二重积分的计算法课件.ppt

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1、*三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 一、利用直角坐标计算二重积分 二重积分定义为积分和式的极限如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的 . 下面我们根据二重积分的 几何意义 曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法 . 这个方法就是把二重积分的计算转化为 接连计算两次定积分，即二次积分 . x A(x) dV=A(x)dx x 已知平行截面面积为 A(x)的立体 ba xxAV d)( . a V 复习： 平行截面面积为已知的立体的体积 b 二重积

2、分的计算 (D是矩形 区域 ) y 0 x z y a b c d D D是矩形 区域 a,b ; c,d z=f (x,y) D yxy,xfI d)d( dyc bxayxD ),( y 0 x z y a b c d D D是矩形 区域 z=f (x,y) ba xyxfyQ )d,()( )(yQ yy yxfz ),( 问题： Q( y)是什么图形？ 是曲边梯形。 D yxy,xfI d)d( . 二重积分的计算 (D是矩形 区域 ) . dc yyQI )d( dyc bxayxD ),( 0 x z y y a b c d D yxyxfdc ba d)d,( . ba xy,x

3、f )d(Q( y ) = dc yyQI )d( 同理，也可以先对 y 积分 xyyxfI b a d c dd),( . D yxy,xfI d)d( z=f (x,y) D是矩形 区域 a,b ; c,d 二重积分的计算 (D是矩形 区域 ) 0 x z y c d D z=f (x,y) x=(y) x=(y) y D: (y) x (y) c y d 二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ） D yxy,xfI d)d( 0 x z y c d D z=f (x,y) x=(y) x=(y) )(yQ . y 问题： Q( y)是什么图形？ D: (y) x (y) c y d

4、 yy yxfz ),( 也是曲边梯形 ! D yxy,xfI d)d( . )( )( )d,(y y xyxf Q( y ) dc yyQ )d(I = 二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ） . 0 x z y x=(y) y c d D yxyxfd c y y d)d,()( )( . D: (y) x (y) c y d . D yxy,xfI d)d( )( )( )d,(y y xyxf dc yyQI )d( Q( y ) = 二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ） x=(y) z=f (x,y) 如果积分区域为： ,bxa ).()( 21 xyx 其中函数

5、 、 在区间 上连续 . )(1 x )(2 x , ba 直角坐标系下计算二重积分 X型 )(2 xy a b D )(1 xy D ba )(2 xy )(1 xy 设函数 在区域 上连续 ,且当 时 ， 如果区域 是由直线 ， 与曲线 所围成 (X 型区域 ),如下图 ,即 12: , ( ) ( )D a x b x y x ( , )z f x y ( , )x y D ( , ) 0f x y D xa xb 12( ) , ( )y x y x D x y o ba 1()yx 2()yx x xo ba 1()yx x y 2()yx x y o ba 1()yx 2()yx

6、x 若 D是 X型区域，则积分 先 Y后 X。 2 1 () () ( , ) ( , ) ( , ) bx ax DD f x y d f x y d x d y f x y d y d x x z y o a bx ()Ax 2 ()yx 1()yx 2 1 () () ( , ) ( , )bx ax D f x y d x d y d x f x y d y 通常写成 x y o ba 1()yx 2 ()yx x 2 1 () () ( , ) ( , )bx ax D f x y d x d y d x f x y d y 把计算 二重积分 的问题化为计算 两次 定积分的问题 。

7、2 1 () () ( ) ( , )x x A x f x y dy x 看作是常量， y 是 积分 变量； 这是先对 ，后对 的两次积分 (适合于 型区域 ). y x X 第二次积分时计算 x 是积分变量 . ,d)(ba xxA ,bxa ).()( 21 xyx 第一次计算定积分 D： 如果积分区域为： ,dyc ).()( 21 yxy Y型 )(2 yx )(1 yx Dc d c d )(2 yx )(1 yx D 12: ( ) ( )D c y d y x y 类似地 ，如果 D是 Y型区域 ,可用垂直于 轴的平面 去截曲顶柱体 ,此时 D为 y 2 1 () () ( ,

