第五章气体动理论完全版

《第五章气体动理论完全版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章气体动理论完全版（94页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1第第 5 章章（The theory of molecular motion of gas)(6)气体动理论气体动理论热热 学学(Thermodynamics)2 大学物理学包含了力学、热学、电学、光学大学物理学包含了力学、热学、电学、光学和现代物理五个部分。和现代物理五个部分。热学研究的对象：大量分子的热运动。目热学研究的对象：大量分子的热运动。目的在于解释热现象的规律和应用规律于实践。的在于解释热现象的规律和应用规律于实践。分为两部分：分为两部分：热力学热力学和和分子动理论分子动理论。第六章。第六章研究分子动理论，第七章研究热力学。研究分子动理论，第七章研究热力学。3 分子动理论从分子微

2、观结构和分子运动出发，分子动理论从分子微观结构和分子运动出发，应用力学规律和应用力学规律和统计学方法统计学方法，研究物体的宏观，研究物体的宏观性质。认为物体的宏观性质是大量分子无规则性质。认为物体的宏观性质是大量分子无规则运动的平均结果。运动的平均结果。热力学从观察和实验出发，不涉及物质的微观热力学从观察和实验出发，不涉及物质的微观结构。由观察和实验得出结构。由观察和实验得出热力学第一热力学第一、第二定第二定律律，研究物体的宏观性质及热力学过程所进行的，研究物体的宏观性质及热力学过程所进行的方向。方向。4压强公式压强公式温度公式温度公式能量均分定理能量均分定理麦氏速度分布律麦氏速度分布律麦氏速

3、率分布律麦氏速率分布律平均平均速率速率平衡态平衡态理想气体理想气体状态方程状态方程理想气体理想气体分子模型分子模型统计假设统计假设最概然最概然速率速率方均根方均根速率速率本章体系：本章体系：55-1 状态状态 过程过程 理想气体理想气体1.热力学系统热力学系统 在热力学中，我们研究的宏观在热力学中，我们研究的宏观物体通常表现为固态、液态和气物体通常表现为固态、液态和气态。无论表现为那种物态，宏观态。无论表现为那种物态，宏观物体都是由大量分子和原子组成物体都是由大量分子和原子组成的系统。我们把大量分子和原子的系统。我们把大量分子和原子组成的系统组成的系统称为称为热力学系统热力学系统。处。处于系统

4、之外的物体于系统之外的物体称称为外界。为外界。与外界完全隔绝的系统称之为与外界完全隔绝的系统称之为孤立系统孤立系统。系统和。系统和外界既无能量交换，也无质量交换。例如一个绝对外界既无能量交换，也无质量交换。例如一个绝对密封的暖水壶。外界的热传不进去，里面的热也传密封的暖水壶。外界的热传不进去，里面的热也传系统系统 外界外界图5-16不出来，与外界无能量交换；壶盖盖紧，暖水的质不出来，与外界无能量交换；壶盖盖紧，暖水的质量也不减少。此时将暖水瓶中的水看作孤立系统。量也不减少。此时将暖水瓶中的水看作孤立系统。与外界没有质量交换与外界没有质量交换,但有但有能量交换能量交换的系统的系统,称为称为封闭系

5、统封闭系统。一个装有水的铝壶（盖紧后），用火加。一个装有水的铝壶（盖紧后），用火加热。将水和壶看成一个系统，水的质量不变，但可热。将水和壶看成一个系统，水的质量不变，但可以从外界吸热，这时以从外界吸热，这时将水和壶看作一个封闭系统。将水和壶看作一个封闭系统。与外界既有质量交换又有能量交换的系统与外界既有质量交换又有能量交换的系统,称为称为开开放系统放系统。一个没有盖子的装水铝壶，水被加热至沸。一个没有盖子的装水铝壶，水被加热至沸腾后继续加热。此时水和壶这个系统既与外界有能腾后继续加热。此时水和壶这个系统既与外界有能量交换，又有质量的变化。水和壶这个系统成为开量交换，又有质量的变化。水和壶这个系

6、统成为开放系统。放系统。72.2.状态参量状态参量 对一定量的气体，其宏观状态可以用体积（对一定量的气体，其宏观状态可以用体积（V）、压）、压强（强（P）、温度、温度(T)这三个宏观物理量来描述，这些描述这三个宏观物理量来描述，这些描述状态的变量，就叫做状态参量。状态的变量，就叫做状态参量。各状态参量中，压强的国际单位是帕斯卡各状态参量中，压强的国际单位是帕斯卡(Pa)，即牛顿，即牛顿米米-2（N/m-2）。它与其他几种单位的换算关系如下：）。它与其他几种单位的换算关系如下：1标准大气压标准大气压(atm)760mmHg1013105Pa1工程大气压工程大气压(kgcm-2)9807l 04P

7、a1毫米汞杜毫米汞杜mmHg)1333102Pa体积的国际单位是米体积的国际单位是米3(m3)，实际应用时有时也用升，实际应用时有时也用升(dm3，符号，符号L)和毫升和毫升(cm3，符号，符号mL)。温度：国际单位是开尔文（温度：国际单位是开尔文（K）。）。T =273.15 +t83.平衡态和平衡平衡态和平衡(准静态准静态)过程过程 举例：将水装在开口的容器中，水将不断蒸发。但如举例：将水装在开口的容器中，水将不断蒸发。但如果把容器封闭，经过一段时间后，蒸发将停止。水和蒸果把容器封闭，经过一段时间后，蒸发将停止。水和蒸汽达到饱和状态。如果没有外界影响，容器中的水蒸气汽达到饱和状态。如果没有

8、外界影响，容器中的水蒸气的温度、压强、体积、质量的温度、压强、体积、质量和密度都不随时间变化。和密度都不随时间变化。我们将水和水蒸气这种状态称我们将水和水蒸气这种状态称之为平衡态。所谓平衡态，即之为平衡态。所谓平衡态，即在不受外界影响下在不受外界影响下，系统的，系统的宏宏观性质观性质不随时间变化的状态。不随时间变化的状态。平衡态平衡态图5-2 如系统的温度如系统的温度T、压强、压强P、化、化学成分等都不随时间变化的状学成分等都不随时间变化的状态叫做态叫做热动平衡状态热动平衡状态。9 我们看一看下面一个例子。我们给敞开的容器加我们看一看下面一个例子。我们给敞开的容器加热，在水沸腾后，沸水的温度也

