二次函数与面积问题-面积.ppt

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1、填空： 1抛物线 y (x 1)2 2中，当 x _时， y有 _值是 _ 2抛物线 y x2 x 1中，当 x _时， y有 _值是 _ 3抛物线 y ax2 bx c（ a0）中，当 x _时， y有 _值是 _ 课前基本练习 教学目标： 一、使学生经历探索实际问题中两个变量之 间的函数关系的过程 二、使学生理解用函数知识解决问题的思路。 三、使学生体验数学建模思想，培养学生解 决实际问题的能力。 四、使学生体会数学知识的现实价值，提高 学生的学习兴趣。 问题情境：用 20米长的篱笆围成矩形的 生物园饲养小兔 ,怎样围可使小兔的活动 范围较大 ? x (1) 用长 20米的篱笆设计一个矩形

2、的生物园。 需要我们知道矩形的哪些量？ A B C D x y (3)矩形的长与宽之间存在关系是什么？ (2)20米的篱笆是矩形的哪个量？ (4)由长与宽的关系知：当周长一定时，可以 由矩形的一边表示另一边 解：设矩形的一边 AB=x米， 另一边为 BC= 米。 面积为 y米 2。 20()2 x y=x(10-x) 即 y=-x2+10 x (0x10) A B C D x y (6)当问题中存在着有一定关系的两个变量时， 我们考虑可以利用函数来解决问题。 (5)所以矩形的面积可以看作是矩形的一边长 的函数 解：设矩形的一边 AB=x米，另一边 为 BC= 米。面积为 y米 2。 20 ()

3、 2 x y=x(10-x) 即 y=-x2+10 x (0x10) y 0 x 5 10 15 20 25 30 1 2 3 4 5 7 8 9 1o -1 6 (0x10) (7)怎样设计才能使小兔活动范围最大呢？ 实质是求矩形生物园的面积最大值？ 在自变量的取值范围内，可以通过观察图象或运用 公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小 值。 2 bx a 24 4 a c by a = 210 25 4 ( 1 ) = 10 5 2 ( 1 ) 第 一 类 ： 靠 墙 问 题 例 1:（原题：教材 131页 7题）用一段长 30m的 篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18m，建立

4、矩形面积与矩形一边长的函数关系 式，并求出自变量取值范围。当这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是 多少？ 18 m 墙 菜园 （ 1）设 AB=xm,BC= , 矩形面积为 s.则 s与 x的函数关系 为 ； （ 2）设 BC=xm,AB= m, 矩形面积为 s.则 s与 x的函数关系 为 ； A B C D (30-2x) m 2 30-x S=x(30-2x) S= 2 x(30-x) 第 一 类 ： 靠 墙 问 题 变式一：用一段 30米的篱笆围成一个 两边 靠墙 的矩形菜园设 AB=xm,BC= m,矩形面积为 s.则 s与 x的函数关系 为 ； A C B D (

5、30-x) S=x(30-x) 第 一 类 ： 靠 墙 问 题 变式二：某中学要在教学楼后面的空地上用 40米长 的篱笆围出一个矩形 ABCD，将此矩形地作生物园， 矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余 三边用篱笆。设矩形的边 AB（ ABBC）为 x米，面积 为 y平方米。求 y与 x之间的函数关系式，并求出自 变量的取值范围。 解：设 AB=x米，则 BC=（ 40-2x）米。 矩形的面积为 y平方 米。则 y=x(40-2x) y = -2x2+40 x AB0,BC0 x0, 40-2x0, x40-2x 0x 40 3 第 二 类 ： 隔 断 问 题 用一段 30米的篱笆围成

6、一个一边靠墙 的矩形菜园，但需在矩形内加一道平行于 AB的篱笆，如图：设 AB=xm,BC= m,矩形面积为 s.则 s与 x的函数关系 为 ； F E 墙 A B C D (30-3x) S=x(30-3x) 第 二 类 ： 隔 断 问 题 变式一：用一段 30米的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，但须在矩形内加两道平行于 BC的篱笆，如图：设 AB=x米 ,BC= 米 , 矩形面积为 s.则 s与 x的函数关系 为 ； HG FE D C B A 墙 (3 0 2 ) 3 xx S 3 0 2 3 x BC 第 二 类 ： 隔 断 问 题 变式二 ：实际生活中，窗户开得越大，房间 的光线越