8、 ) ( , ) dy cy D f x y d x d y d y f x y d x 这是先对 ，后对 的两次积分 . x y c d y y o x 2 ()xy 1()xy c d y y o x 2 ()xy 1()xy 如果去掉以上结论中关于 的限制 ， 则上述结论仍是成立的 . ( , ) 0 , ( , )z f x y x y D 几点说明： :,D a x b c y d ( , ) ( , ) ( , )b d d b a c c a D f x y d x d y d x f x y d y d y f x y d x 则 （ ） 若区域 D是一个矩形 ， :,D a

9、x b c y d （ ）若函数可积，且 且 12( , ) ( ) ( )f x y f x f y （ ） 上面所讨论的积分区域 D是 X型或 Y 型区域 。 则 12( , ) ( ) ( )bdac D f x y d x d y f x d x f y d y 1 1 1 10 0 0 0 1 1 12 2 4x y dx dy x dx y dy 例如 x0 y 若不满足这个条件 ,可将 D分块 . 再应用积分的分域可加性来计算 . D1 D2 D3 由于二重积分归结于计算两个定积分 ,因此计算重 积分本身没有新困难 ,对于初学者来说 ,感到困难的 是如何根据区域 D去确定两次积分

10、的上 、 下限 . x y o ba 1()yx 2 ()yx x 定限法则 :就 型区域而言 X 后积先定限 ,域内穿射线 , 先交为下限 ,后交为上限 . 如右图 建议 ：先将区域 D的 图形 画出，再写出区域 D上的点 的坐标所要满足的 不等式 以确定积分的上、下限 . xy 1 例 1 改变积分 x dyyxfdx 1 0 1 0 ),(的次序 . 原式 y dxyxfdy 1 0 1 0 ),(. 解： 积分区域如图 如果积分区域既是 X-型又是 Y-型的 ，则重积分既 可以转化为先对 x后对 y的 ，也可以转化为先 y后 x的 二次积分（累次积分） xy 2 22 xxy 例 2

11、改变积分 xxx dyyxfdxdyyxfdx 2 0 2 1 2 0 1 0 ),(),( 2 的次序 . 原式 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy . 解： 积分区域如图 : 2 2 , 1 1.D x y 1 43 D xy d x d y D例 1 计算二重积分 ,其中 为矩形： 21 21 2 22 1 1 22 2 2 2 11 4 3 4 3 ( ) ( 2 ) 4 6 2 ( 2 ) 8 4 D x y x y dx dy dx dy x y y x y dx dx x x 解 1 先积 再积 y x 解 2 先积 再积 yx 2 1 2 1 2 2 1 2 1

12、2 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 3 4 3 8 3 42 ( 4 ) ( 4 ) 8 33 D x y x y x x y dx dy dy dx x dy yy dy y 例 2 计算二重积分 ,其中区域 为矩形： xy D e d x d y D : 0 1 , 1 2D x y x y x ye e e 12 12 0101 22 ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) x y x y x y D e dx dy e dx e dy e e e e e e e 解 因为 ,所以 或 先积 再积 1 2 1 2 1 0 1 0 1 2 1 2 1 1 0 0 3 2 2 2

13、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) x y x y x y D x x x x e dx dy dx e dy e dx e e dx e e e e e e e e y x 解：椭圆区域可表示为 2 2: 0 , 0 1 xD x a y b a a y o x b 因此 2 21 00 xab a D x y d x d y d x x y d y 24 2 2 2 2 11() 2 2 4 8 aab a b a 2 2 20 1 ( 1 ) 2 a xb x d x a 24 2 02 1 () 2 2 4 axxb a 例 3 计算二重积分 .其中积分区域 D 为 四分之一

14、椭圆 。 D x y d x d y )0,0( 12 2 2 2 yx b y a x 例 4 计算二重积分 ,其中 是由三条线 所围成 的区域 . ( 6 ) D x y d x d y D , 5 , 1y x y x x 5yx yx 1x 解 易知积分区域可表为 : 0 1 , 5D x x y x 1 2 0 7676 . 3x d x 于是 ( 6 ) D x y d x d y 1 25 0 ( 3 ) xxx y y d x 15 0 ( 6 )x x d x x y d y yxxyD dd| 2 其中 .11,20),( xyyxD 例 2.3 计算二重积分 解：先画出区

