z变换离散时间系统的时域分析

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1、第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析8.1 引言,求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； z变换的历史可是追溯到18世纪； 20世纪5060年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展； 70年代引入大学课程； 今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。 本章主要讨论： 拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程； 利用z平面零极点的分布研究系统的特性。,一引言,二z变换的导出,抽样信号的拉氏变换离散信号的z变换,对 取拉氏变换,三对z变换式的理解,说明,若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序 列） 存在的序列取z

2、变换,8.2 z变换的定义、 典型序列的z变换,z变换的定义,一单位样值函数,二单位阶跃序列,三斜变序列的z变换,已知,两边同时乘以z-1 ，可得,（用间接方法求）,同理可得,n是离散变量，所以对n没有微积分运算； z是连续变量，所以对z有微积分运算。,四指数序列,1右边序列,注意：z 变换相同时，左边序列的定义。,五正弦与余弦序列,单边余弦序列,同理,8.3 z变换的收敛域,一收敛域的定义,收敛的所有z 值之集合为收敛域。,对于任意给定的序列x(n) ，能使,ROC: Region of convergence,不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z 变换，故在确定 z

3、变换时，必须指明收敛域。,二两种判定法,1比值判定法,若有一个正项级数，,则： 1：发散,即令正项级数的一般项,的n次根的极限等于，,则 1：发散,2根值判定法,三讨论几种情况,1有限长序列的收敛域,2右边序列的收敛,3左边序列的收敛,4双边序列的收敛,2右边序列的收敛,ROC：,3左边序列的收敛,ROC:,4双边序列的收敛,四总结,x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心 的圆环；, ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；,有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；,右边序列的ROC为 的圆外；,左边序列的ROC为 的圆内；,双边序列的ROC为 的圆

4、环。,所以，收敛域为 的z平面。,例8-3-1,例8-3-2,若该序列收敛，则要求,即收敛域为：,例8-3-3,收敛域为：,例8-3-4,ROC:,8.4 逆z变换,一部分分式展开法,1z变换式的一般形式,2求逆z变换的步骤,3极点决定部分分式形式,对一阶极点,高阶极点（重根）,二幂级数展开法,z变换式一般是z的有理函数，可表示为：,直接用长除法进行逆变换,（是一个z 的幂级数）,1幂级数展开法,2右边序列的逆z变换,3左边序列的逆z变换,三围线积分法求z反变换,1z逆变换的围线积分表示,得 z 逆变换公式,用留数定理求围线积分。,推导,在 的收敛域内，选择一条包围坐标原点的逆时针方向的围线C

5、， 的全部极点都在积分路线的内部。,积分与求和互换,推导,推导,应用柯西定理,2用留数定理求围线积分,围线积分等于围线C内所有极点的留数之和,单阶极点,k重极点,右边序列,左边序列,围线积分等于围线C外所有极点的留数之和,例8-4-1,例8-4-2,例8-4-3,同理：B2,查表,收敛域与原函数的对应,右右,右左,左左,例8-4-4,例8-4-5,(2)n=0,(3)验证,前例用部分分式展开法得到的结果,结果相同,8.5 z变换的基本性质,一线性,a,b为任意常数。,ROC：一般情况下，取二者的重叠部分,某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。,(表现为叠加性和均匀性）,原序列不

6、变，只影响在时间轴上的位置。,1双边z变换的位移性质,2单边z变换的位移性质,若x(n)为双边序列，其单边z变换为,(1)左移位性质,(2)右移位性质,而左移位序列的单边z变换不变。,三序列线性加权,共求导m次,四序列指数加权,同理,证明：,（z域尺度变换）,五初值定理,推理 x(1)？,理解,六终值定理,无,无,有，1,有，0,例题,终值存在的条件,(1) X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;,例： ，终值为0,(2)若极点位于单位圆上，只能位于 ，并且是一阶极点。,注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件只有第一条。,例：u(n)，终值为1,七时域卷积定理,描述：两序列在

7、时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。,注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。,八z域卷积定理（自阅）,例8-5-1,解：,已知,并且,同理,同理,例8-5-2,零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。,例8-5-3,方程两边取z变换,带入边界条件,解：,解续,整理为,例8-5-4,解：,例8-5-5,收敛域：,同理：,解：,例8-5-6,另外，因为分子比分母低一次，所以x(0)=0。,解：,例8-5-7,解：,由Y(z)求y(n),证明初值定理,证明时域卷积定理,因为,所以,根据双边z变换的定义可得,证明双边z变换的位移性,证明右移位性质,根据单边z变

8、换的定义，可得,证明左移位性质,根据单边z变换的定义，可得,8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系,一z平面与s平面的映射关系,几种情况,（1）s平面的原点 ，z平面 ，即 。,左半平面,虚轴,右半平面,左向右移,单位圆内,单位圆上,单位圆外,半径扩大,（2）,（3）,（4）zs映射不是单值的。,二z变换与拉式变换表达式之对应,注意： 连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。,容易求得，它的拉式变换为,注意跳变值,借助模拟滤波器设计数字滤波器,注意跳变值,解：,例8-6-1,解：,已知,例8-6-2,8.7 用z变换解差分方程,序言,描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我