9、不变。这时沸水所热，在水沸腾后，沸水的温度也不变。这时沸水所处的状态是否为平衡态？处的状态是否为平衡态？不是。原因：不是。原因：外界在加热外界在加热 2 水的质量在不断水的质量在不断减少。所以：减少。所以：A 要将平衡态与系统受恒定外界影响所达到的定要将平衡态与系统受恒定外界影响所达到的定态区别开来。态区别开来。B 系统的宏观性质（系统的宏观性质（P、V、T）不随时间而变化。）不随时间而变化。在微观上，组成系统的分子仍在不停地运动和变在微观上，组成系统的分子仍在不停地运动和变化，只不过大量分子运动的平均效果没有变化。可化，只不过大量分子运动的平均效果没有变化。可见平衡态是系统内的大量分子的热动

10、平衡。见平衡态是系统内的大量分子的热动平衡。10 C 平衡态的概念是一个理想的概念。平衡态的概念是一个理想的概念。实际中并不存在绝对孤立系统，也没有宏观性质实际中并不存在绝对孤立系统，也没有宏观性质绝对不变的系统。绝对不变的系统。4.热力学第零定律（传递性规律）热力学第零定律（传递性规律）5.理想气体的状态方程理想气体的状态方程平衡过程平衡过程 如果过程进展得十分缓慢，使所经历的一系列中如果过程进展得十分缓慢，使所经历的一系列中间状态都无限接近平衡态。这个过程就叫做平衡过间状态都无限接近平衡态。这个过程就叫做平衡过程。程。严格遵守四条定律严格遵守四条定律(玻意耳定律、盖玻意耳定律、盖-吕萨克定

11、律、查吕萨克定律、查理定律和理定律和阿伏伽德罗定律阿伏伽德罗定律)的气体的气体,称为称为理想气体。理想气体。如果如果TA=TB,TB=TC,ABC那么那么TA=TC11vRTRTMMpVmol(5-1)单位单位:SI 压强压强 p:Pa帕斯卡帕斯卡(帕斯卡帕斯卡)。1atm=76cmHg=1.013105Pa (atmosphere)体积体积V：m3;1l=10-3 m3 温度温度T：K (T=273+t C )M:气体质量气体质量(kg);Mmol:摩尔摩尔质量质量(kg)。普适气体恒量普适气体恒量:R=8.31 (J.mol-1.K-1)对于一定质量的气体来说，其三个状态参量压强、对于一定

12、质量的气体来说，其三个状态参量压强、温度和体积之间存在一定的关系，这一关系的数学温度和体积之间存在一定的关系，这一关系的数学表示称为气体的状态方程表示称为气体的状态方程理想气体的状态方程为：理想气体的状态方程为：12molMM玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量 k=R/No=1.3810-23 (J.K-1)R=8.31 (J.mol-1.K-1)式中：式中：n=N/V分子的数密度。分子的数密度。或或 p=nkT (5-2)m分子分子质量质量,N 气体分子数，气体分子数，v摩尔数摩尔数mNNmo,oNN2310022.6oNvRTRTMMpVmol(5-1)玻耳兹曼玻耳兹曼 v=于是理想气体状态方程又可

13、写为于是理想气体状态方程又可写为:pV=NkT13 例题例题5-1 估算在标准状态下，每立方厘米的空气估算在标准状态下，每立方厘米的空气中有多少个气体分子。中有多少个气体分子。解解 由公式：由公式：p=nkT，标准状态标准状态:p=1atm=1.013105Pa,T=273kTpn=2.71025(个个/m3)=2.71019(个个/cm3)14例例5-2 5-2 容器内装有质量为容器内装有质量为0.10kg0.10kg的氧气，压强的氧气，压强为为101010105 5PaPa，温度为，温度为4747。因为容器漏气，经过。因为容器漏气，经过若干时间后，压强降为原来的若干时间后，压强降为原来的5

14、/85/8，温度降到，温度降到2727。问容器的容积有多大？漏去了多少氧气？（假设问容器的容积有多大？漏去了多少氧气？（假设氧气看作理想气体）氧气看作理想气体）解：解：（1）RTMMPVmol根据理想气体的状态方程，根据理想气体的状态方程，求得容器的体积求得容器的体积V V为为3351031.81010032.0)47273(31.810.0mpMMRTVmol15设漏气若干时间后，压强减少到设漏气若干时间后，压强减少到p,温度降到温度降到T。如果用。如果用M表示容器表示容器中剩余的氧气质量中剩余的氧气质量 ，从状态方程求得，从状态方程求得（2）kgRTVpMMmol21067.6所以漏去氧气

15、的质量为所以漏去氧气的质量为kgMMM21033.316 例题例题5-3 一氧气瓶的容积一氧气瓶的容积V=32l,瓶中氧气压强瓶中氧气压强p1=130atm。规定瓶内氧气的压强降到。规定瓶内氧气的压强降到p2=10atm时就时就得充气得充气,以免混入其他气体而需洗瓶。一车间每天需以免混入其他气体而需洗瓶。一车间每天需用用pd=1atm的氧气的氧气Vd=400 l,问一瓶氧气能用几天问一瓶氧气能用几天?解解 抓住：分子个数的变化，用抓住：分子个数的变化，用 pV=NkT求解。求解。kTVpN11使用后瓶中氧气的分子个数使用后瓶中氧气的分子个数:(设使用中温度保持不变设使用中温度保持不变)kTVp

16、N22每天用的氧气分子个数每天用的氧气分子个数:kTVpNddd能用天数：能用天数：)(6.9)(2121天dddVpVppNNND未使用前瓶中氧气的分子个数未使用前瓶中氧气的分子个数:17 例题例题5-4 一长金属管下端封闭一长金属管下端封闭,上端开口上端开口,置于压置于压强为强为po的大气中。今在封闭端加热达的大气中。今在封闭端加热达T1=1000K,而另而另一端则达到一端则达到T2=200K，设温度沿管长均匀变化。现封，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到闭开口端，并使管子冷却到TE=100K。计算此时管。计算此时管内气体的压强内气体的压强(不计金属管的膨胀不计金属管的膨胀

