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1、1.6 置换群 (1.6 Permutation Group) 群 G的 全体置换 作成的群叫 n次对称群 Sn ，置换群是 n 次对称群 Sn 的子群 . 由 Cayley定理， 任一个有限群必与 一个置换群同构因此，需要对置换群作进一步的详细 讨论。 本节， 我们将把置换群分解为 循环的乘积，并得 到置换群的一些初步性质。 1.6.1 置换的循环分解 (Cyclic Resolving of Permutation) 在前面我们知道，一个 置换 , 可以表示成 如下 的形式 , 其中 i1i2 in 是 1， 2， ， n的一个排列。 1 , 2 1 , 2 . . n n i i i D
2、ef：设 是一个 n次置换，满足 (1) (i1)=i2, (i2)=i3, (ir)=i1; (2) 保留 1， 2， ， n 中的其余元素不变 。 则称 为长度为 r的 循环 ，或称 r阶循环 。记为 = (i1i2 ir ) 例如 是一个长度为 4的循环，或称 4阶循环。 两个循环 = (i1i2 ir ), = (j1j2 js ) 称为 不相交 的， 如果对任何的 k, l，都有 ik jl 两个置换的乘积一般是不可交换的，但是可以证明， 两个不相交的循环的乘积是可交换的。 1 2 3 4 5 6 (1 3 4 5 ) 3 2 4 5 1 6 Th 1 任一个 n次置换 都可以分解为
3、 两两不相交的 循环 的乘积，而且这种分解式除因子的次序不同外是 唯一的。 证明 :先证明分解式的 存在性 ：从 1,2, , n中 任选一个数作为 i1 ，依次求出 (i1)=i2, (i2)=i3, 直至这个序列中第一次出现重复，这个第一次出现 重复的数必然是 i1 ，即存在 ir ，使 (ir)= i1 ，于是得 到循环 1 = (i1i2 ir ) 。 然后再取 j1 (i1i2 ir )，重复以上步骤可得 2 = (j1j2 js )，并且由映射的定义知 1与 2无公 共元素。 如此下去，直至每一个元素都在某一个循环中， 因而得到的分解式 = 1 2 k 再证明分解式的 唯一性 ：
4、若 有两个不同的分解式，则一定出现两个数码 ij，在一个分解式中 j 紧接着 i 出现，而在另一个分 解式中紧接着 i 的不是 j 。这表明，从第一个分解式 得 (i)= j ，而从第二个分解式得 (i) j ，矛盾。 例 ： 1 2 3 4 5 6 7 8 ( 1 5 ) ( 2 3 6 ) ( 4 7 ) ( 8 ) 5 3 6 7 1 2 4 8 1 2 3 4 5 6 7 ( 1 3 6 5 ) ( 2 4 7 ) 3 4 6 7 1 5 2 1.6.2 置换的对换分解 (Transposition Resolving of Permutation) Def： 长度为 2的循环 称为
5、对换 ， =(a b)。 Th 2 任一个 n次置换 都可以分解为 对换 的乘积， = 1 1 s 而且的个数 s 的奇偶性由 唯一确定，与分解方法 无关。 证明： 由于每一个循环 = (i1i2 ir )都可以写成 对换的乘积 (i1i2 ir )= (i1i2) (i1i3)( i1 ir ) 它是 r-1个对换的乘积。因此，任一个 n次置换 都 可以分解为对换的乘积。 再证明分解式中对换个数的奇偶性的 唯一性 ： 证明的基本思想是用一对对换 =(a b)右乘 ，令 N( )表示分解式中所含对换的个数，则 N( (a b)与 N( ) 有相反奇偶性，并注意到 N()=0 （这里 是恒等变
6、换）即可。 为了 证明 N( (a b)与 N( )有相反奇偶性，我们注 意有下述等式： (ac1c2 ch) (bd1d2 dk) (a b) = (ac1 ch bd1 dk) (ac1 ch bd1 dk)(a b)= (ac1c2 ch) (bd1d2 dk) 事实上，由于 (a b) -1= (a b),从而第一个等式可由第 二个等式右乘 (a b)得到。对于第二个等式，可以从它们 作用到 1， 2， ， n 的每一个数码上的像来验证。 由于 上述两 个等式，若 (a b)右乘 ，且 a， b在 的 同一个循环中出现，则 N( (a b)=N( )-1 ； 若 a， b在 的不同循环
7、中出现，则 N( (a b)=N( )+1。 总之， N( (a b)=N( ) 1。 今设有一个表示成 m 个对换的乘积的表示式 = (a b) (cd) ( pq) 由于 (a b) -1= (a b),从而 (pq) (cd) (a b) = e。但 是， N(e)=0 ，故 N( ) 1 1 1 0,因此 m 与 N( )有相同的奇偶性。 证毕 例 ： 1 2 3 4 5 6 7 ( 1 3 6 5 ) ( 2 4 7 ) ( 1 3 ) ( 1 6 ) ( 1 5 ) ( 2 4 ) ( 2 7 ) 3 4 6 7 1 5 2 置换 如果可以分解为偶数个 (奇数个 )对换的乘积 , 则它表示为对换乘积的任一个表达式中所含对换的个 数都是偶数 (奇数 ),此时 ,称置换 为 偶置换 (奇置换 ). 置换 的乘积的性质 : 1. 两个 偶置换的乘积 是偶置换 ; 2. 两个 奇置换的乘积 是偶置换 ; 3. 一个 偶置换与一个奇置换的乘积 是奇置换 . 例 令 An= Sn, 是偶置换 则恒等置换 e An ，又 , An An (封闭性 )。 注意到 -1 =e，从而 和 -1有相同的奇偶性。 因此， An -1 An (有逆元 )。 可见 n次对称群 Sn 中的 全体 偶置换 An构成 Sn的一个子 群，称为 n次交代群 (n次交错群 )。 End
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