9、们分析离散时间系统的一个重要途径。,求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 时域方法第七章中介绍，烦琐 z变换方法,差分方程经z变换代数方程； 可以将时域卷积频域（z域）乘积； 部分分式分解后将求解过程变为查表； 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。,一应用z变换求解差分方程步骤,(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）；,(2)由z变换方程求出响应Y(z) ；,(3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n) 。,一步骤,二差分方程响应y(n)的起始点确定,全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定,对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前,观察Y(z)分子分母的幂次,分母高于分

10、子的次数是响应的起点,三差分方程解的验证,例8-7-1(原教材例7-10(2),解：,方程两端取z变换,例8-7-2,解：,已知系统框图,列出系统的差分方程。,求系统的响应 y(n)。,（1） 列差分方程，从加法器入手,（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质,（2）,a.由激励引起的零状态响应,零状态响应为,即,b.由储能引起的零输入响应,即,零输入响应为,c.整理（1）式得全响应,注意,由方程解y(n)表达式可以得出y(0)=0, y(1)=0，和已知条件一致。,或,验证,8.8 离散系统的系统函数,一单位样值响应与系统函数,1.定义,2.h(n)和H(z)为一对z变换对,1定义,线性时

11、不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为,上式两边取z变换得,2 h(n)和H(z)为一对z变换,二系统函数的零极点分布对系统特性的影响,1.由零极点分布确定单位样值响应 2.离散系统的稳定性 3.系统的因果性,1由零极点分布确定单位样值响应,展成部分分式：（假设无重根）,的极点，可以是不同的实数或共轭复数， 决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升， 或为减幅、增幅、等幅振荡。,:与H(z)的零点、极点分布都有关。,由零极点分布确定单位样值响应(续),极点位置与h(n)形状的关系,利用zs平面的映射关系,2离散系统的稳定性,对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 定是有界的（BIB

12、O)。,(2)稳定性判据,(1)定义：,判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。,判据2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：,H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内: 。,(3)连续系统和离散系统稳定性的比较,3系统的因果性,系统因果性的判断方法：,z域： 收敛域在圆外,输出不超前于输入,三补充,1两个加法器情况下，列差分方程,2如何由H(z)列系统的差分方程,例8-8-1,则,解：,求系统的零状态响应,在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换,已知离散系统的差分方程为：,激励,X,例8-8-2,下面方程所描述的系统是否为因果系统？,解：,输出未超前于输入

13、，,所以是因果系统。,例8-8-3,解：,不稳定系统,从时域判断,因果系统,从z域判断,极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆不稳定（边界稳定）。,h(n)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。,例8-8-4,LTI系统， ，判断因果性、稳定性。,注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。,从时域判断：,不稳定,从z域判断：,收敛域 ，极点在处 ，,是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。,从时域判断： 不是因果系统,例8-8-5,解：,分别取z变换,系统框图如下，求H(z),h(n)。,方法：设中间序列w(n),列差分方程,例8-8-6,解： 分子分母同除以z的最高次幂,画出系统的框图为：,使用多个

14、加法器节省了延时单元。,8.9 序列的傅里叶变换 （DTFT),一定义,DTFT:Discrete-time Fourier transform,为研究离散时间系统的频率响应作准备，从抽样信号的傅里叶变换引出：,与z变换之关系,逆变换,表示,1三种变换的比较,二傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系,2频率的比较,模拟角频率 ，量纲：弧度/秒； 数字角频率 ，量纲：弧度； 是周期为 的周期函数 关系：,3s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换,4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换（DTFT）,8.10 离散时间系统的 频率响应特性,一离散系统频响特性的定义,正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应

15、）,系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的频率响应特性。,由系统函数得到频响特性,输出对输入序列的相移,离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性:,输出与输入序列的幅度之比,：幅频特性,：相频特性,通过本征函数透视系统的频响特性,为输入序列的加权， 体现了系统对信号的处理功能。 是 在单位圆上的动态， 取决于系统的特性。,离散系统（数字滤波器）的分类,二频响特性的几何确定法,几点说明,小结,1.系统的频响特性 ：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比 ：相频特性，输出对输入序列的相移,例8-10-1,已知离散时间系统 的框图如右图，求 系统频率响应特性。,解：,系统的差分方程,设系统为零状态的，方程两边取z变换,系统函数,系统的频率响应特性,幅频特性 相频特性,频率响应特性曲线,图 (1) 幅频特性曲线,图 (2) 相频曲线,例8-10-2,求下图所示一阶离散系统的频率响应。,差分方程,系统函数,解：,频响特性,幅度响应,相位响应,例8-10-3,求图（a）所示二阶离散系统的频率响应。,该系统的差分方程为,系统函数写作,得到:,其中,系统的频率响应为,