17、)。解解 初态初态(加热时加热时)是定态是定态,但不是但不是平衡态。末态是平衡态。末态是平衡态。平衡态。关键是求出管内气体的质量。关键是求出管内气体的质量。.图5-3xxLTTTT212,L 管长管长 对对x处的气体元处的气体元(dx,dM)可视为平可视为平衡态衡态:RTMdMdVpmolodxxdM18.图5-3xdxxxLTTTT212RTMdMdVpmoloSdxdV,S 管横截面积管横截面积RTSdxpMdMomoldxxLTTTRSpMomol)(212)(2120 xLTTTdxRSpMMLomol5ln)(21TTLRSpMMomol195ln)(21TTLRSpMMomol.图

18、5-3xdxx末态末态:封闭开口端封闭开口端,并使管子冷却到并使管子冷却到TE=100K。EmolRTMMpSL opp85ln=0.2po最后得最后得oEpTTTp215ln205-2 分子热运动和统计规律分子热运动和统计规律 实验表明：热现象是物质中大量分子无规则运动的集实验表明：热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现，所以把大量分子无规则运动叫做分子热运动。体表现，所以把大量分子无规则运动叫做分子热运动。（布朗运动与温度、微粒的大小的关系）（布朗运动与温度、微粒的大小的关系）布朗运动布朗运动图5-4在标准状态下，分在标准状态下，分子本身线度子本身线度10-10m.气体分子间气体分子间

19、距离大约距离大约10-9m.液体的不可压缩性液体的不可压缩性说明液体分子的间说明液体分子的间距接近于分子本身距接近于分子本身的大小。气体的可的大小。气体的可压缩性说明气体分压缩性说明气体分子的间距比气体分子的间距比气体分子的大小大得多。子的大小大得多。21 在室温下，气体分子的速率在在室温下，气体分子的速率在10102 2-10-103 3 m/sm/s，分，分子在两次碰撞之间自由飞行的路程大约为子在两次碰撞之间自由飞行的路程大约为1010-7-7m m，飞行的时间约为飞行的时间约为10-10s。因而单个分子在。因而单个分子在1秒内将秒内将会遇到约会遇到约1010次碰撞。如果追踪一个分子的运动

20、，次碰撞。如果追踪一个分子的运动，他的运动是十分复杂的，偶然的。他的运动是十分复杂的，偶然的。分子在可观察分子在可观察的时间内永不停息的运动。的时间内永不停息的运动。1mol气体又包含气体又包含6.02 1023个分子，于是整个气个分子，于是整个气体分子运动呈现一片纷乱的图景，体分子运动呈现一片纷乱的图景，气体分子热运气体分子热运动为无规则运动。动为无规则运动。微观量：描述个别分子性质的物理量。如分子微观量：描述个别分子性质的物理量。如分子的大小、质量、速度、能量等。的大小、质量、速度、能量等。宏观量：表征大量分子集体特征的物理量。如宏观量：表征大量分子集体特征的物理量。如气体的温度、压强、热

21、容等等。气体的温度、压强、热容等等。22 既分子热运动具有既分子热运动具有混乱性或无序性混乱性或无序性。同时研究。同时研究发现分子热运动还具有发现分子热运动还具有统计性统计性：既分子热运动服：既分子热运动服从统计规律。从统计规律。(3).物体的分子在永不停息地作无序热运动物体的分子在永不停息地作无序热运动和进行频繁的相互碰撞和进行频繁的相互碰撞(2).分子间存在相互作用力。分子间存在相互作用力。水和酒精的混合水和酒精的混合例如：例如：1cm3的空气中包含有的空气中包含有2.71019 个分子个分子 (1).宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间

22、存在一定的空隙。分子之间存在一定的空隙。1.分子热运动的基本特征分子热运动的基本特征23何谓统计规律？何谓统计规律？大量偶然事件的集合所表现的规律。例：大量偶然事件的集合所表现的规律。例：伽耳顿板实验伽耳顿板实验 若无小钉：若无小钉：必然事件必然事件若有小钉：若有小钉：偶然事件偶然事件(1)(1)统计规律是统计规律是大量大量偶然事件偶然事件的的总体总体所遵从的规律。所遵从的规律。(2).(2).统计规律和统计规律和涨落涨落现象是现象是分不开的。分不开的。结论：结论：少量小球的分布每次不同少量小球的分布每次不同大量小球的大量小球的分布分布近似相同近似相同242.分布函数和平均值分布函数和平均值

23、分布数分布数Ni的含义：同类事件中，满足一定条件的含义：同类事件中，满足一定条件的事件数目，的事件数目，i表示一定的条件。表示一定的条件。则该类事件则该类事件总数显然等于满足所有可能条件的事件数的总和，总数显然等于满足所有可能条件的事件数的总和，既既 N=Ni。归一化的分布数归一化的分布数fi=Ni/N的含义：满足一定条件的的含义：满足一定条件的事件个数占同类事件总数的比例；或者说满足一定事件个数占同类事件总数的比例；或者说满足一定条件条件i的事件的百分数。的事件的百分数。显然有：显然有：ffi i=(Ni/N)=(Ni)/N=1成立。既所有百分数的和就是成立。既所有百分数的和就是1。上式称为

24、归一化条件。上式称为归一化条件。25上面的条件上面的条件i只能取自然数。当只能取自然数。当i必须取连续间隔必须取连续间隔内的值时怎样描述分布状况呢？内的值时怎样描述分布状况呢？统计学中是这样描述的：取发生在以统计学中是这样描述的：取发生在以i值为标准值为标准的的单位间隔内单位间隔内的该类事件的的该类事件的百分数百分数为为归一化的归一化的分布数分布数fi，可以画出可以画出fi关于关于i间隔的矩形图。当间间隔的矩形图。当间隔连续缩小、趋于零时，隔连续缩小、趋于零时，fi表示的矩形顶部轮廓表示的矩形顶部轮廓将显得趋近于一条光滑的曲线，这条曲线就叫将显得趋近于一条光滑的曲线，这条曲线就叫做分布曲线，它

