反常积分敛散性的判别.ppt

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1、中南财经政法大学 数学分析 2 无穷积分的性质及收敛判别 一、无穷积分的性质 本节讨论无穷积分的性质 , 并用这些 性质得到无穷积分的收敛判别法 . 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般函数无穷积分的收敛判别法 ( ) da f x x 收敛的充要条件是 : 0 , ,Ga 1 2 2 1 ( ) d ( ) d ( ) d .u u ua a uf x x f x x f x x 一、无穷积分的性质 12,u u G当 时 证 ( ) ( ) d , , ) , ( ) duaaF u f x x u a f x x 设 则 li m ( ) .u Fu 收 敛 的 充 要 条 件 是

2、 存 在 极 限 由 函 数 极限的柯西准则 ,此等价于 (无穷积分收敛的柯西准则 )无穷积分 定理 11.1 1 2 1 20 , , , , ( ) ( ) ,G a u u G F u F u 1 2 2 1 ( ) d ( ) d ( ) d .u u uaua f x x f x x f x x 性质 1 1 2 1 2( ) d ( ) d , ,aaf x x f x x k k 若 与 都 收 敛 为任意常数 ,则 1 1 2 2( ) ( ) da k f x k f x x 即 根据反常积分定义 ,容易导出以下性质 1 和性质 2. ,也 收 敛 且 1 1 2 2( )

3、( ) da k f x k f x x ( ) d ( ) d ( ) ,abf x x f x x b a 与 ( ) d ( ) d ( ) d .ba a bf x x f x x f x x 同 时 收 敛 或 同 时 发 散 ， 且 性质 2 , f a u若 在 任 何 有 限 区 间 上 可 积 , 则 1 1 2 2( ) d ( ) d .aak f x x k f x x h(x) 在任意 a, u上可积 , 且 ( ) d ( ) daaf x x g x x 和 ( ) d .a h x x都 收 敛 , 则 收 敛 证 因为 ( ) d ( ) daaf x x g

4、 x x 和 收敛 ,由柯西准则的必要性 , 120, , ,G a u u G 例 1 ),),()()( axxgxhxf , f (x), g (x), 若 12 21 ( ) d , ( ) d ,uuf x x g x x 2 2 2 1 1 1 ( ) d ( ) d ( ) d ,u u uu u ug x x h x x g x x 再由柯西准则的充分性 , ( ) d . a h x x 证 得 收 敛 即 2 1 ( ) d .uu h x x ( ) ( ) ( ) ,f x h x g x又 因 为 所 以 , ) , ( ) d .uau a f x x M 二、非

5、负函数无穷积分的收敛判别法 li m ( ) .u Fu 条 件 是 存 在 12( ) 0 ,f x u u由 于 当 时 ， 2 1 2 1 ( ) d ( ) d ( ) d 0 ,u u ua a uf x x f x x f x x 定理 11.2(非负函数无穷积分的判别法 ) 设定义在 上的非负函数 f 在任何 , )a , ,au 上 可 积 则 ( ) da f x x 收敛的充要条件是 : 0,M 使 证 ( ) ( ) d ,uaF u f x x ( ) da f x x则 收 敛 的 充 要设 , ) , ( ) d .uau a f x x M有 ( ) ( ) ,

6、, ) ,f x g x x G 非负函数 f , g 在任何有限区间 a, u上可积 , 且 定理 11.3 (比较判别法 ) 设定义在 上的两个 , )a 增 函数的收敛判别准则 , li m ( )u Fu 存 在 的 充 要 条 从而 F (u) 是单调递增的 ( , ) ) .ua 由单调递 ( ) , )F u a 件 是 在 上 有 界 ,0,M即 使 存在 满足 ,Ga 证 ( ) d a g x x 若 收 敛 ,0, , ) ,M u a 则 ( ) d .ua g x x M ( ) d ( ) d .uuaaf x x g x x M因 此 由非负函数无穷积分的判别法

