追求数学教育本来面目

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1、追求数学教育的本来面目追求数学教育的本来面目人教社中数室人教社中数室 章建跃章建跃感悟数学的感悟数学的“本来面目本来面目”毕达哥拉斯学派：宇宙的实体有两个，一毕达哥拉斯学派：宇宙的实体有两个，一个是数字，万物皆数，数的存在是有限方个是数字，万物皆数，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间的存面的实体；一个是无限的空间，空间的存在是无限方面的实体。数字跟空间结合在在是无限方面的实体。数字跟空间结合在一起就产生出宇宙万象。一起就产生出宇宙万象。1919世纪伟大的法国数学家傅里叶说，数学世纪伟大的法国数学家傅里叶说，数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以可以用来决定最一般的规律，同时也可

2、以量度时间、空间、温度，所以数学跟大自量度时间、空间、温度，所以数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。、稳定。丘成桐先生说，调和的思想也可说贯穿了丘成桐先生说，调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数学的美古代数学直到近代数学的发展。数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野很幸运的是，自然界的真理往往是极很幸运的是，自然界的真理往往是极为美妙的。所以从数

3、学的美选择出来的方为美妙的。所以从数学的美选择出来的方程、选择出来的图形，往往能够解释大自程、选择出来的图形，往往能够解释大自然里的真理。然里的真理。我的粗浅领悟我的粗浅领悟 数学与大自然同构，数学与哲学相通，数数学与大自然同构，数学与哲学相通，数学是思维的科学因而数学又是一门学是思维的科学因而数学又是一门“内心内心科学科学”。数学不仅能证明大自然的真理，而且能解数学不仅能证明大自然的真理，而且能解释人的内心世界，这就是数学的本来面目释人的内心世界，这就是数学的本来面目，也是数学内在力量之所在。，也是数学内在力量之所在。我们要不断地问自己，数学的本来面目是我们要不断地问自己，数学的本来面目是什

4、么？数学教育的本来面目是什么？什么？数学教育的本来面目是什么？我们要不断求索的是数学教育内在的本质我们要不断求索的是数学教育内在的本质在哪里，永恒不变的究竟是什么，万变不在哪里，永恒不变的究竟是什么，万变不离其宗的离其宗的“宗宗”在哪里？在哪里？旧典时式旧典时式将永恒不变的本真用符合时将永恒不变的本真用符合时代精神的方式表达出来，这就是不断接近代精神的方式表达出来，这就是不断接近本来面目的过程，也就是改革的过程！本来面目的过程，也就是改革的过程！一、一、“三个理解三个理解”是基石是基石 理解数学，理解学生，理解教学。理解数学，理解学生，理解教学。“三个理解三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知

5、识；的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。特别是，等。特别是，“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学思想方法”的的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。例：为什么说例：为什么说在有理数乘法在有理数乘法法则的教材设法则的教材设计中，渗透了计中，渗透了数系扩充的基数系扩充的基本思想本思想原原有数系的运算

6、有数系的运算和运算律保持和运算律保持不变？不变？例：理解有理数的意义，重点是理解负有理数的例：理解有理数的意义，重点是理解负有理数的意义。那么，难点在哪里？意义。那么，难点在哪里？难点是用正数、负数表示具有相反意义的量时，难点是用正数、负数表示具有相反意义的量时，描述向指定方向变化的情况，即：向指定方向变描述向指定方向变化的情况，即：向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示这与学生的日常经验有一定的矛盾，需数表示这与学生的日常经验有一定的矛盾，需要一个要一个“心理转换心理转换”：把：把“体重减少体重减少1kg”转换为转换为“体重增长

7、体重增长1kg”，需要对，需要对“负负”与与“正正”的相的相对性有较好的理解。对性有较好的理解。例例 在在“二元一次方程组二元一次方程组”的学习中，学生的学习中，学生在认知上会有哪些问题？应如何在认知上会有哪些问题？应如何化解化解？二、高度重视教学目标的制定二、高度重视教学目标的制定当前，教学目标的表达比较混乱。五花八当前，教学目标的表达比较混乱。五花八门，门，“三维目标三维目标”成为时髦；也有按成为时髦；也有按“知知识技能、数学思考、问题解决、情感态度识技能、数学思考、问题解决、情感态度”的；也有按的；也有按“知识、技能、能力、价值观知识、技能、能力、价值观”的；等等。的；等等。“三维目标三