25、揭示了做分布曲线，它揭示了fi对取值对取值i的函数关系。的函数关系。如果如果i的取值为的取值为x，则就用，则就用f(x)代替归一化的分布代替归一化的分布数数fi，把，把f(x)叫做相对于叫做相对于x的归一化分布函数。在的归一化分布函数。在分布曲线下的总面积按归一化条件为：分布曲线下的总面积按归一化条件为：01)(dxxf（5-3）26例如气体分子按速率的分布例如气体分子按速率的分布 速率速率v1 v2 v2 v3 vi vi+v i 分子数按速率分子数按速率 的分布的分布(Ni)N1 N2 Ni 分子数比率按分子数比率按速率的分布速率的分布(fi)N1/(N v1)N2/(N v2)Ni/(N

26、 vi)Ni/Nviv N/N当当v0 NdvdNvfV(m/s)dv图5-5图5-627 知道了关于知道了关于x的归一化分布函数的归一化分布函数f(x)和事件总数和事件总数N，则发生在，则发生在x到到x+dx之间的事件数之间的事件数dN可以求得可以求得为：为：dN=Nf(x)dx 在间隔在间隔x1、x2的分布曲线下的面积表示发生的分布曲线下的面积表示发生在在x1到到x2间的事件的百分数间的事件的百分数；对一个特定事件而言，对一个特定事件而言，f(x)dx则理解为该事件发生在则理解为该事件发生在x到到x+dx之间的概之间的概率（可能性）。率（可能性）。知道了关于知道了关于x的归一化分布函数的归

27、一化分布函数f(x),就可以求就可以求得得x的平均值：的平均值：这也是求任意物理量的平均值的一般公式。这也是求任意物理量的平均值的一般公式。dxxxfNdxxNxfNxdNx)()(5-4)记住记住285-3 气体动理论的压强公式气体动理论的压强公式1.理想气体的微观模型理想气体的微观模型 气体的可压缩性说明气体分子的间距比气体分子气体的可压缩性说明气体分子的间距比气体分子的大小大得多，气体分子本身的线度可以忽略。于的大小大得多，气体分子本身的线度可以忽略。于是对理想气体分子运动有以下的是对理想气体分子运动有以下的力学假设力学假设：(1)分子本身的线度与分子之间的平均距离相比可分子本身的线度与

28、分子之间的平均距离相比可忽略不计忽略不计。(2)分子之间距离很大分子之间距离很大,除除碰撞的瞬间碰撞的瞬间外外,可不计分子可不计分子间的相互作用力间的相互作用力;如无特殊考虑如无特殊考虑,重力也可忽略重力也可忽略。(3)分子之间以及分子与容器壁之间的碰撞是分子之间以及分子与容器壁之间的碰撞是完全完全弹性弹性的的,即气体分子的动能不因碰撞而损失。即气体分子的动能不因碰撞而损失。理想气体理想气体:可看作是许多个自由地、无规则运动着可看作是许多个自由地、无规则运动着的弹性小球的集合。的弹性小球的集合。29 气体分子热运动为无规则运动。无规则热运动气体分子热运动为无规则运动。无规则热运动非非无规律无规

29、律运动。人们发现大量分子组成的整体具有运动。人们发现大量分子组成的整体具有统计统计规律性规律性。提出。提出统计假设统计假设：(1)无外力场时，处于平衡态的气体分子在无外力场时，处于平衡态的气体分子在空间的分空间的分布是均匀的布是均匀的。即在容器中任一处，气体的分子数密度即在容器中任一处，气体的分子数密度n都相等。都相等。(为什么？为什么？)因为分子沿任意方向运动的概率相等的。因为分子沿任意方向运动的概率相等的。(2)气体在平衡态时，具有气体在平衡态时，具有相同速率相同速率的分子向的分子向各个方向各个方向运动的运动的分子数是相等的分子数是相等的30 (2)气体在平衡态时，具有气体在平衡态时，具有

30、相同速率相同速率的分子向的分子向各个各个方向方向运动的运动的分子数是相等的分子数是相等的 基于这一假设，我们假设在基于这一假设，我们假设在x轴方向速率轴方向速率V1x=100m/s 的分子数为的分子数为n1，在，在y轴方向速率轴方向速率V1y=100m/s 的分子数为的分子数为n1，在，在z轴方向速率为轴方向速率为V1z=100m/s 的分子数也为的分子数也为n1.基于这一假设，我们假设在基于这一假设，我们假设在x轴方向速率为轴方向速率为V2x=500m/s的分子数为的分子数为n2，在，在y轴方向速率为轴方向速率为V2y=500m/s 的分子数也为的分子数也为n2，在，在z轴方向速率为轴方向速

31、率为V2z=500m/s的分子数也为的分子数也为n2。.31于是，有：于是，有：.212222112nnVnVnVxxxNVnnVnVnVjjyyyy2212222112.NVnnVnVnVjjzzzz2212222112.根据以上假设，有：根据以上假设，有：222zyxVVV表示沿表示沿x方向的速率平方平均值方向的速率平方平均值2xV2yV2zV表示沿表示沿y方向的速率平方平均值方向的速率平方平均值表示沿表示沿z方向的速率平方平均值方向的速率平方平均值NVjjx2322222zyxVVVV因为因为所以所以222231VVVVzyx 以上关于理想气体分子运动的以上关于理想气体分子运动的力学假设

32、力学假设和和统计统计假设假设构成了理想气体的微观模型，它是从微观上构成了理想气体的微观模型，它是从微观上分析气体性质的出发点。分析气体性质的出发点。33设：理想气体处于热平衡，分子总数为设：理想气体处于热平衡，分子总数为N.把分子速率分为若干速率区间。如：把分子速率分为若干速率区间。如：0100m/s N1 N1/N 100200m/s N2 N2/N200300m/s N3 N3/N .+N N/N N/NN/N表示：表示：速率分布在速率分布在 附近的附近的 区间内的分区间内的分子数占总分子数的比率子数占总分子数的比率（百分数）（百分数）.2.2.速率分布函数速率分布函数34N/NN/N表示

