111221212332211321111,11,11,1,，即不为零的分量只有两个公式圆柱坐标系张量的导数 zeereeegradzriiii1 zuururrruzuurruuueueudivuzrrzrkikiiijjii1112 2222222212222221111)(3zrrrrrzrrrjijiii公式圆柱坐标系张量的导数 rAzAArrAerAAzAArrAerAAzAArrAeeeAeArzzzzrzzrrzrrrzrrrrrkjjkii1114公式圆柱坐标系张量的导数