8、维目标”的理解的理解“三维目标三维目标”是课程目标的设计思路，是同是课程目标的设计思路，是同一学习过程中的三个心理维度，不是教学一学习过程中的三个心理维度，不是教学目标的维度。目标的维度。教学目标取决于教学内容的特点，要在教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度三个维度”的指导下，综合考虑学段目的指导下，综合考虑学段目标、内容特点和学情来确定；课堂教学不标、内容特点和学情来确定；课堂教学不是为了体现课程目标的是为了体现课程目标的“三个维度三个维度”而存而存在，而是要具体而扎实地把课程内容传递在，而是要具体而扎实地把课程内容传递给学生，促进学生健康发展。给学生，促进学生健康发展。数学教学目标

9、系统数学教学目标系统 教育方针：学校一切学科的目标。教育方针：学校一切学科的目标。课程目标：课程目标：宏观目标，要付出大量时间和精力，宏观目标，要付出大量时间和精力，经过长期努力才能实现的学习结果；包含经过长期努力才能实现的学习结果；包含多方面的、更为具体的目标。多方面的、更为具体的目标。由课程专家制定。由课程专家制定。用用“总体目标总体目标+学段目标学段目标”的方式呈现的方式呈现。单元目标：单元目标：中观目标，用于计划需要几周或几个中观目标，用于计划需要几周或几个月的时间学习的单元，是课程目标的具体月的时间学习的单元，是课程目标的具体化。例如，化。例如，“理解有理数加法法则理解有理数加法法则

10、”就就是是一个单元目标。一个单元目标。由课程专家制定。由课程专家制定。课标中课标中“内容标准内容标准”中所列的都是单中所列的都是单元目标。元目标。课堂教学目标：课堂教学目标：微观目标，专注于具体内容的学习，只处理细节微观目标，专注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计划日常教学中发挥作用。，它们在计划日常教学中发挥作用。例如，例如，“理解理解有理数的加法法则有理数的加法法则”这一单元目标要具体化为：这一单元目标要具体化为：（1 1）能借助实际事例解释有理数加法法则；）能借助实际事例解释有理数加法法则；（2 2）会根据有理数加法法则计算两个有理数和）会根据有理数加法法则计算两个有理数和 由教师根

11、据课标要求和本班学生实际制定。由教师根据课标要求和本班学生实际制定。三、大力提高概念教学水平三、大力提高概念教学水平（1 1）当前概念教学的问题）当前概念教学的问题 概念教学走过场，常常采用概念教学走过场，常常采用“一个定义，一个定义，三项注意三项注意”的方式，在概念的背景引入上的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会。质特征的机会。以解题教学代替概念教学，学生在数学上以解题教学代替概念教学，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少的内容、方法和意义知之甚

12、少 有些老师不知如何教概念有些老师不知如何教概念（2 2）教概念的意义）教概念的意义 李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！是玩技巧技巧不足道也！数学是思维的科学，概念是思维的细胞数学是思维的科学，概念是思维的细胞 概念不理解，其他一切都免谈。因概念不理解，其他一切都免谈。因此，概念教学是最基本也是最重要的。此，概念教学是最基本也是最重要的。（3 3）概念教学的核心）概念教学的核心 概念教学的核心是概括：将凝结在数学概概念教学的核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引

13、导学生展开观察、分析各实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。纳得出数学概念。（4 4）概念教学的基本环节）概念教学的基本环节 概念的引入概念的引入借助具体事例，借助具体事例，从数学概念体系从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；内涵的概括内涵的概括提供提供典型丰富的具体例证，进行典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征；特征；概念的明确概念的明确下定义，给出准确的数学语言描下定义，给出