33、：表示：速率分布在速率分布在 附近的附近的 区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的比率占总分子数的比率（百分数）（百分数）.或者：或者：多次观察一个分子发现其速率分布在多次观察一个分子发现其速率分布在 附近附近 区间内区间内的概率的概率 可知：可知：N/N既与所取得区间既与所取得区间 有关，又与这个区有关，又与这个区间所在处的间所在处的 有关。有关。35若令：若令：则则f()表示：表示：速率分布在速率分布在 附近的单位速率区间内的分子数附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的比率（百分数）占总分子数的比率（百分数）.NNf)(或：或：多次观察一个分子发现其速率分布在多次观察一个分子发现其速率

34、分布在 附近附近单单 位速率区间内位速率区间内的概率的概率称称f()为速率分布函数。为速率分布函数。显然：显然：f()只与只与 值有关值有关，它描述了分子数按速，它描述了分子数按速率分布的情况。率分布的情况。36称称f()为速率分布函数。为速率分布函数。显然：显然：f()只与只与 值有关值有关，它描述了分子数按速，它描述了分子数按速率分布的情况。率分布的情况。速率区间取得越小，对分子数按速率分布速率区间取得越小，对分子数按速率分布的描述就越准确。的描述就越准确。为此，定义速率分布函数为：为此，定义速率分布函数为：NNfv0lim)(01)(dvvf（5-3）归一化条件为：归一化条件为：NddN

35、(5-5)37知道了速率分布函数知道了速率分布函数f(v)，就可以求出关于速，就可以求出关于速率率v的任意平均值了。例如：速率的任意平均值了。例如：速率v的平均值的平均值问题：速率问题：速率v v的平方的平方v v2 2的平均值：的平均值：?2v0)(dvvvfv（56）022)(dvvfvv（57）383.压强公式的简单推导压强公式的简单推导(3)(3)平衡态时分子的速度按方向的分布是各向平衡态时分子的速度按方向的分布是各向 均匀的均匀的;(2)(2)平衡态时分子按位置的分布是均匀的平衡态时分子按位置的分布是均匀的;对大量分子组成的气体系统的统计假设对大量分子组成的气体系统的统计假设(1)(

36、1)分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断 变化着变化着;0 zyxvvv32222vvvvzyx 39 理想气体压强公式的简单推导理想气体压强公式的简单推导设边长为设边长为x,y,z的长方体容器中的长方体容器中有有N个同类气体分子个同类气体分子(质量质量m)A1A2研究研究A1受的压强：受的压强：(1).设某个分子以设某个分子以 v1撞击撞击A1v1v 1vx对分子对分子mxxxmvmvvm2 则则A1受到的冲量受到的冲量:2mvx(2).1秒钟秒钟A1受到受到1个分子的总冲量个分子的总冲量1个分子在个分子在A1,A2之间往返一次所需时间为之间往返一次所需时

37、间为xvxt2 则则1秒内与秒内与A1碰撞次数碰撞次数xvtx21 A1受受1个分子的总冲量为个分子的总冲量为xvmvxx22 xmvx2 xyzxyz图5-1140(3).N个分子在个分子在1秒内对秒内对A1的碰撞的碰撞A1在在1秒内受到的冲量秒内受到的冲量平均作用力平均作用力F Fxvmvxx2211 xvmvxx2222 xvmvNxNx22 )(22221Nxxxvvvxm Niixvxm12(4).A1受到的平均作用力受到的平均作用力压强压强yzFSFp Niixvxyzm12)(22221NvvvVmNNxxx 2xvVmN 32222vvvvzyx 由由222zyxvvv 222

38、2zyxvvvv 有有有有 n=N/V2xvVmNp 231vnm 则则引入分子的平均平动动能引入分子的平均平动动能221vm则则np32注意注意:P是一个统计量是一个统计量,对个别分子谈压强无意义对个别分子谈压强无意义415-4理想气体的温度公式理想气体的温度公式np32从以上两式消去从以上两式消去p可得分子的可得分子的平均平动动能平均平动动能为为221mkT23 可见，可见，温度是分子平均平动动能的量度温度是分子平均平动动能的量度。这就。这就是温度的统计意义。是温度的统计意义。应当指出，温度是大量分子热运动的集体表现应当指出，温度是大量分子热运动的集体表现,只具有统计意义；对于单个分子只具

39、有统计意义；对于单个分子,说它有温度是没有说它有温度是没有意义的。意义的。因因 p=nkT，1.温度的本质和统计意义温度的本质和统计意义(5-10)kT32422.气体分子的方均根速率气体分子的方均根速率由由kTvm23212我们可以得到气体分子的方均根速率为：我们可以得到气体分子的方均根速率为：molMRTmkTv332（511）434.混合气体内的压强混合气体内的压强 道尔顿分压定律道尔顿分压定律 设容器内有多种气体，设容器内有多种气体，n=n1+n2+ni+nn,其其中中ni是第是第i种气体的分子数密度种气体的分子数密度,由压强公式有由压强公式有np32nnnn32.323221于是有于

40、是有 p=p1+p2+pn 这就是说，这就是说，总压强等于各气体分压强之和，这总压强等于各气体分压强之和，这就是道尔顿分压定律。就是道尔顿分压定律。kT2344例例5-5.理想气体系统由氧气组成，压强理想气体系统由氧气组成，压强P P=1=1 atm，温度，温度t t=27=27o oC C。求求（1 1）单位体积内的分子数；（）单位体积内的分子数；（2 2）分子的平均）分子的平均 平动动能平动动能.解解（1）kTpn 3 30 00 01 10 03 38 81 11 10 00 01 13 31 12 23 35 5 .3251045.2m（2）kT2 23 3 平平 J211021.64

41、5 例题例题5-6 一容器体积一容器体积V=1m3,有有N1=11025个氧分个氧分子，子，N2=41025氮分子，混合气体的压强氮分子，混合气体的压强p=2.76 105pa,求分子的平均平动动能及混合气体的温度。求分子的平均平动动能及混合气体的温度。解解 由压强公式由压强公式np32VNN2132所以所以)(2321NNpV=8.26 10-21JkT23又又混合气体的的温度：混合气体的的温度：kT32=400K46 例题例题5-7 两瓶不同种类的气体，温度、压强相同，两瓶不同种类的气体，温度、压强相同，但体积不同，则但体积不同，则 (1)它们单位体积中的分子数它们单位体积中的分子数 相同

