人大版微积分第三章导数的基本公式

《人大版微积分第三章导数的基本公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人大版微积分第三章导数的基本公式（56页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院rxdtdxEmail:微微 积积 分分微积分链接目录第一章第一章 函数函数第三章第三章 导数与微分导数与微分第五章第五章 不定积分不定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第九章第九章 微分方程微分方程第二章第二章 极限与连续极限与连续第四章第四章 中值定理中值定理,导数的应用导数的应用第六章第六章 定积分定积分第八章第八章 多元函数多元函数复习微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版社高等教育出版社微积分第三章第三章 导数与微分导数与微分 引例

2、引例 导数概念导数概念 导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则 高阶导数高阶导数 微分微分微积分3-3 3-3 导数的基本公式导数的基本公式微积分初等函数微分法初等函数微分法 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比

3、较方便地求出常见的函些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数数初等函数的导数，从而是初等函数的求初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。导问题系统化，简单化。微积分微积分微积分（2 2）算比值：）算比值：22sin)2cos(2sin)2cos(2xxxxxxxxxy（3）取极限：）取极限：22sin)2cos(limlimdd00 xxxxxyxyxx(sin)cosxx(cos)sinxx 用类似的方法，可求得余弦函数用类似的方法，可求得余弦函数y=cosx的导数为：的导数为：微积分)0,0,0(logxaaxyaxxxxxxyaaaloglog)(logxxa1logxx

4、aaxxxxxxxy1log11log微积分xxaxxxxxxyxy1log1limlimdd00axxaln1elog1axxaln1)(logxx1)(ln特别地微积分nxy（n为正整数）的导数为正整数）的导数.nnxxxy)(nnnxxxnnxnx)()(!2)1(221121)(!2)1(nnnxxxnnnxxy12100d(1)limlim()d2!nnnxxyyn nnxxxxxx 1nnx（n为正整数）为正整数）1nnnxx微积分.)()(的导数在为常数xCCxfy得得到到以以增增量量给给,)1(xx 0)()(CCxfxxfy 求求增增量量比比)2(00 xxy 取取极极限限得

5、得令令,0)3(x 0lim0 xyx 解解0)(C公公式式微积分2sin)2sin(2cos)cos(xxxxxxy xxxxyxxxxsinsin)2sin(limlim2200 .cos)(的导数在xxxf解解22sin)2sin(xxxxxy xxsin)(cos 公公式式xxcos)sin(公公式式微积分)1ln(ln)ln(xxxxxy xx1)(ln 公公式式.ln)(的导数在xxxf解解xxxxxxxxxy )1ln()1ln(1xxyx1lim0 axxaln1)(log 公公式式微积分)1(xxxxxaaaay xxee )(公公式式.)(的导数在xaxfx解解xaaxyx

6、x 1 aaxaaxyxxxxxln1limlim00 aaaxxln)(公公式式微积分一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2();()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu微积分)()(xvxuy 设设)()()()(xxvxuxxvxxu vxuxxvu )()()()()()(

7、xvxuxxvxu )()()()(xvxuxxvxxuy 证证(1)(1)略略.证（证（2 2）微积分xvxuxxvxuxy )()()()()()()()(limlim00 xvxuxvxuxvxuxxvxuxyyxx 微积分证证(3)(3),0)(,)()()(xvxvxuxf设设xxfxxfxfx )()(lim)(0 xxvxuxxvxxux )()()()(lim0 xxvxxvxxvxuxvxxux )()()()()()(lim0 微积分xxvxxvxvxxvxuxvxuxxux )()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvxxvxx

8、vxxvxuxvxxuxxux 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf微积分注注（1）即是和、差的导数等于导数的和、差）即是和、差的导数等于导数的和、差（2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数第二个因子的导数（3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方的平方 （1）可推广到任意有限个可导函数的情形）可推广到任意有限个可导函数的情形

9、;)()(11 niiniixfxf （2）也可推广到任意有限个函数的情形）也可推广到任意有限个函数的情形微积分wuvwvuvwuuvw )(;)()()()()()()()()(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf 作为（作为（2）的特殊情况）的特殊情况uccucv )(，则，则若若);()(xfCxCf 或或即常数因子可以提到导数符号的外面即常数因子可以提到导数符号的外面)()(11xfkxfkniiiinii 微积分即线性组合的导数等于导数的线性组合即线性组合的导数等于导数的线性组合说明求导是一线性运算说明求导是一线性运算作为（作为（3）的一种特

10、殊情况，）的一种特殊情况，2)1(,1vvvu 则则若若二、例题分析二、例题分析例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4.cos x 微积分例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxy微积分xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得同

11、理可得.csc)(cot2xx 例例4 4yxy 求求sec解解 xycos1xx2cos)(cos xxxxxtanseccos1cossin 同理可得同理可得xxxcotcsc)(csc 微积分例例5 5).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解,0时时当当 x,1)(xf,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 微积分,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 ,1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 ,1.1)0(f.0,110,1)(xxxxf微积分三、反函数的导数三、反函数