7、充足，现有根木料为 6米，要做一个 如图所示的矩形的窗户，已知上框架的高 AB 与下框架的高 BC之比为 1： 2，设 AB=x米，矩 形的面积为 S平方米。求出 S与 x的函数关系式。 A B C F E D S= 3x(6-7x) 3 x x x 2x 2x AF=BE=CD= 6-7x 3 用一段 30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，但须在 BC之间加一道 1米宽的门，如图： 设 AB=x米 ,BC= 米 ,矩形面积为 S. 则 S与 x的函数关系为 ； D C B A 墙 第 三 类 ： 开 门 问 题 (30+1-2x) S=x(31-2x) 变式一：用一段 30米的篱笆围成一

8、个一边靠 墙的矩形菜园，但须在 BC之间加一道 1米宽的 门，在 CD之间加一道 1米宽的门 . 如图：设 AB=x米 ,BC= 米 ,矩形面积为 S.则 S 与 x的函数关系为 ； 墙 A B C D 第 三 类 ： 开 门 问 题 (30+2-2x) S=x(32-2x) 拓展：用一段长 30m的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，墙长为 14m，这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积 是多少？ 14 m 墙 菜园解：设与墙平行的边长为 xm,则另一边为 m,矩形的面积为 ym2.则 302 x ( 30 ) 2 xxy 21 15 2 y x x (0x14) a= 0,y

9、 有最大值。 当 1 2 15 15 12 2 ( ) 2 b x a 时， y取最大值 拓展：用一段长 30m的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，墙长为 14m，这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积 是多少？ 14 m 墙 菜园 0 x y 15 14 112 当 0x14时，图象在对称轴左侧， y随 x的增大而增 大，所以当 x取最大值 14时， y最大是 112。 根据问题的实际意义 x=15不在自变量取值范围内， 体育课上，老师用绳子围成一个周长为 30米的游 戏场地，围成的场地是如图所示的矩形 ABCD设 边 AB的长为 x（单位：米），矩形 ABCD的面积为 S（

10、单位：平方米） （ 1）求 S与 x之间的函数关系式（不要求写出自变 量 x的取值范围）； （ 2）当 x为何值时， S有最大值？并求出最大值 （ 3）若矩形 ABCD的面积为 50平方米，且 AB AD，请求出此时 AB的长。 用 6 m长的铝合金型材做一个形状如图 26.2.5 所示的矩形窗框应做成长、宽各为多少时， 才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透 光面积是多少？ 图 26.2.5 如图，在一面靠墙的空地上用长为 24米的篱笆，围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB为 x米，面积为 S平方米。 (1)求 S与 x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当 x取何值时所

11、围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为 8米，则求围成花圃的最大面积。 A B C D 解： (1) AB为 x米、篱笆长为 24米 花圃宽为（ 24 4x）米 (3) 墙的可用长度为 8米 (2)当 x 时， S最大值 36（平方米） 3 2 a b a bac 4 4 2 S x（ 24 4x） 4x2 24 x （ 0x6） 024 4x 8 4x6 当 x 4cm时， S最大值 32 平方米 第 二 类 ： 开 门 问 题 例 : 如图， 一张正方形纸板的边长为 2cm,将它剪去 4 个全等的直角三角形 (图中阴影部分 ) 设 AE=BF=CG=DH=x(cm)

12、，四边形 EFGH的面积为 y(cm2)， 求 : A B E F C G D H 例题讲解 思路一 ：直接计算正方形 EFGH的面积即是 2EF 思路二 ：间接计算，即是 S四边形 EFGH=S四边形 ABCD-4SDGH 442)2( 222 xxxxy (0x2) (l)求 y关于 x的函数解析式和 自变量 x的取值范围 X X X X 2X 2X 2X 2X 1.理解问题 ; “ 二次函数应用” 的思 路 本节 “ 最大面积 ” 解决问题的过程，你能总结一 下解决此类问题的 基本思路 吗？与同伴交流 . 2.分析问题中的变量和常量 ,以及它们之间的关系 ; 3.用数学的方式表示出它们之

13、间的关系 ; 4.做数学求解 ; 5.检验结果的合理性 ,拓展等 . （ 1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （ 2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。也可以利用图象判断。 在实际问题中 ,自变量往往是有一定 取值范围的 .因此 ,根据二次函数的 顶点坐标 , 取得的最大值 (或最小 值 ),要根据实际问题要求检验自变 量的这一取值是否在取值范围内 ,才 能得到最后的结论 . 北师大版 二次函数在几何图形中的应用， 实际上是数形结合的思想的运用， 融代数与几何为一体，把代数问 题与几何问题进行互相转化，本 节课充分运用所学知识求出解析 式，从而求出矩形的最大面积。 谢谢同学们的积极参与 考点整合 北师大版