42、相同。(2)它们单位体积中的气体质量它们单位体积中的气体质量不相同不相同。(3)它们单位体积中的分子平均平动动能的总和它们单位体积中的分子平均平动动能的总和(p=nkT)(=mn)(k=nt)相同相同。(=M/V=Nm/V=mn)47x1,y1,z1dxyz5-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能 1.分子的自由度分子的自由度 自由度自由度确定一个物体在空间的位置所需的独确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数目。立坐标数目。单原子气体分子单原子气体分子 可视为质点可视为质点,确定它在空间的位置需确定它在空间的位置需3个独立坐标，个独立坐标，故有故有3个平动自由度。个平动

43、自由度。要确定一个原子的坐标需要要确定一个原子的坐标需要三个坐标三个坐标(x1,y1,z1).刚性双原子气体分子刚性双原子气体分子(d固定固定)48x1,y1,z1dxyz确定第二个原子的坐标确定第二个原子的坐标(x2,y2,z2)cossinsincossin121212dzzdyydxx 确定刚性双原子分子的位置确定刚性双原子分子的位置需要需要3+2=5个自由度个自由度(3个平动个平动自由度自由度,2个转动自由度个转动自由度)49刚性三原子分子刚性三原子分子 要确定一个原子的坐标需要要确定一个原子的坐标需要三个坐标三个坐标(x1,y1,z1).确定第二个原子的坐标确定第二个原子的坐标(x2

44、,y2,z2)cossinsincossin121212dzzdyydxx(x1,y1,z1)xyz还需要两个角度坐标还需要两个角度坐标(,)50(x1,y1,z1)xyz在两个原子固定后在两个原子固定后,第三个原子还第三个原子还可以绕轴线转动可以绕轴线转动,还需要一个角度还需要一个角度 坐标才能确定其位置坐标才能确定其位置.确定刚性三原子分子的位置确定刚性三原子分子的位置需要需要3+3=6个自由度个自由度(3个平动个平动自由度自由度,3个转动自由度个转动自由度)刚性多原子分子刚性多原子分子(超过三个原子的分子超过三个原子的分子)的整体可以看作刚的整体可以看作刚体体.描述刚体的自由运动只需要描

45、述刚体的自由运动只需要6个自由度个自由度.所以所以刚性多原子刚性多原子分子只需要分子只需要6个自由度个自由度。51气体分子自由度小结气体分子自由度小结对刚性气体分子，自由度为对刚性气体分子，自由度为i=3 (单原子单原子)5 (刚性双原子刚性双原子)6 (刚性多原子刚性多原子(n 3)气体分子的气体分子的自由度：自由度：52在上节中我们已得到分子的平均平动动能在上节中我们已得到分子的平均平动动能2.能量均分定理能量均分定理221mkT23222231zyxkTmmmzyx21212121222 可见，分子的平均平动动能是均匀地分配在可见，分子的平均平动动能是均匀地分配在3个个自由度上的，即每个

46、平动自由度上的平均平动动能自由度上的，即每个平动自由度上的平均平动动能都相等，都为都相等，都为 。kT2153能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理：理想气体处于平衡态时理想气体处于平衡态时,其分子在每个自由度上其分子在每个自由度上的平均动能都相等，都为的平均动能都相等，都为 。kT21 设某分子有设某分子有t个平动自由度，个平动自由度，r个转动自由度，则个转动自由度，则该该 分子的总自由度：分子的总自由度：i=t+r;分子的平均总动能：分子的平均总动能：kTik2kTr2分子的平均转动动能：分子的平均转动动能：kTt2分子的平均平动动能：分子的平均平动动能：54分子的平均总能量：分子的平

47、均总能量：kTikTrt22(5-12)这里：这里：i=t+r，是分子的总自由度。，是分子的总自由度。对对刚性气体分子刚性气体分子(无振动自由度无振动自由度),平均总能量平均总能量:kTi2(5-13)55三三.理想气体的内能理想气体的内能 对于实际气体来讲对于实际气体来讲,除了分子的各种形式的热运动除了分子的各种形式的热运动动能和分子内部原子间的振动势能外动能和分子内部原子间的振动势能外,由于分子间存由于分子间存在着相互作用的保守力在着相互作用的保守力,所以分子还具有与这种力相所以分子还具有与这种力相关的势能。所有分子的这些形式的关的势能。所有分子的这些形式的热运动能量和分子热运动能量和分子

48、间势能间势能的总和的总和,叫做叫做气体的内能气体的内能。理想气体分子间无相互作用理想气体分子间无相互作用,所以所以理想气体的内能理想气体的内能是所有分子的是所有分子的热运动能量热运动能量的总和。的总和。由于一个由于一个(刚性刚性)分子的平均总能量为分子的平均总能量为kTi2所以一摩尔理想气体的内能为所以一摩尔理想气体的内能为kTiNEomol2RTi2(Nok=R)56M千克千克理想气体的内能理想气体的内能为为RTiMMEmol2pVi2(5-14)例例5-8 容器内盛有单原子理想气体，容器内盛有单原子理想气体，测得压强测得压强为为p，那么单位体积中的内能为多少？，那么单位体积中的内能为多少？

49、解解 由由(6-14)的内能公式：的内能公式：piVE2pViE2所以所以p2357222OHOH222OH2OH2例例5-9解解 2 mol 水水2 mol 氢气氢气1 mol 氧气氧气RTU6OH2RTU52HRTU252O%25665.7OHOHOH2222UUUU 将水蒸汽分解成相同温度的氢气和氧气，将水蒸汽分解成相同温度的氢气和氧气，求内能增加的百分比求内能增加的百分比。58例例5-105-10一容器内某理想气体的温度为一容器内某理想气体的温度为273K，密度为，密度为=1.25 g/m3，压强为，压强为 p=1.010-3 atm求求:(1):(1)气体的摩尔质量，是何种气体？气体

