浙江专版2019版高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2二项式定理课件

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1、11.2 二项式定理,高考数学,考点二项式定理及应用 1.二项式定理:(a+b)n=an+an-1b1+an-rbr+bn(nN*).这个公 式所表示的定理叫做二项式定理. 2.几个基本概念 (1)二项展开式:二项式定理中的公式右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式. (2)项数:二项展开式中共有n+1项. (3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数(r=0,1,2,n)叫做二项式系数. (4)通项:二项展开式中的an-rbr叫做二项展开式的通项,用Tr+1表,知识清单,示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1=an-rbr(r=0,1,n). 3.在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得

2、到公式:(1+x)n=1+x+x2+x3 +xn.如果设a=1,b=-x,则得到公式:(1-x)n=1+(-1)1x+x2+(-1)n xn. 4.二项式系数与项的系数是不同的,如(a+bx)n(a,bR)的展开式中,第r+1项的二项式系数是,而第r+1项的系数为an-rbr. 5.通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式的某一项或系数.在运用公式时要注意以下几点: (1)an-kbk是第k+1项,而不是第k项; (2)运用通项公式Tk+1=an-kbk解题时,一般都需先转化为方程(组)求 出n、k,然后代入通项公式求解;,(3)求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程

3、求出k,再求所需的某项;有时需要求n,计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系. 6.在(a+b)n的展开式中,令a=b=1,得+=2n;令a=1,b=-1,得- +-+=0,+=+=2n-1. 7.对二项式系数性质的理解 (1)对称性:由组合数的性质“=”,得从“=1”开始,由左右 向中间靠拢,便有=,=, (2)最大值:当n为偶数时,(a+b)n的展开式有n+1项,n+1是奇数,这时展开式的形式是,中间一项是第+1项,它的二项式系数是,它是所有的二项式系数中 的最大者. 当n为奇数时,(a+b)n的展开式共有n+1项,n+1是偶数,这时展开式的形式是 中间两项是第、+1项,它们的二

4、项式系数是、,这两,个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大者.,求指定项或指定项的系数的解题策略 求二项展开式中指定项或指定项的系数,通常是根据已知条件,利用通项公式求r,再求Tr+1或Tr+1的系数,有时还需先求幂指数n,再求r,才能求出Tr+1或Tr+1的系数. 例1(2017浙江“超级全能生”联考(3月),2)在二项式的展开 式中,常数项是() A.-240B.240 C.-160D.160,方法技巧,解题导引 求二项展开式的通项令x的指数为0,得k的值计算得常数项,解析二项式的展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k= (-1)k26-k x6-2k,令6-2k=0,得k=3,则展开式

5、中的常数项是(-1)323=-160,故选C.,评析本题考查二项展开式的通项公式,由二项式定理求指定项系数,考查运算求解能力.,求二项式系数和与展开式系数和的解题策略 对于二项式系数和与展开式系数和问题,首先,应掌握二项式系数的性质:+=2n,+=+=2n-1.其次,要掌握 赋值法. 例2(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,6)若(1-4x)2 017=a0+a1x+a2x2+a2 017x2 017,则+的值是() A.-2B.-1C.0D.1,A,解题导引 令x=0,得a0的值令x=,得结论,解析当x=0时,a0=1;当x=时,(-1)2 017=a0+,所以+ +=-2.故选A.,评

6、析本题考查二项展开式系数的性质,赋值法求展开式系数,考查推理运算能力.,二项式定理综合应用的解题策略 1.用二项式定理进行近似计算,先要观察精确度,再选取展开式中若干项. 2.用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式,再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决. 3.证明与组合数有关的恒等式、不等式问题时,通常表现为二项式定理的正用或逆用,再结合恒等式、不等式证明的方法进行论证,应用时应巧妙地构造二项式. 例3今天为星期一,则2100天后为星期.,解题导引 把2100变形为2(7+1)33的形式由二项式定理展开得2100被7除的余数得结论,解析2100=8332=(7+1)332=2(733+732+7+),此数被7除后余 2.故2100天后为星期三.,答案三,评析本题考查利用二项式定理计算余数问题,指数运算等知识,考查推理运算能力.,