二单调性的判别法

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1、2022-10-261二二 单调性的判别法单调性的判别法第四节（第四节（I）函数的单调性函数的单调性三三 单调区间求法单调区间求法四四 单调性的应用单调性的应用五五 小结与思考判断题小结与思考判断题一一 问题的提出问题的提出2022-10-262一一 问题的提出问题的提出xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xfabBA若若 在区间（在区间（a,b)上单调上升上单调上升)(xfy 若若 在区间（在区间（a,b)上单调下降上单调下降)(xfy 0)(xf2022-10-263二 单调性的判别法定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减

2、减少少在在，那那末末函函数数内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 2022-10-264证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调增加上单调增加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 2

3、022-10-265例例1 1解解.20sin 上上的的单单调调性性，在在判判断断函函数数xxy .0cos1 xy,0 y.函函数数单单调调增增加加1234561234562022-10-266例例2 2解解.的单调性的单调性判断函数判断函数xeyx .1 xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函函数数单单调调增增加加注注1:1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(:D又又-3-2-11232345注注2 2：函数在

4、定义区间上不是单调的，但在各：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调2022-10-267三 单调区间求法1、单调区间、单调区间定义定义:若函数在其定义域的某个区若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点.,)()(0)(数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf2、单调区间、单调区间的划分的划分2022-10-268例例3 3解解.31292)(23的单调区间的单调区间确

5、定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,22022-10-269例例4 4解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf).,(函数的定义域为函数的定义域为)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调增

6、加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 2022-10-2610四四 单调性的应用单调性的应用例例5 5证证.132,1成立成立试证试证时时当当xxx )1(111)(22 xxxxxxf则则,0)(),1(,),1)(xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；故在故在),1 ,0)1(f时时，当当1 xxxxf132)(设设0)(xf.132,1成立成立时时当当xxx 2022-10-2611只只有有一一个个实实根根。试试证证例例xx sin60:x观察法解：先证存在性01

7、cos)(xxfxxxf sin)(设设应应用用单单调调性性）再再证证唯唯一一性性2022-10-2612五五 小结与思考判断题小结与思考判断题1 函数单调性定义函数单调性定义2 函数单调性判定函数单调性判定4 函数单调性应用函数单调性应用证明不等式证明不等式证明根的唯一性证明根的唯一性3 单调区间的划分单调区间的划分2022-10-2613思考判断题思考判断题 2 若若 ，则则 在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增0)(xf)(xf1 区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,影响区间的单调性影响区间的单调性.3 单调函数的导函数仍是单调函数单调函数的导函数仍是单调函数。