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1、一次函数与二元一次方程（组）重庆市教育科学研究院张晓斌人教版义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第十四章第三节一、教材分析1.教材的地位和作用函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函数的观点看方程（组）与不等式，使学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美。本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验函数方程、数形结合、化归转化、运动变换、精算估算的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。2.教学重
2、难点重点：一次函数与二元一次方程（组）亲密关系的探索。难点：（1）从“形”的角度去认识一次函数与二元一次方程（组）的关系比从“数”的角度去认识它们的关系更难。（2）综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。3.教学目标知识技能：理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。数学思考：经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。问题解决：能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题。情感态度：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，
3、学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。二、教法说明对于认知主体学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用探究式教学法。以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。三、教学过程（一）感知身边数学多媒体播放一段发生在电信公司里的情景：一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客说他每月上网的费用按这两种收费方式计算都是一样多。求这位顾客打
4、算每月上网多长时间？花了多少费用？学生已经学习过列方程（组）解应用题，因此可能列出一元一次方程或二元一次方程组，用方程模型解决问题。结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究，我们自然地提出问题：“一次函数与二元一次方程组之间是否也有联系呢？”，从而揭示课题。设计意图建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣。因此，用“上网收费”这一生活实际创设情境，并用问题启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到探索活动中来。（二）享受探究乐趣1.探究一次函数与二元一
5、次方程的关系填空：二元一次方程可以转化为_。思考：（1）直线上任意一点一定是方程的解吗？（2）是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式？（3）是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解？（4）一条直线上有无穷多个点的坐标，则它所对应的二元一次方程有多少个解？反过来，一个二元一次方程有无穷多个解，则以这些解为坐标的点一定在什么图象上？设计意图用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，即用函数的观点让学生发现：通过“一次函数”把“二元一次方程”和“一条直线”的对应关系联系起来了，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。2.探究一次
6、函数与二元一次方程组的关系（1）在同一坐标系中画出一次函数和的图象，观察两直线的交点坐标是否是方程组的解？（同时可从方程组的解的意义去看“形”的特征。教师在这里应向学生指出：图象法解方程组，是估算的过程，特别强调要认真画图才能得出准确答案，并指出图象法解方程组的优缺点。最后提示可用代数法解方程组（精算）验证答案。）并探索：是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，师生共同归纳出：从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。（2）当自变量取何值时，函数与的值相等？这个函数值是什么？这一问题
7、与解方程组是同一问题吗？进一步归纳出：从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值。设计意图 学生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识和化解难点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程。此时教师及时对学生进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，关注学生的情感体验。（三）乘坐智慧快车例题：我市一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费。如何选择收费方式
8、能使上网者更合算？解法1：设上网时间为分，若按方式A则收元；若按方式B则收元。然后在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象，通过估算到精算，得出交点坐标，结合图象，利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，得到当一个月内上网时间少于400分时，选择方式A省钱；当上网时间等于400分时，选择方式A、B没有区别；当上网时间多于400分时，选择方式B省钱。解法2：设上网时间为分，方式B与方式A两种计费的差额为元，得到一次函数：，即，然后画出函数的图象，计算出直线与轴的交点坐标，类似地用点位置的高低直观地找到答案。解法3：代数法（略）。设计意图为培养学生的发散思维和规范解题的习惯，引导学生将上网问题
9、延伸为例题，并用问题：“你家选择的上网收费方式好吗？”再次激起学生强烈的求知欲望和主人翁的学习姿态。通过此问题的探究，使学生有效地理解本节课的难点，体会数形结合这一思想方法的应用。 （四）体验成功喜悦1.抢答题 （1）以方程的解为坐标的所有点都在一次函数_的图象上。（2）方程组的解是_，由此可知，一次函数与的图象必有一个交点,且交点坐标是_。2.旅游问题古城贵阳风景秀丽，气候宜人，是避暑度假胜地。近年，来贵阳的游客更是络绎不绝。据悉，贵阳某景点的门票标价20元/张，近期正在进行优惠活动，购买时有两种方式：方式A是团队中每位游客按8折购买；方式B是团队中除5张按标价购买外，其余按7折购买。如果你
10、是团队的负责人，你会如何选择购买方式使整个团队更合算？设计意图抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动，并在抢答中品味成功的快乐，提高思维的速度。在学生感兴趣的旅游问题中，进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。（五）分享你我收获在课堂临近尾声时，向学生提出：通过今天的学习，你有什么收获？你印象最深的是什么？ 设计意图培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。（六）开拓崭新天地1.数学日记姓 名日 期今天数学课的课题所学的重要数学知识重要的数学方法理解得
11、最好的地方疑惑（或还需进一步理解的地方）对课堂表现的评价（包括对自己、同学、老师）所学内容在日常生活中的应用举例2.布置作业必做题：（1）当自变量取何值时，函数与的值相等？这个函数值是什么？（2）北京2008奥运的理念是“科技奥运、人文奥运、绿色奥运”。为了响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。已知甲班每小时植树20棵，乙班每小时植树24棵。由于某些原因，甲班植完8棵后，乙班才开始。你认为哪个班植树棵数多？选做题：（3）结合一次函数，就“如何选择最佳方案”这一话题写一份调查报告。设计意图新课程强调发展学生数学交流的能力，用数学日记给学生提供一种表达数学思想方法和情感的方式，以体现评价体系的
12、多元化，并使学生尝试用数学的眼睛观察事物，体验数学的价值。作业由必做题和选做题组成，体现分层教学，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。四、教学设计反思1.贯穿一个原则以学生为主体的原则2.突出思想方法函数方程思想、数形结合思想、化归转换思想、运动变换思想、估算精算思想3.体现一个价值数学建模的价值4.渗透一个意识应用数学的意识一次函数与二元一次方程（组）教案设计说明本节课是人教版八年级上册第十四章第三节第三课时。此前，学生已经探究过一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系。通过本节课的学习，学生不仅能从函数的角度动态地分析方程（组）、不等式，提高认识问题的水平，而且能感受数学的统一美。考
13、虑学生已有的认知结构，我们用“上网收费”这一生活实际创设情境，引出方程模型，使学生主动投入到一次函数与二元一次方程（组）关系的探索活动中；紧接着，用一连串的问题引导学生自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识它们的关系，使学生真正掌握本节课的重点知识。在探究过程中，教师应把握好自己组织者、引导者和合作者的身份，及时对学生进行鼓励，关注学生的情感体验。为培养学生的发散思维和规范解题的习惯，我们引导学生将“上网收费”问题延伸为例题，前后呼应，使学生有效地理解本节课的难点。此例题涉及函数、方程（组）和不等式等知识，是本大节内容的集中体现，它能使学生提高综合应用知识的能力，感受图象法的优越性。为进一步培养学生应用数学的意识，作业中我们设计了数学日记、必做题和选做题，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。本教案的设计力求通过“感知身边数学、享受探究乐趣、乘坐智慧快车、体验成功喜悦、分享你我收获、开拓崭新天地”等六个环节，贯彻数学课程标准的精神，贯彻“以学生发展为本”的科学教育观。
教育专题：一次函数与二元一次方程（组）说课设计