15、域 D的图形，因为 , , , , 22 22 2 时当 时当 xyyx xyxy xy x y O -1 1 D1 D2 yxyxyxxyyxxy DDD dddddd| 21 222 yyxxyxyx xx dddd 22 0 21 12 21 1 3 5 2d3 2d)2( 3 2 1 1 31 1 2 3 2 xxxx 例 5. 计算 ,d D yx 其中 D 是抛物线 所围成的闭区域 . 解 : 为计算简便 , 先对 x 后对 y 积分 , :D xyx d D yx d 21 d y 21 2221 d2 yyx yy 2 1 52 d)2(21 yyyy D xy 2 2 xy

16、2 1 4 o y x y 22 yxy 21 y 2y 2y 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 6. 计算 ,dds i n D yxx x其中 D 是直线 所围成的闭区域 . o x y D x xy解 : 由被积函数可知 , 因此取 D 为 X 型域 : x xyD 0 0: D yxx x dds in x y0d 0 dsi n xx 2 0 ds i n xx x 先对 x 积分不行 , 说明 : 有些二次积分为了积分方便 , 还需交换积分顺序 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7. 交换下列积分顺序 2 2 8 0 22 2 2 0 2 0 d),(d

17、d),(d x x yyxfxyyxfxI 解 : 积分域由两部分组成 : , 20 0: 221 1 x xyD 822 yx 2D 22 y xo 2 1D 221 xy 2 222 80: 2 2 x xyD 21 DDD 将 :D 视为 Y型区域 , 则 282 yxy 20 y D yxyxfI dd),( 28 2 d),( y y xyxf 2 0 d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 8. 计算 其中 D 由 ,4 2xy 1,3 xxy 所围成 . o y x1 24 xy xy 3 2D 1D 1x 解 : 令 )1ln (),( 2yyxyxf 21 DDD (

18、如图所示 ) 显然 , ,1上在 D ),(),( yxfyxf ,2 上在 D ),(),( yxfyxf yxyyxI D dd)1ln ( 1 2 0 yxyyxD dd)1ln ( 2 2 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4 求 D d x d yyx )( 2 ，其中 D 是由抛物线 2xy 和 2yx 所围平面闭区域 . 解： 两曲线的交点 ),1,1(,)0,0(2 2 yx xy D d x d yyx )( 2 10 22 )(xx dyyxdx dxxxxxx )(21)( 4210 2 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例 5 求 D y dxdy

19、ex 22 ，其中 D 是以 ),1,1(),0,0( )1,0( 为顶点的三角形 . dye y 2 无法用初等函数表示解： 积分时必须考虑次序 D y dxdyex 22 y y dxexdy 0 21 0 2 dyye y 1 0 3 3 2 21 0 2 6 2 dyye y ).21( 6 1 e 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择 积分次序 ） 二、小结 .),(),( )( )( 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf .),(),( )( )( 2 1 D d c y y dxyxfdydyxf Y型 X型 2 1 D D: 之间的环域 和 4 1

20、 2222 yxyx 4321 DDDD I . 怎么计算？ D yxy,xfI d)d( 需使用 极坐标系！ 此题用直角系算麻烦 必须把 D分块儿 ! 0 y x D4 D3 D1 D2 22xy D e dx dy 22:1D x y 所以，用若直角坐标来计算，无法求出 例如，计算二重积分 dye y 2 无法用初等函数表示 需使用 极坐标系！ 积分的变量代换是计算积分的一个有效方法 ,对二 重积分也有类似的方法 .在这类方法中极坐标变换 c o s , s inx r y r 最为常用 .下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二 重积分 . 在二重积分的计算中 ,如果积分域是圆域或部分圆 域

21、,被积函数为 形式 ,利用极坐 标变换来计算二重积分会十分方便 . 22( ) , ( ) , ( )yxf x y f f xy 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y o kkk rr kkkkkk rr s i n,c o s 对应有 在极坐标系下 , 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外 ,小区 k ),2,1( nkk 在 k ),( kkr k kk krr k kkr 221 内取点 kkk rr 221 )( 及射线 =常数 , 分划区域 D 为 kr krk kkr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 域的面积 kkkk rrr )(

