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1、第三章 多元正态分布,3.1 多元正态分布的定义 3.2 多元正态分布的性质 3.3 复相关系数和偏相关系数 3.4 极大似然估计及估计量的性质 3.5 和(n 1) S的抽样分布 *3.6 二次型分布,3.1 多元正态分布的定义,一元正态分布N(,2)的概率密度函数为 若随机向量 的概率密度函数为 则称x服从p元正态分布，记作xNp (, )，其中，参数和分别为x的均值和协差阵。,例3.1.1（二元正态分布 ）,设xN2(, )，这里 易见，是x1和 x2的相关系数。当|1时，可得x的概率密度函数为,二元正态分布的密度曲面图,下图是当 时二元正态分布的钟形密度曲面图。,二元正态分布等高线,等
2、高（椭圆）线： 上述等高线上的密度值,二元正态分布的密度等高线族（使用SAS/INSIGHT，由10000个二维随机数生成）,3.2 多元正态分布的性质,*（1）略。 （2）设x是一个p维随机向量，则x服从多元正态分布，当且仅当它的任何线性函数 均服从一元正态分布。 性质（2）常可用来证明随机向量服从多元正态分布。 （3）设xN p (, )，y=Cx+b其中C为rp 常数矩阵，则 该性质表明，（多元）正态变量的任何线性变换仍为（多元）正态变量。,例3.2.2 设xNp (, )，a为p维常数向量，则由上述性质（2）或（3）知， （4）设xNp (, )，则x的任何子向量也服从（多元）正态分布
3、，其均值为的相应子向量，协方差矩阵为的相应子矩阵。 该性质说明了多元正态分布的任何边缘分布仍为（多元）正态分布。 需注意，随机向量的任何边缘分布皆为（多元）正态分布未必表明该随机向量就服从多元正态分布。例2.2.2就是这样的一个反例。,还需注意，正态变量的线性组合未必就是正态变量。 这是因为： x1,x2, ,xn均为一元正态变量 ()x1,x2, ,xn的联合分布为多元正态分布 x1,x2, ,xn的一切线性组合是一元正态变量 例3.2.4 设xN4(, )，这里,则 （i） ； （ii） ； （iii） 。,3.2 多元正态分布的性质,（5）设x1,x2, ,xn相互独立，且xiN p (
4、i, i) ，i=1,2,n，则对任意n个常数，有 此性质表明，独立的多元正态变量（维数相同）的任意线性组合仍为多元正态变量。 （6）设xN p (, )，对x, , (0)作如下的剖分：,则子向量x1和x2相互独立，当且仅当12=0。 该性质指出，对于多元正态变量而言，其子向量之间互不相关和相互独立是等价的。 （7）设xN p (, ), 0，则 例3.2.5 设xN3(,)，其中 则x2和x3不独立，x1和(x2,x3)独立。 *（8）略,*（9）略 *（10）略 （11）设xN p (, ), 0，作如下剖分 则给定x2时x1的条件分布为 ，其中 12和112分别是条件数学期望和条件协方
5、差矩阵，112通常称为偏协方差矩阵。,这一性质表明，对于多元正态变量，其子向量的条件分布仍是（多元）正态的。 例3.2.7 设xN3(, )，其中 试求给定x1+2x3时 的条件分布。,3.3 复相关系数和偏相关系数,一、复相关系数 二、偏相关系数,一、复相关系数,（简单）相关系数度量了一个随机变量x1与另一个随机变量x2之间线性关系的强弱。 复相关系数度量了一个随机变量x1与一组随机变量x2, ,xp之间线性关系的强弱。 将x, (0)剖分如下：,x1和x2的线性函数 间的最大相关系数称为 x1和x2间的复(或多重)相关系数(multiple correlation coefficient)
6、，记作12,p, 它度量了一个变量x1与一组变量x2, ,xp间的相关程度。 可推导出 例3.3.1 随机变量x1,xp的任一线性函数F=l1x1+ lp xp与x1,xp的复相关系数为1。 证明,二、偏相关系数,将x, (0)剖分如下： 称 为给定x2时x1的偏协方差矩阵。记 ，称 为偏协方差，它是剔除了 的（线性）影响之后，xi和xj之间的协方差。,给定x2时xi 和xj的偏相关系数（partial correlation coefficient）定义为 其中 。 ijk+1,p度量了剔除xk+1, ,xp的（线性）影响之后，xi和xj间相关关系的强弱。 对于多元正态变量x，由于112也是
7、条件协方差矩阵，故此时偏相关系数与条件相关系数是同一个值，从而ijk+1,p同时也度量了在xk+1, ,xp值给定的条件下xi和xj间相关关系的强弱。,3.4 极大似然估计及估计量的性质,本课程第二章和第三章前三节的内容属概率论的范畴。 从第三章3.4 开始的内容属数理统计的范畴，特点是推断和分析从样本出发。 一、样本x1,x2, ,xn的联合概率密度 二、 和的极大似然估计 三、相关系数的极大似然估计 四、估计量的性质,设xNp(, ) , 0，x1,x2, ,xn是从总体x中抽取的一个简单随机样本（今后简称为样本），即满足：x1,x2, ,xn独立，且与总体分布相同。 令 称之为（样本）数
8、据矩阵或观测值矩阵。,一、样本x1,x2, ,xn的联合概率密度,极大似然估计是通过似然函数来求得的，似然函数可以是样本联合概率密度 f (x1,x2,xn)的任意正常数倍，我们不妨取成相等，记为L(, )。可具体表达为：,二、和的极大似然估计,一元正态情形： 多元正态情形： 其中 称为样本均值向量（简称为样本均值）， 称为样本离差矩阵。,三、相关系数的极大似然估计,1.简单相关系数 2.复相关系数 3.偏相关系数,1.简单相关系数,相关系数ij的极大似然估计为 其中 。称S为样本协方差矩阵、rij为样本相关系数、 为样本相关矩阵。,2.复相关系数,将x, (0),S剖分如下： 则复相关系数1
9、2,p的极大似然估计为r12,p,称之为样本复相关系数。其中,3.偏相关系数,将x, (0),S剖分如下： 则偏相关系数ijk+1,p的极大似然估计为rijk+1,p ，称之为样本偏相关系数，其中,。,四、估计量的性质,1.无偏性 2.有效性 3.一致性 4.充分性,1.无偏性,设 是未知参数 （可以是一个向量或矩阵）的一个估计量，如果 ，则称估计量 是被估参数的一个无偏估计，否则就称为有偏的。 样本均值 是总体均值的无偏估计，即有 由于 ，故 不是的无偏估计。 若将该估计量稍加修正为 则S将是的一个无偏估计，即有E(S)=。,3.5 和(n 1)S的抽样分布,一、 的抽样分布 二、 (n 1)S的抽样分布,一、 的抽样分布,1.正态总体 设xNp (, ), 0 ，x1,x2, ,xn是从总体x中抽取的一个样本，则 2.非正态总体（中心极限定理） 设x1,x2, ,xn是来自总体x的一个样本，和存在，则当n很大且n相对于p也很大时，上式近似地成立。,
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