14、准确的数学语言描述（文字的、符号的）；述（文字的、符号的）；概念的辨析概念的辨析以实例为载体分析关键词的含义以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；（恰当使用反例）；概念的巩固概念的巩固用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；用概念作判断的具体步骤；概念的应用概念的应用纳入概念系统，建立与相关概念纳入概念系统，建立与相关概念的联系。的联系。例例 数轴概念的教学设计数轴概念的教学设计（一）内容和内容分析（一）内容和内容分析 内容：数轴的概念，用数轴上的点表示数内容：数轴的概念，用数轴上的点表示数（点与数的一一对应）。（点与数的一一对应）。内容分析：数

15、形结合思想的产物。由此，内容分析：数形结合思想的产物。由此，数的概念和运算与位置、方向、距离相统数的概念和运算与位置、方向、距离相统一，使数的语言得到了几何解释，数有了一，使数的语言得到了几何解释，数有了直观意义，有助于数的概念的理解，还可直观意义，有助于数的概念的理解，还可以从中得到启发而提出新的问题或结论，以从中得到启发而提出新的问题或结论，如相反数、绝对值等。如相反数、绝对值等。数轴上的点表示实数的本质：实数与数轴数轴上的点表示实数的本质：实数与数轴上的点一一对应（存在性、唯一性）。上的点一一对应（存在性、唯一性）。这样要求的意义：等价性，将问题转化后这样要求的意义：等价性，将问题转化后

16、所得到的结论就是原问题的结过所得到的结论就是原问题的结过需要需要学生逐渐体会。学生逐渐体会。在这样的要求下，明确规定原点、方向和在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度单位长度“三要素三要素”是必须而且自然的。是必须而且自然的。数轴的数轴的“三要素三要素”与实数集的与实数集的“三要素三要素”原点原点 0（原点和（原点和0的的“基准基准”作用）作用）单位长度单位长度 1（“单位单位”的的“标准标准”作用作用）方向方向 符号（符号（“方向方向”、“长度长度”是标记是标记“空间位置差别空间位置差别”的两个要素。数轴的方的两个要素。数轴的方向向“左左”“”“右右”，具有，具有“相反意义相反意义”，

17、对，对应于负数、正数。应于负数、正数。教学重点是：体会数轴的三要素；体会用教学重点是：体会数轴的三要素；体会用数轴上的点表示数的合理性。数轴上的点表示数的合理性。（二）目标和目标解析（二）目标和目标解析 目标目标（1 1）能用数轴上的点表示有理数；）能用数轴上的点表示有理数；（2 2）能借助具体实例，解释数轴三要素的作）能借助具体实例，解释数轴三要素的作用。用。目标解析：目标解析：目标（目标（1 1）属于）属于“理解理解”层次，是指学生能画出数轴层次，是指学生能画出数轴并找到表示给定数的点；并找到表示给定数的点；目标（目标（2 2）也属）也属“理解理解”层次，是指学生能判断一种层次，是指学生能

18、判断一种情境是否适合用数轴表示，并将情境中的事物与三要情境是否适合用数轴表示，并将情境中的事物与三要素分别对应起来。素分别对应起来。从发展的角度看，学生还应体会到，从发展的角度看，学生还应体会到，“用点表示数用点表示数”时，数轴时，数轴“三要素三要素”保证了点与数的保证了点与数的“一一对应一一对应”，即任意一个数对应于数轴上的唯一一个点；反之，数即任意一个数对应于数轴上的唯一一个点；反之，数轴上任意一个点对应于唯一一个数。这里，概念所反轴上任意一个点对应于唯一一个数。这里，概念所反映的基本思想需要逐步体会，还要逐步积累借助数轴映的基本思想需要逐步体会，还要逐步积累借助数轴的直观研究问题的经验。

19、的直观研究问题的经验。（三）教学问题诊断分析（三）教学问题诊断分析 学生第一次遇到用形表示数的问题，领会学生第一次遇到用形表示数的问题，领会其中蕴含的思想、体验这一方法的意义，其中蕴含的思想、体验这一方法的意义，尚待时日。可以借鉴引入负数的经验和生尚待时日。可以借鉴引入负数的经验和生活经验。在基本思想上，还是要借助于具活经验。在基本思想上，还是要借助于具体情境，教师先讲解，学生获得体验后进体情境，教师先讲解，学生获得体验后进行模仿式举例。行模仿式举例。教学难点：数轴教学难点：数轴“三要素三要素”与数集中与数集中0 0，1 1以及数的符号的对应性。以及数的符号的对应性。(四四)教学过程设计教学过