7、, ( ) da f x x 收 敛 . ( ) d , ( ) daaf x x g x x 当 发 散 时 亦 发 散 . ( ) d , ( ) daag x x f x x 则 当 收 敛 时 亦 收 敛 ; 第二个结论是第一个结论的逆否命题 ,因此也成立 . 516 d 1 x x 收 敛 . 例 2 判别 516 d 1 x x 的收敛性 . 22( ) d ( ) d aaf x x g x x 明 : 若 和 收 敛 , 则 ( ) ( ) d .a f x g x x 收 敛 解 65 1 d x x 由 于 收 敛 , 因 此 6565 11 . 1 xx 显然 设 f (

8、x), g(x) 是 上的非负连续函数 . 证 , )a 例 3 22 22( ) ( ) 1 1d ( ) d ( ) d 2 2 2a a a f x g x x f x x g x x ( ) ( ) d .a f x g x x收 敛 , 因 此 收 敛 推论 1 设非负函数 f 和 g 在任何 a,u 上可积 , 且 ()li m . ()x fx c gx )i( 0 ( ) d ( ) daac f x x g x x 若 ， 则 与 收 敛 性 相 同 ; 证 22( ) ( ) ( ) ( ) ,2f x g xf x g x 而由于 ( ii ) 0 , ( ) d ( )

9、 daac g x x f x x 若 则 由 收 敛 可 得 收 敛 ; ( iii ) , ( ) d ( ) daac g x x f x x 若 则 由 发 散 可 得 发 散 . 证 ()( i ) l i m 0, , ,()x fx c G a x Ggx 由 故 存 在 使 有 () , ( ) 2 f x cc gx 即 3( ) ( ) ( ) . 22 ccg x f x g x ( ) d , ( ) d2aa cf x x g x x 若 收 敛 则 可 得 收 敛 , 从 而 ( ) d ( ) d ,aag x x g x x 收 敛 . 反 之 , 若 收 敛

10、可 得 3 ( ) d ( ) d . 2 c g x x f x x 收 敛 , 从 而 收 敛 ()( i i ) l i m 0, , , ()x fx G a x G gx 由 存 在 使 有 ( ) ( ) , , ) , ( ) daf x g x x G g x x 即 因 此 由 收 敛 ( ) d .a f x x可 推 得 收 敛 () 1, () fx gx ()( iii ) lim , , , ()x fx G a x G gx由 存在 使 有 ( ) ( ) , , ) , ( ) daf x g x x G g x x 即 因 此 由 发 散 ( ) d .a f

11、 x x可 推 得 发 散 1( i ) ( ) ( 1 ) , ( ) d p af x p f x xx 若 则 收 敛 ; 推论 2 设 f 是定义在 上的非负函数 , 在任何 , )a , au有 限 区 间 上 可 积 . () 1, () fx gx )i( 1 , 0 , ( ) dap f x x 当 时 收 敛 ; )ii( 1 , 0 , ( ) d .ap f x x 当 时 发 散 li m ( ) ,px x f x 若 则限区间 a, u 上可积 . 推论 3设 f 是定义在 上的非负函数 ,在任何有 , )a 1( ii ) ( ) ( 1 ) , ( ) d .

12、 p af x p f x xx 若 则 发 散 说明 : 推论 3是推论 2的极限形式，读者应不难写 出它的证明 . 例 4 讨论 1 ln dk p x x x 的收敛性 ( k 0 ). 解 (i) ,1 时p 1 2 lnlim p k px xx x 1 2 lnlim 0 . p k x x x 1 ln d.k p x x x 因 此 由 推 论 3 知 道 收 敛 )ii( 1ln1 , li m li m ln . k pk pxx xp x x x x 时 1 ln d.k p x x x 因 此 同 理 知 道 发 散 若无穷积分 ( ) d , ( ) daaf x x

13、 f x x 收 敛 则 称 以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性 . 三、一般函数无穷积分的判别法 何 有限区间 a, u上可积 , ( ) d , a f x x且 收 敛 则 ( ) da f x x 亦必收敛, 并且 ( ) d ( ) d .aaf x x f x x 定理 11.4 (绝对收敛的无穷积分必收敛 ) 若 f 在任 绝 对 收 敛 . 210 , , ,G a u u G 当 时 2 1 ( ) d ,uu f x x 因此 22 11 ( ) d ( ) d .uuf x x f x x 再由柯西准则的充分性 , ( ) d a f x x 推 知 收 敛 .