22、 21 kkkkkkk n k rrrrf )s i n,c o s(lim 10 D yxf d),( dd rr即 D rrf )s i n,c o s( d r rd dr d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面考虑如何把极坐标系下 的二重积分化为二次积分 . 分三种情况来讨论 : D o )(1 r )(2 r )(1 ro )(2 r )( )( 2 1 d)s i n,c o s( rrrrf 设 ,)()(: 21 rD 则 D rrrrf dd)s i n,c o s( d 1) 极点在 D之外 2) 极点在 D的边界上 0 ( ):,rD D rrrrf dd)s i

23、n,c o s( () 0 ( c o s , s i n ) df r r r r d ()0 ( c o s , s in ) df r r r r 3) 设极点 D之 内 20 )(0: rD D rrrrf dd)s i n,c o s( )(0 d)s i n,c o s( rrrrf 20 d )(r o D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f 1 则可求得 D 的面积 d)(21 20 2 D d 思考 : 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点 ,试 答 : ;0)1( )(r D o y x )(r D o y x 问 的变化范围是什么 ? (1) (2)

24、 22)2( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 1 D 0 y x D: 变换到 极坐标系 rrrrf20 21 d)s i n,c o s(d . 之间的环域 和 yxyx D yxy,xfI d)d( 例 1 计算 D yxyxfI dd),( D: 1 r 2 0 2 例 2.11.计算 其中 .: 222 ayxD 解 : 在极坐标系下 ,20 0: arD 原式 D rera r d0 2 )1( 2ae 2xe 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 dd rr 2 0 d 由于 故 坐标计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7 、 求广义积分 2 0 xe

25、d x . 解 : |),( 2221 RyxyxD 2|),( 2222 RyxyxD 0,0 yx 0,0|),( RyRxyxS 显然有 21 DSD ,022 yxe 1 22 D yx dx dye S yx d x d ye 22 . 2 22 D yx dxd ye 1D 2DS S 2D R R2 又 S yx d x d yeI 22 R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2 R x dxe 1I 1 22 D yx d x d ye R r r d red 00 22 );1(4 2Re 同理 2I 2 22 D yx dx dye);1( 4 22 Re

26、当 R 时 ,41 I ,42 I 故当 R 时 ,4I 即 2 0 )( 2 dxe x 4 , 所求广义积分 0 2 dxe x 2 . ,21 III );1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee 注 : 利用例 2.11可得到一个在概率论与数理统计及 工程上非常有用的反常积分公式 2d0 2 xe x 事实上 , 当 D 为 R2 时 , 利用例 2.11的结果 , 得 故式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 9 写出积分 D d x d yyxf ),( 的极坐标二次积分 形式，其中积分区域 ,11|),( 2xyxyxD 10 x . 1yx 122

27、 yx 解 在极坐标系下 s in c o s ry rx 所以圆方程为 1r , 直线方程为 c o ss in 1r , D d x d yyxf ),( .)s i n,c o s(20 1 c o ss i n 1 r d rrrfd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 y x 变为极坐标形式 把 d)d,( D yxyxfI . 所围第一象限区域与 0 )( : 222 yayaxD 2a cos2 ar 20 c o s20 d)s i n,c os(d a rrrrf )( 222 ayax ,c os2 ar 即解： D yxyxfI dd),( 代入 令 s inc o

28、s ry rx 例 2 D yxxyI dda r c t a n计算 所围第一象限部分 y,xy,yx,yx:D 0 y x 1 2 y =x D 40 21 dar c t an t and rr 40 21 dd rr 2 64 3 I 例 4. 解 ： 22 . ( 1 c o s ) D x y d D r a r a 例 2 、 计 算 其 中 是 由 心 脏 线 和 圆 所 围 的 面 积 （ 取 圆 外 部 ） )c o s1( 2 2 22 a a D r d rrd dyx 2 2 33 1)c o s1( 3 1 da ).2922(3 a 例 1 2 计算 dxdyyx