12、的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.)(1)(.)(1)(,)(,)(,0)(,)(1111 yfxforxfyfyfyfxxfxxfy且且存在存在则则在相应点连续在相应点连续反函数反函数且其且其且且可导可导在在如果函数如果函数微积分证明证明.0.0lim,)()(),(,:0,:)(001111 xxyfxyyfxxyfxxxxxyyyyyyfxyy 可以证明可以证明的连续性的连续性由由其中其中对于对于微积分.)(1)(1limlim0.,0.)(,)(0)()(.0.010011xfyfieyxxyxfyyyyxxfyyyyfyfxxx

13、yxy 矛盾矛盾是函数矛盾是函数矛盾这与这与与之对应与之对应有两个不同的值有两个不同的值在在则对于则对于若若设设反证反证可以证明可以证明微积分或者：或者：定理定理.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.微积分例例6 6.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx,0cos)(sin yy且且内有内有在在)1,1(

14、xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得.11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc微积分例例7 7.log的的导导数数求求函函数数xya 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax,0ln)(aaayy且且,),0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1.ln1ax 特别地特别地.1)(lnxx 微积分四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数前面我们已经会求简单函数基本初等函数经基本初等函数经有限次四则运算的结果有限次四则运算的结果的导

15、数，但是像的导数，但是像12sin,tanln22 xxexx等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数它们的导数先看一个例子先看一个例子例例8 yxy ，求，求22)1(微积分22)1(xy 4221xx 344xxy )1(42xx 这里我们是先展开，再求导，若像这里我们是先展开，再求导，若像10002)1(xy 求导数，展开就不是办法，再像求导数，展开就不是办法，再像521xy 求导数，根本无法展开，又该怎么办？求导数，根本无法展开，又该怎么办？仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构我们

16、从复合函数的角度来分析一下上例的结果。我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。22)1(xy 复复合合而而成成的的和和是是由由221xuuy uyu2 xux2 )1(4)2(22xxxuuyxu xy 微积分再如再如xy2sin)cossin2(xxy)(cossincos)(sin2 xxxx)sin(cos222xx x2cos2 注意到注意到xy2sin xuuy2,sin uyucos 2 xuuuyxucos2 x2cos2 xy 由以上两例可见：由由以上两例可见：由)(),(xuufy 复合复合而成的函数而成的函数)(xfy 的导数的导数xy 恰好等于恰好等于y对中间变量对中间

17、变量u的导数的导数uy 与中间变量与中间变量u对自变量对自变量x的导数的导数xu 的乘积的乘积xuxuyy 这就是这就是链式法则链式法则微积分定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)dxdududydxdyIxfyIxuIxIufyIxu 上可导，且有上可导，且有

18、在在则复合函数则复合函数上可导上可导在在上可导，上可导，在在若若)(,)(,)()(11 微积分证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf?0,0吗吗能能保保证证时时当当 ux 上面的证法有没有问题？上面的证法有没有问题？微积分证证,)(0可导可导在点在点由由uufy )(lim000ufuyuu )0lim()(00 uufuy故故)0(u uuufy )(0则则时时当当0 u 0)()(0

19、0 ufuufy 当然也成立当然也成立uuufy )(0 xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf xuxuufxux 0000limlimlim)(微积分注注1.链式法则链式法则“由外向里，逐层求导由外向里，逐层求导”2.注意中间变量注意中间变量推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例9 9.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xc

20、ot 微积分例例1010.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例5 5.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy )0(a解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa 微积分例例1111.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1212.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)

21、1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 微积分例例13.sinh的导数的导数求求xy 解解)(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 例例14 求幂函数的导数求幂函数的导数)(xy xeln)ln(ln xex xx1 1 x微积分例例1515.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxf

22、xxfxxn 微积分注注1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱，要深刻理解学的理论基础和精神支柱，要深刻理解，熟，熟练应用练应用注意不要漏层注意不要漏层3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部对于分段函数求导问题：在定义域的各个部分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别在分界点处须用导数的定义仔细分析，即

23、分别求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导数是否存在。数是否存在。微积分例例16 0001)(1xxexxfx)(xf 求求解解时时0 x xexxf11)(2111)1(11xxxeexe 时时0 x0)0()(lim)0(0 xfxffxxxe1011lim 1 微积分0)0()(lim)0(0 xfxffxxxe1011lim 0)0()0(ff处不可导处不可导在在0)(xxf 00)1(11)(2111xxeexexfxxx不存在不存在微积分五、初等函数的求导问题五、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式

24、xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(微积分2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )(（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(是常数是常数)C 微积分3.复合函数的求

25、导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.4.双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数微积分xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh xxxcoshsinhtanh xxxx222coshsinhcosh)(tanh 即即xx2cosh1)(tanh )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxx

26、xx ar微积分)11(1122xxxx 211x 同理同理112 xar)cosh(x211x ar)tanh(x微积分五、小结五、小结注意注意:);()()()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、

27、商数与基本初等函数的和、差、积、商.关键关键:正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.微积分思考题思考题 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在0 x可导，且可导，且)(00 xgu ，则，则)(xgf在在0 x处处（）（1）必可导；）必可导；（2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；微积分思考题解答思考题解答正确的选择是正确的选择是（3）例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xxgusin)(在在 处可导，处可导，0 x|sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导，0 x)1(取取4)(xxgu 在在 处可导，处可导，0 x44|)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x)2(