50、的摩尔质量，是何种气体？(2)(2)气体分子的平均平动动能和平均转动动能？气体分子的平均平动动能和平均转动动能？(3)(3)单位体积内气体分子的总平动动能？单位体积内气体分子的总平动动能？(4)(4)设该气体有设该气体有0.3 mol0.3 mol，气体的内能？，气体的内能？解：解：kg/mol028.010013.11027331.81025.1533pRTM 由结果可知，这是由结果可知，这是N N2 2 或或CO CO 气体。气体。(1)(1)由由 ，有，有 RTMmpV 59(2)(2)平均平动动能和平均转动动能为平均平动动能和平均转动动能为 J1056.52731038.1232321

51、23kTt J1077.32731038.12123 kTr(3)(3)单位体积内气体分子的总平动动能为单位体积内气体分子的总平动动能为 3223221J/m1052.12731038.110013.11056.5kTpnEttt J1070.127331.8253.023RTiMmE(4)(4)由气体的内能公式，有由气体的内能公式，有60 例例5-11 容器内有容器内有CO2和和O2 两种混合气体，混合两种混合气体，混合气体的热力学温度气体的热力学温度T=290K,总的内能总的内能E=9.64105J,总质量总质量M=5.4kg，求两种气体的质量。，求两种气体的质量。解解 设设CO2的质量为

52、的质量为M1，O2的质量为的质量为M2，则，则 M1+M2=M总的内能：总的内能：RTMMRTMMEoco25262221解得：解得：M1=2.2kg,M2=3.2kg。RTiMMEmol2视为刚性分子。视为刚性分子。61 例例5-12 如图如图5-12，容器两边是同种气体，左边，容器两边是同种气体，左边的压强、温度、体积分别是的压强、温度、体积分别是p1、T1、V，右边的压强、，右边的压强、温度、体积分别是温度、体积分别是p2、T2、V；抽去中间的隔板，让；抽去中间的隔板，让两边的气体混合两边的气体混合(设混合过程中气体与外界无能量交设混合过程中气体与外界无能量交换换)，求平衡时的压强和温度

53、。，求平衡时的压强和温度。解解 因混合过程中气体与外界无能量交换，所以因混合过程中气体与外界无能量交换，所以混合前后气体的内能不变：混合前后气体的内能不变：)2(2Vpi)(2121ppp又又 p1V=v1RT1,p2V=v2RT2 p(2V)=(v1+v2)RT解得解得221121TpTpppT图5-12P1 T1 VP2 T2 V.VpiVpi2122625-6 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 气体分子热运动的一个重要特征是分子间存在气体分子热运动的一个重要特征是分子间存在频繁的碰撞频繁的碰撞(每秒钟要碰撞约上百亿次！每秒钟要碰撞约上百亿次！)。由于频繁。由于频繁的碰撞，分子的速率在

54、不断地改变着。因此，在某的碰撞，分子的速率在不断地改变着。因此，在某一个特定的时刻去观察某个特定的分子，它的速度一个特定的时刻去观察某个特定的分子，它的速度具有怎样的量值和方向，那完全是偶然的，也是毫具有怎样的量值和方向，那完全是偶然的，也是毫无意义的。无意义的。然而在平衡态下，就大量分子而言，分子的速然而在平衡态下，就大量分子而言，分子的速率分布却遵循一个确定的统计规律。这是率分布却遵循一个确定的统计规律。这是1859年麦年麦克斯韦首先应用统计概念导出的，称为麦克斯韦速克斯韦首先应用统计概念导出的，称为麦克斯韦速率分布定律。率分布定律。631.分子速率的实验分子速率的实验测定测定子子射到上面

55、的各种速率分射到上面的各种速率分可沉积可沉积弯曲玻璃板弯曲玻璃板,G 圆筒不转，分子束的圆筒不转，分子束的分子都射在分子都射在P处处圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置 ABSP P G 分分子子源源真空室真空室狭缝狭缝圆圆筒筒图5-13642、麦克斯韦速率分布律、麦克斯韦速率分布律物理含义：物理含义：显然，显然，f()值值大大，意味着：，意味着：对对大量分子而言大量分子而言，分子在速率，分子在速率 附近的单位速率区附近的单位速率区间内的分子数多，占总分子数的比率大间内的分子数多，占总分子数的比率大.对对个别分子个别分子而言，而言，其速率

56、分布在其速率分布在 附近单位速率区间附近单位速率区间内的概率大内的概率大。23)2(4kTmkTme222f()NddN(5-15)65讨论讨论：麦克斯韦速率分布曲线：麦克斯韦速率分布曲线f()o d f()窄带面积窄带面积df)(NdNNddNd含义：速率分布在含义：速率分布在 附近的附近的d 区间内的分子数占总分子区间内的分子数占总分子数的比率数的比率 或者：或者：多次观察一个分子发现其速率分布在多次观察一个分子发现其速率分布在 附近附近d 区间内区间内的概率的概率66f()o d f()曲线下总面积曲线下总面积0)(df1NdNdNddN001)(0df麦氏速率分布函数的归一化条件麦氏速

57、率分布函数的归一化条件67麦克斯韦速率分布函数随温度麦克斯韦速率分布函数随温度T T的变化的变化 2232224vekTmvfkTmv vfv 对于给定气体对于给定气体f f（v v）只是只是T T 的函数。的函数。T1T2T T，速率分布曲线如何变化？，速率分布曲线如何变化？温度升高，温度升高，速率大的分子速率大的分子 数增数增多，曲线峰右移，曲线下面积多，曲线峰右移，曲线下面积保持不变，所以峰值下降。保持不变，所以峰值下降。T1 MmolH222pHpovv曲线曲线1代表代表O2分子，分子，曲线曲线2代表代表H2分子分子smvpH/4000275o(m/s)f()曲线曲线1曲线曲线2400

58、0 p1413222222molOmolHpHpoMMvvsmvvpHpO/10004122smvOp/1000276平均速率：平均速率：平均速率定义，有：平均速率定义，有：vvdN0N1NddNf()dvvNfdN)(NdvvvNfNvdNv00)(dvvekTmdvvvfkTmv3223002)2(4)(mkT8molmolMRTMRT6.18(5-17)772vdNv20NdvvNfdN)(02)(dvvfvmkT32vmkT3molMRT3molMRT7.1三种统计速率的比较三种统计速率的比较:共同点共同点:三者均三者均 ,molM1 T 不同点：不同点：2vvvp用途不同：用途不同：