29、 D )( 22 ，其 D 为由圆 yyx 222 ， yyx 422 及直线 yx 3 0 ， 03 xy 所围成的平面闭区域 . yyx 422 x o y yyx 222 03 yx解 32 61 si n4 r s i n2 r dxdyyx D )( 22 3 6 s in4 s in2 2 r d rrd ).32(15 03 xy 422 yx 1)1( 22 yx . 11 4: 2222 平面域所围 ）（和 yxyxD .c o s2 r 即 2 2 2 0 2 dd rr ,2 r即 例 10. I = 不分块儿行吗？ 解： 不行！ 2 3 2 2 2 c o s 2 d

30、d rr 2 r = 2 cos y x o 1 D .yxyxI D dd22 计算 2 3 2 3 d)c o s 3 8 3 8( 3 8 2 3 2 3 )s i n 3 1( s i n 3 8 3 8 3 8 .932316 例 11. 将积分化为极坐标形式 r =R R R R R R xR y x yfx 21 )d(d )d(d21 R R Rx yxyfx D1 D2 . R 0 y x D d)( t a nda r c t a n R R rrf )d( t a n2 a r c t a n0 2 R fR . . . 22 xRy d)d( t a na r c t

31、a n R R rrf arctanR I = I = 例 12 、 计算二重积分 D d x d y yx yx 22 22 )s i n ( , 其中积分区域为 41|),( 22 yxyxD . 解 : 由对称性，可只考虑第一象限部分 ， 注意： 被积函数也要有对称性 . D d x d y yx yx 22 22 )s i n ( 4 1 22 22 )s i n ( D dxdy yx yx 210 s i n4 2 r d rr rd .4 14 DD 1D ba xxf d)( )( tx tttf d)()( 定积分换元法 *三、二重积分换元法 ),( ),(: vuyy vu

32、xxT DDvu ),( 满足 上在 Dvuyvux ),(,),()1( 一阶导数连续 ; 雅可比行列式 上在 D )2( ;0),( ),(),( vu yxvuJ (3) 变换 DDT :则 D yxyxf dd),( D vuyvuxf ),(),( 定理 : ,),( 上连续在闭域设 Dyxf 变换 : 是一一对应的 , vuvuJ dd),( o v u D o y x D T 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2.13 试用一般变量代换写出直角坐标变为极 坐标的二重积分的公式 s in c o s ry rx 解：因为代换式为 则雅可比行列式为 y r y x r x r

33、yx J ),( ),( r r r c o ss in s inc o s 除个别点 r = 0 之外，其他点均有 J0。所以有 r d r drrfyxyxf DD s i n,c o sdd),( 例 试计算椭球体 解 : yxc D byax dd12 2222 由对称性 ,1: 2 2 2 2 b y a xD取 令 ,s in,c o s rbyrax 则 D 的原象为 20,1: rD ),( ),( r yxJ c o ss i n s i nc o s rbb raa DcV 2 rrrcba d1d2 10 220 cba34 rba 21 r dd rrba 的体积 V.

34、 内容小结 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 )( )(2 1 d),(dd),( xy xybaD yyxfxyxf 若积分区域为 则 x y )(1 yxx D d c )(2 yxx )( )(21 d),(dd),( yx yxdcD xyxfyyxf )(1 xyy )(2 xyy x y ba D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 DD rrfyxf )s i n,c o s(d),( 则 (2) 一般换元公式 ),( ),( vuyy vuxx Dyx ),( 0),( ),( vu yxJ且 则 DD vuvuyvuxfyxf dd )

35、,(),(d),( J 极坐标系情形 : 若积分区域为 dd rr D o )(1 r )(2 r 在变换 下 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积分好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线 , 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （后积先定限，域内穿射线） 思考与练习 1. 设 且 求 .d)()(d 11 0 yyfxfxI x 提示 : 交换积分顺序后 , x , y互换 o y x

36、 1 xy 1 y x I xyfxfy d)()(010d y 10 d x I2 yyfxfx x d)()(d 110 10dx 10 d x yyfxf d)()(10 1010 d)(d)( yyfxxf 2A 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 交换积分顺序 a ra r c c os c o sar o xa 提示 : 积分域如图 r r a r0 d a rarc co s ara rc c o s I d),( rf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 axy 2解： 原式 a y0 d aa y2 d 22 xaxy 22 yaax 3. 给定 改变积分的次序 . a y0 d a yx 2 2 a2 a2 a o x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束