14、( ) d li m ( ) d ( ) d .ua a auf x x f x x f x x 又对任意 ( ) d ( ) d ,uuaaf x x f x x 于 是,ua 证 ( ) d , a f x x 收 敛由柯西准则的必要性 , 对 因 1 sin d () x x x a x 因 此 绝 对 收 敛 . 收敛的无穷积分 ( ) d a f x x 不一定是绝对收敛的 . ( ) d | ( ) | d ,aaf x x f x x 若 收 敛 而 发 散 则 称 ( ) da f x x 条 件 收 敛 . 例 5 1 sin d ( 0 ) () x xa x a x 的收

15、敛性 . 判别 解 sin 1 , () x x a x x x 而 321 1 d x x 收 敛 , 由于 瑕积分的性质与收敛判别 , 与无穷积 3 瑕积分的性质与收敛判别 内容大都是罗列出一些基本结论 , 并举 分的性质与收敛判别相类似 . 因此本节 例加以应用 , 而不再进行重复论证 . 定理 11.7 （瑕积分收敛的柯西准则） 2 1 2 1 ( ) d ( ) d ( ) d .b b uu u uf x x f x x f x x ( ) d ( )ba f x x a瑕 积 分 瑕 点 为 收 敛 的 充 要 条 件 是 证 ( ) ( ) d , ( , ) , ( ) db

16、b uaF u f x x u a b f x x设 则 l i m ( ) .ua Fu收 敛 的 充 要 条 件 是 存 在 由 函 数 收 敛 的 1 2 1 2, ( , ) ( ) ( ) ,u u a a F u F u ， 120 , 0 , , ( , )u u a a 任 给 存 在 当 时 ， 柯西准则，此等价于 0, 0, 2 1 2 1 ( ) d ( ) d ( ) d .b b uu u uf x x f x x f x x 即 性质 1 1 2 1 2,f f x a k k设 函 数 与 的 瑕 点 同 为 1 1 2 2( ( ) ( ) ) d , b a

17、k f x k f x x 也 收 敛 且 12, ( ) d ( ) d , bb aaf x x f x x为 任 意 常 数 若 和 都 收 敛 则 1 1 2 2( ( ) ( ) ) d b a k f x k f x x 1 1 2 2( ) d ( ) d . bb aak f x x k f x x 性质 2 , ( , ) ,f x a c a b设 函 数 的 瑕 点 若 则 ( ) d ( ) d ,bcaaf x x f x x 与 同 时 收 敛 或 同 时 发 散 且 ( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x 性质

18、 3 , ( , f x a f a b设 函 数 的 瑕 点 为 在 的 任 一 , ( ) , ( ) d ,bau b u a f x x 闭 区 间 上 可 积 则 收 敛 时 ( ) d , ( ) d ( ) d .b b ba a af x x f x x f x x 也 收 敛 且 定理 11.8 (非负函数瑕积分的判别法 ) ( , ( ) ,a b f x若 定 义 在 上 的 非 负 函 数 在 任 意 闭 区 间 , ( ) , ( ) dbau b u a f x x 上 可 积 则 收 敛 的 充 要 条 件 ( , , ( ) d .buM u a b f x x

19、 M 是 : 存 在 ， 对 任 意 定理 11.9 (比较法则 ) ( , ,a b f g设 定 义 在 上 的 两 个 非 负 函 数 与 瑕 点 同 , , ( , x a u b a b为 在 任 何 上 都 可 积 , 且 满 足 ( ) ( ) , ( , .f x g x x a b ( ) d , ( ) d ;bbaag x x f x x则 当 收 敛 时 必 定 收 敛 ( ) d , ( ) d .bbaaf x x g x x 发 散 时 必 定 发 散 , ( )f g u b a u b若 非 负 函 数 和 在 任 何推论 1 则且上可积 ,lim, cxg