20、程设计 1 1问题情境下的三次概括问题情境下的三次概括 问题问题1 1 在一条东西向的马路上，有一个汽在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东车站牌，汽车站牌往东3 3和和7.5m7.5m处分别有处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m3m和和4.8m4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境画图表示这一情境 师生活动：师生活动：学生小组讨论解决问题的方法，学生小组讨论解决问题的方法，学生板演学生板演 学生画图后提问：学生画图后提问：（1 1）马路可以用什么几何图形代表？（直线）马路可以用什么几何图形代

21、表？（直线）（2 2）你认为站牌起什么作用？（基准点）你认为站牌起什么作用？（基准点）（3 3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）（方向，与站牌的距离）设计意图：设计意图：“三要素三要素”为定向，用直线、点、方为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题这是实际问向、距离等几何符号表示实际问题这是实际问题的第一次数学抽象题的第一次数学抽象 说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示有说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示有不同表示最好，可以与下面的方法做比较，看哪不同表示最好，可以与下面的方法做比较，看哪个更方便个更方便 问题问题2

22、 上面的问题中，上面的问题中，“东东”与与“西西”、“左左”与与“右右”都具有相反意义我们知道，正数和负都具有相反意义我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？学生画图表示后提问：学生画图表示后提问：（1）0代表什么？（基准点）代表什么？（基准点）（2）数的符号的实际意义是什么？（方向）数的符号的实际意义是什么？（方向）（3）如图，在一条直线上，）如图，在一条直线上，A，B的距离等于的距离等于B，C的距离，的距离，B点用点用3表示，表示，C点用点用

23、7.5表示，行吗？表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符）为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符）O A B C 0 1 3 7.5 （4）上述方法表示了这些树、电线杆与）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系例如，汽车站牌的相对位置关系例如，4.8表表示位于汽车站牌西侧示位于汽车站牌西侧4.8 m处的电线杆你处的电线杆你能自己再举个例子吗？能自己再举个例子吗？设计意图：继续以设计意图：继续以“三要素三要素”为定向，将为定向，将点用数表示，实现第二次抽象，为定义数点用数表示，实现第二次抽象，为定义数轴概念提供直观基础轴概念提供直观基础 问题问题3 3 大家都见

24、过温度计吧？你能描述一下温度大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？么数学知识？教师可以先解释教师可以先解释0 0度的含义（冰水混合物的温度规度的含义（冰水混合物的温度规定为定为0 0度度温度的基准点）温度的基准点）设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作用引导学生用负数的作用引导学生用“三要素三要素”表达，为定表达，为定义数轴概念提供又一个直观基础义数轴概念提供又一个直观基础 问题问题4 4 你能说说上述两个实例的共同点吗？你能说说上述两个实例的共同

25、点吗？设计意图：完成第三次概括，即进一步明设计意图：完成第三次概括，即进一步明确确“三要素三要素”的意义，体会的意义，体会“用点表示数用点表示数”和和“用数表示点用数表示点”的思想方法，为定义数的思想方法，为定义数轴概念提供进一步的直观基础轴概念提供进一步的直观基础 2 2定义、辨析数轴概念定义、辨析数轴概念 请你带着下列问题阅读教科书：请你带着下列问题阅读教科书：（1 1）画数轴的步骤是什么？）画数轴的步骤是什么？（2 2）根据上述实例的经验，）根据上述实例的经验，“原点原点”起什么起什么作用？（作用？（“原点原点”是数轴的是数轴的“基准基准”，表示，表示0 0，是表示正数和负数的分界点）是

26、表示正数和负数的分界点）（3 3）你是怎么理解）你是怎么理解“选取适当的长度为单选取适当的长度为单位长度位长度”的？（与问题的需要相关，表示的？（与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些等）较大的数，单位长度取小一些等）（4 4）数轴上，在原点的右边，离原点越远）数轴上，在原点的右边，离原点越远的点所表示的数的点所表示的数 ；在原点的左边，离；在原点的左边，离原点越远的点所表示的数原点越远的点所表示的数 （宏观看（宏观看大小）大小）设计意图：明晰概念，加深对数轴设计意图：明晰概念，加深对数轴“三要三要素素”的理解的理解 3练习、巩固概念练习、巩固概念（1）课本练习）课本练习1，2；（2