59、讨论分子速率分布问题；讨论分子速率分布问题；pv讨论分子的碰撞问题；讨论分子的碰撞问题；v讨论分子的能量问题讨论分子的能量问题。2v(3)方均根速率方均根速率78例如：已知氧分子例如：已知氧分子KgMmol31032KT273smvp/378smv/4612smv/42779(4)三种统计速率讨论三种统计速率讨论 pvv都与都与 成正比，成正比，与与 （或（或 ）成反比）成反比TmMf(v)vpvv2v一定温度时，一定温度时，2vvvp三个速率在不三个速率在不同情况下使用同情况下使用2v80温度越高，速率大的分子数越多温度越高，速率大的分子数越多.温度升高，分布曲线中的最可几温度升高，分布曲线

60、中的最可几速率速率vp增大，但归一化条件要求曲增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线线下总面积不变，因此分布曲线变平坦，高度降低。变平坦，高度降低。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2321TTT 81 本节总结：本节内容的重点是本节总结：本节内容的重点是麦氏分布函数的物麦氏分布函数的物理含义理含义以及由它导出的气体分子的以及由它导出的气体分子的三种统计速率分三种统计速率分布布，对麦氏速率分布函数不必背记。，对麦氏速率分布函数不必背记。关于速度分布函数和葛正权实验了解即可，不必深究。关于速度分布函数和葛正权实验了解即可，不必深究。练习题：练习题：说明下列

61、各式的物理意义：说明下列各式的物理意义：pdf)(NddNpd pdNN=NNpv含义：含义：1 2A 8221)(dNfNddNN21d NdN 21 1 2含义：含义：21)(dvf21)(df=21vNddNd 21NddNd=21vdN21dN含义：分布在含义：分布在 1 2区间内的分子的平均速率区间内的分子的平均速率BC=分布在分布在 1 2区间内的分子区间内的分子 1 2区间内的分子的速率总和区间内的分子的速率总和速率速率83 用用 f()表示下列各种说法：表示下列各种说法：A 速率大于速率大于 的那些分子的速率平方的平均值的那些分子的速率平方的平均值pvpdNv2pdNNf()d

62、 pv2dN=Nf()d Nf()d pf()d pv2f()d pB 速率在速率在 区间内的分子的平动动能的总和区间内的分子的平动动能的总和 1 2dNEK2122121mvNf()d=84dN=Nf()d C 速率在速率在 区间内的分子的平动动能的平均值区间内的分子的平动动能的平均值 1 2dNEK2121dN22121mvNf()d 21Nf()d=22121mvf()d 21f()d=85例例5-13.求：求：27oC 时氢分子、氧分子的最概然速率、时氢分子、氧分子的最概然速率、平均速率和方均根速率。平均速率和方均根速率。解解 系统的热力学温度系统的热力学温度K15.3002715.2

63、73T氢分子的摩尔质量氢分子的摩尔质量1311002.2molkg 氧分子的摩尔质量氧分子的摩尔质量1321032molkg 1 11 14 41 11 1 RT.vp 1315671002.215.30031.841.1ms11117786.1ms RTv1121192273.1ms RTv12239441.1ms RTvp12447msv122483msv86 例例5-14 假定假定N个粒子的速率分布函数为个粒子的速率分布函数为)(f),0(;sin为常数oooC.0)(o 求求(1)归一化常数归一化常数C;(2)处在处在f()的粒子数。的粒子数。C2o图5-14 of()1sin0odC

64、o解解 (1)由归一化条件由归一化条件:01)(dfoC287(2)处在处在f()的粒子数的粒子数:C2oC2,)(f),0(;sin为常数oooC.0)(oo图5-14 of()dC2oCsin由656oo656oooCsinN所以所以f()的粒子数的粒子数:C2N865.021sino885-8 分子的平均碰撞次数及平均自由程分子的平均碰撞次数及平均自由程 在室温下在室温下,气体分子以每秒几百米的平均速率运动气体分子以每秒几百米的平均速率运动着。这样看来着。这样看来,气体中一切过程都应在一瞬间就会完气体中一切过程都应在一瞬间就会完成，但实际情况并不如此。例如，打开香水瓶后成，但实际情况并不

65、如此。例如，打开香水瓶后,香香味要经过几秒到几十秒的时间才可能传到几米远的地味要经过几秒到几十秒的时间才可能传到几米远的地方。这是为什么呢方。这是为什么呢?这是由于分子间存在频繁的碰撞这是由于分子间存在频繁的碰撞(每秒钟要碰撞约每秒钟要碰撞约上百亿次！上百亿次！)，结果使分子走过一条艰难曲折的道路。，结果使分子走过一条艰难曲折的道路。事实上事实上,气体中发生的过程都取决于分子间碰撞的气体中发生的过程都取决于分子间碰撞的频繁程度。因而频繁程度。因而,对碰撞问题的研究具有重要意义。对碰撞问题的研究具有重要意义。89 平均碰撞频率平均碰撞频率每个分子在每个分子在1秒内与其他分子的秒内与其他分子的平均

66、碰撞次数。平均碰撞次数。自由程自由程分子在连续的两次碰撞之间分子在连续的两次碰撞之间,作惯性支作惯性支配的自由运动所通过的路程。配的自由运动所通过的路程。平均自由程平均自由程自由程的平均值。自由程的平均值。可以证明：平均自由程为可以证明：平均自由程为式中：式中：d为分子的有效直径，为分子的有效直径，n为分子数密度。为分子数密度。显然，平均碰撞频率为显然，平均碰撞频率为ZpdkTnd22221(5-23)(5-24)901 1、分子的平均碰撞次数、分子的平均碰撞次数:设分子设分子 A 以相对平均速率以相对平均速率 v 运动，其它分子可设为静止。运动，其它分子可设为静止。运动方向上，以运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞碰撞该圆柱体的面积该圆柱体的面积 就叫就叫 碰撞截面碰撞截面 =d2A dddvvnvdz2 nvdz22一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率平均碰撞频率 Z Z动态动态演示演示一切分子都在运动一切分子都在运动912、平均自由程、平均自由程一个分子连续两次碰撞之间经历的平