20、xf ax ( i) 0 ( ) d ( ) d ;bbaac f x x g x x 时 ， 与 收 敛 性 相 同 ( ii) 0 ( ) d ( ) d ;bbaac g x x f x x 时 ， 收 敛 可 推 得 收 敛 ( iii) ( ) d ( ) d .bbaac f x x g x x 时 ， 发 散 可 推 得 发 散 , ( , u b a b在 任 何 上 可 积 . 则 有 1( i) ( ) , 0 1 , ( ) d () b p af x p f x xxa 当 时 收 敛 ; 1( i i ) ( ) , 1 , ( ) d . () b p af x p

21、 f x xxa 当 时 发 散 推论 2 ( , , ,f a b a设 非 负 函 数 定 义 在 上 为 瑕 点 且 推论 3 ( , , ,f a b a设 非 负 函 数 定 义 于 为 瑕 点 且 在 任 , ( , li m ( ) ( ) ,pxau b a b x a f x 何 上 可 积 . 若 则 ( i) 0 1 , 0 ( ) dbap f x x 当 时 ， 收 敛 ; ( ii) 1 , 0 ( ) d .bap f x x 当 时 ， 发 散 sin t a n a r c sin a r c t a nx x x x x利用 可以判别一些非负函数瑕积分的收敛

22、性 . l n ( 1 ) e 1 ( 0) ,xxx 例 1 2 3 13 sin d. 1 ln x x xx 判 别 瑕 积 分 的 收 敛 性 1,x 解 瑕 点 为 1 3 2 1 333 sin 1 sin . ln ( 1 ) ( 1 ) ln ( 1 1 )1 xx x x x x xx 由于 2 1 3 3sin sin 1 0 ( 1 ) ,( 1 ) 3x xxx 而 1 3 1 3 4 3 1 1 1, ( 1 ) ln( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x x 22 43 3 311 d sin d. ( 1 ) 1 ln xx x x xx

23、 因 此 由 发 散 知 发 散 例 2 1 0 ln d.x x x判 别 瑕 积 分 的 收 敛 性 解 0 ln 0 ( ( 0, 1 ) .x x x 是 瑕 点 , 由 于 3 / 4 1 4 00 lnlim lim ln 0, xx xx x x x 1 1 00 lnln3d d.x x xx x x 因 此 由 推 论 知 收 即, 收 敛敛 1 0 ( ) d1 ax ax x 的 收 敛 性 . 111 01 ( ) d d11 aaxx a x xxx ( i ) ( ) . 1 0, 1 ;I a a a先讨论 当 即 时它是定积分 讨论反常积分例 3 ()a把 反

24、常 积 分 写 成解 ( ) ( ) .I a J a 1 1 0 li m 1 ,1 a a x xx x 1 0.ax当 时它是瑕积分, 瑕点为 由于 1 1 .9 0 1 1 ,pa 因 此 由 定 理 的 推 论 3, 当 即 , ( )Ia时 发 散 . ( ii ) ( ) ,Ja再 讨 论 它 是 无 穷 积 分 . 由 于 0 , ( ) 1 1 , 0a I a p a a时 瑕 积 分 收 敛 ; 当 即 1 2l i m l i m 1 , 11 a a xx xxx xx 1 1 .3 3 2 1 , 1p a a 因 此 由 定 理 的 推 论 , 当 即 a a 0

25、 0 a 1 a 1 I (a) 发散 收敛 定积分 J (a) 收敛 收敛 发散 (a) 发散 收敛 发散 1 , ( ) , :Ja 时 发 散 . 综 上 所 述 总 结 如 下 1 , ( ) ; 2 1 , 1J a p a a 且 时 收 敛 而 当 即 且 ( ) 0 1 .aa 所 以 , 只 有 当 时 才 是 收 敛 的 *一般函数的无穷积分的狄利克雷 判 定理 11.5(狄利克雷判别法） ( ) ( ) du aF u f x x 若 0 ( ) ( ) d .a f x g x x单 调 趋 于 ， 则 收 敛 , ) ( ) , )a g x a x 在 上 有 界

26、， 在 上 当 时 li m ( ) 0,x gx , ) , ( ) d . 0,uau a f x x M 设 由 于证 , , ( ) .4G a x G g x M 存 在 时故 别法和阿贝尔判别法判别其收敛性 . ,g因 为 单 调 函 数 由 积 分 第 二 中 值 定 理 对 任 意 的 22 11 12 ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ,uuf x g x x g u f x x g u f x x 2 2 .44 MMMM 2 2( ) ( ) d ( ) d u aag u f x x f x x 1 1( ) ( ) d ( ) d u aag