27、）数轴上表示）数轴上表示3的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？表示数少个单位长度？表示数 2的点在原点的哪一侧？与原点的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？设的距离是多少个单位长度？设a是一个正数，对表示是一个正数，对表示a的点的点和表示和表示a的点进行同样的讨论的点进行同样的讨论 设计意图：设计意图：练习（练习（1）包括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示的）包括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示的有理数，使学生进一步巩固数轴的概念，并使学生了解所有理数，使学生进一步巩固数轴的概念，并使学生了解所有的有理数都可以用数轴上的点表示

28、有的有理数都可以用数轴上的点表示 练习（练习（2）通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同位）通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同位置（原点左右）点的特点培养学生的抽象概括（由具体置（原点左右）点的特点培养学生的抽象概括（由具体的数到字母表示的数）能力的数到字母表示的数）能力 4 4小结、布置作业小结、布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：学生回答以下问题：（1 1）本节课学了哪些主要内容？）本节课学了哪些主要内容？（2 2）数轴的）数轴的“三要素三要素”各指什么？它们各起什么各指什么？它们各起什么作用？作用？（3 3）

29、你能举出引进数轴概念的一个好处吗？）你能举出引进数轴概念的一个好处吗？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心容，掌握本节课的核心数轴数轴“三要素三要素”，感，感受通过数轴把数与形结合起来的好处受通过数轴把数与形结合起来的好处 布置作业：布置作业：教科书练习第教科书练习第3 3题，习题题，习题1.21.2第第2 2题题四、课堂教学的高立意与低起点四、课堂教学的高立意与低起点 立意不高立意不高许多教师的许多教师的“匠气匠气”太浓，太浓，“题型题型+技巧技巧”的教学，弥漫着的教学，弥漫着“功利功利”，缺少思想、精，缺少思想、精神的追求

30、。神的追求。提高课堂教学立意的关键是提高思想性。提高课堂教学立意的关键是提高思想性。具体做法上，要注意具体做法上，要注意“先行组织者先行组织者”的使用，要的使用，要加强思想方法的引导加强思想方法的引导构建研究数学问题的框构建研究数学问题的框架，以增强学生学习的自觉性、主动性，使学生架，以增强学生学习的自觉性、主动性，使学生的数学思考更有目的性、有序性和有效性，培养的数学思考更有目的性、有序性和有效性，培养良好的数学思维习惯。良好的数学思维习惯。例例 四边形的四边形的“先行组织者先行组织者”概括三角形中研究的问题、线索和基本方法：定概括三角形中研究的问题、线索和基本方法：定义（组成元素、分类）义

31、（组成元素、分类）三角形的性质（变化中三角形的性质（变化中的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入手）手）三角形的全等（确定三角形的条件）三角形的全等（确定三角形的条件）特特殊三角形的研究（角特殊殊三角形的研究（角特殊直角三角形、边特直角三角形、边特殊殊等腰三角形，性质、判定）等腰三角形，性质、判定）相似三角形相似三角形（性质、判定）（性质、判定）目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的“基本套路基本套路”。引导学生类比，思考引导学生类比，思考“四边形四边形”研究的问题、线研究的问题、线索和方法等：索和方法等：

32、一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角和）；和）；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；边的特殊性边的特殊性平行四边形：性质和判定；平行四边形：性质和判定；“性性质质”研究的是在研究的是在“平行四边形平行四边形”的条件下，它的的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；角的关系、对角线的关系等；“判定判定”研究的是研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；量问题；特殊的平

33、行四边形：角的特殊特殊的平行四边形：角的特殊矩形，矩形，边的特殊边的特殊菱形，边角都特殊菱形，边角都特殊正方正方形，都要研究性质和判定。形，都要研究性质和判定。研究的方法：化归为三角形、平行线的性研究的方法：化归为三角形、平行线的性质等已有知识；质等已有知识；特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形角形的知识：矩形直角三角形；菱形直角三角形；菱形等腰三角形；等腰三角形；五、如何进行五、如何进行“思维的教学思维的教学”（1 1）树立正确的学生观）树立正确的学生观学生的主动参与学生的主动参与是根本保证。是根本保证。（2 2）让学生真正）让学生真正“动

34、起来动起来”书上得来终书上得来终觉浅，绝知此事须躬行。觉浅，绝知此事须躬行。（3 3）精心选择和使用例子）精心选择和使用例子一个好例子胜一个好例子胜过一千次说教。过一千次说教。（4 4）关注课堂中生成的教学资源）关注课堂中生成的教学资源从学生从学生的切身体验中引发更深层次的思考。的切身体验中引发更深层次的思考。（5 5）把概括的机会让给学生。）把概括的机会让给学生。例例 锐角三角函数概念概括过程的设计锐角三角函数概念概括过程的设计目的：解直角三角形目的：解直角三角形 课题的引入：从实际需要看（如比萨斜塔课题的引入：从实际需要看（如比萨斜塔的倾斜问题）；从数学内部看（以往讨论的倾斜问题）；从数学

35、内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）。系，边与角有没有确定的关系？）。定性考察：从直角三角形全等的判定可知，定性考察：从直角三角形全等的判定可知，RtRt中，除直角外，任意给两个条件（至中，除直角外，任意给两个条件（至少一个是边），其余唯一确定。少一个是边），其余唯一确定。“定量化定量化”的过程设计的过程设计 从最熟悉的直角三角形开始：无论从最熟悉的直角三角形开始：无论 Rt的大小如的大小如何，何，30所对的边是斜边的一半（本质特征）。所对的边是斜边的一半（本质特征）。思考：由这个比值能干什么？思考：由这个比值能

36、干什么？当当A=30时，已知斜边可求时，已知斜边可求A的对边，反之也可。的对边，反之也可。及时巩固：等腰直角三角形中，锐角及时巩固：等腰直角三角形中，锐角A的对边与的对边与斜边的比是多少？由这个比值能干什么？斜边的比是多少？由这个比值能干什么？推广到一般：给定锐角推广到一般：给定锐角A，A的对边与斜边的比的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？（注意引导学生理解条值是否为一个确定的值？（注意引导学生理解条件件什么不变、什么变）什么不变、什么变）下定义，用符号表示。下定义，用符号表示。辨析定义：（辨析定义：（1）A为为RtABC的锐角，的锐角，ABC的大小可以变化，但的大小可以变化，但A的对边与斜

37、的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做一确定的比值与之对应，这个比值叫做A的正弦；（的正弦；（2）符号）符号sinA的理解的理解一个由一个由A唯一确定的数，例如唯一确定的数，例如sin30=0.5；（；（3）sinA的取值范围；等。的取值范围；等。概念的应用：给直角三角形的边，求正弦概念的应用：给直角三角形的边，求正弦值。值。掌握用定义解题的基本规范。掌握用定义解题的基本规范。教材的编写意图教材的编写意图 如何发现、提出数学问题如何发现、提出数学问题引导学生思考已经引导学生思考已经研究过什么，还可以研究什么；研究过

38、什么，还可以研究什么；从定性到定量从定性到定量数学的普遍方法，渗透着理性数学的普遍方法，渗透着理性精神；精神；从学生最熟悉的问题开始；从学生最熟悉的问题开始；从另一个角度看问题从另一个角度看问题旧问题新解释，数学发旧问题新解释，数学发展的一种思路；展的一种思路；从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法；从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法；使学生经历概念形成的完整过程。使学生经历概念形成的完整过程。结束语结束语 教育改革需要一定的理想化色彩；教育改革需要一定的理想化色彩；教育包括教育包括“生命的教育生命的教育”和和“生活的教生活的教育育”，不要忘记，不要忘记“教学生做人、做事教学生做人、做事”的的双重职责；双重职责；教学能力的来源：信心，精进，正念，定教学能力的来源：信心，精进，正念，定力，智慧。力，智慧。托起绿色的希望依靠我们无坚不摧的智慧依靠我们无坚不摧的智慧逐步接近数学教育的本来面目逐步接近数学教育的本来面目谢谢倾听谢谢倾听请提宝贵意见请提宝贵意见