27、 u f x x f x x 2 112 ( ) ( ) d ( ) ( ) duug u f x x g u f x x 2 1 ( ) ( ) duu f x g x x 2 1 1 2, , ,u u G u u 使得 于 是 因此 , 由柯西准则， ( ) ( ) d .a f x g x x 收 敛 , ) ( ) ( ) d .aa f x g x x 在 上 单 调 有 界 ， 则 收 敛 证 证法 1 ( ) , , ) ,g x M x a 设 由 于 ( ) d ,a f x x 收 敛 210 , , ,G a u u G 则 当 2 1 ( ) d .4uu f x x

28、 M 定理 11.6 (阿贝尔判别法 ) ( ) d , ( )a f x x g x若 收 敛 由 g 的单调性 ,用积分第二中值定理，对于任意的 2 1 1 2, , ,u u G u u 使得 2 1 duu f x g x x 2 112 ( ) ( ) d ( ) ( ) d .uug u f x x g u f x x 2 1 ( ) ( ) duu f x g x x 2 112 ( ) ( ) d ( ) ( ) duug u f x x g u f x x .4 4 2MMMM 由柯西准则 , ( ) ( ) d .a f x g x x 收 敛 证法 2 ( ) , ) ,

29、g x a A因 在 上 单 调 有 界 故 存 在 使 l i m ( ) .x g x A 11( ) ( ) , ( ) , ) 0 .g x g x A g x a 令 则 在 上 单 调 趋 于 因 此 ( ) d , ( ) ( ) duaaf x x F u f x x 又 因 收 敛 故 在 , ) ,a 上 有 界由狄利克雷判别法 1( ) ( ) da f x g x x ( ) ( ) da f x g x x 1( ) ( ) d ( ) d .aaf x g x x A f x x 收 敛 例 6 11 s in c o sd d ( 0 ) pp xxx x p x

30、x 讨 论 与的收敛性 . 收敛 . 收敛 ,所以 解 sin 11 , ,ppxp xx当 时 由 于 1 s in d p x x x 因 此 绝 对 0 1 , 1pu 若 则 当 时 1 0 px而 单 调 趋 于 ， 因 此由狄利克雷判别法推知 1 s in d. p x x x 收 敛另一方面， 2si n si n 1 c os 2 , 1 , ) ,22p x x x xx x x x 12 c o s 2 1 c o sdd 22 xtxt xt 其 中 满 足狄利克雷判别 1 s in d c o s 1 c o s 2 , u x x u 法条件 , 是收敛的； 1 d2

31、 xx而 发 散 ， 因 此 类似可证 : 1 c o s0 1 d p xpx x 当 时 ， 条 件 收 敛 ; 1 c o s1d p x x 当 时 ， 绝 对 收 敛 . 1 s in0 1 d p xpx x 当 时 , 条 件 收 敛 ; 1 sin d . , p x x x 发 散 总 之 1 s in1d p x x 当 时 ， 绝 对 收 敛 . 积分第二中值定理 1) 定理 9.11 ，baf 上可积在设函数 , )5(;)()()()( ,0)(,)( a b a dxxfagdxxgxf baxgbagi 使得则且上减在若函数 )6(;)()()()( ,0)(,)

32、( bb a dxxfbgdxxgxf baxgbagii 使得则且上增在若函数 2) 推论 , 为单调函数若上可积在设函数 gbaf 使得则 , ba ;)()()()()()( a bba dxxfbgdxxfagdxxgxf 证明 : , ),()()(, 增函数 为非负则令为增函数若 、hagxgxhg 使得由定理 ,),(11.9 baii ba dxxhxf )()( b dxxfbh )()( b dxxfagbg )()()( ,)()()()()()( bababa dxxfagdxxgxfdxxhxf由于 因此证得 ba dxxgxf )()( ba dxxfag )()( b dxxfagbg )()()( a dxxfag )()( .)()( b dxxfbg ba dxxhxf )()( b dxxfagbg )()()(