浙江专版2019版高考数学一轮复习第五章平面向量与解三角形5.3正弦余弦定理及解三角形课件

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1、5.3 正弦、余弦定理及解三角形,高考数学,考点一正弦、余弦定理 1.正弦定理、余弦定理 ABC中,三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,ABC的外接圆半径为R. (1)正弦定理 =2R. (2)余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A. b2=a2+c2-2accos B. c2=a2+b2-2abcos C.,知识清单,推论:cos A=,cos B=,cos C=. 2.解斜三角形的类型 (1)已知两角一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为以下几种(在ABC中,已知a、b和角A):,上表中A为锐角且absin A时,无解;

2、A为钝角时,a=b或ab,均无解. (3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解. (4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解. 3.三角形面积 设ABC的三边为a、b、c,所对的三个角分别为A、B、C,面积为S. (1)S=ah(h为BC边上的高); (2)S=absin C; (3)S=2R2sin Asin Bsin C(R为ABC的外接圆半径); (4)S=(R为ABC的外接圆半径); (5)S=.,考点二解三角形及其综合应用 1.距离的测量,2.高的测量,3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视线在水平视线上方的叫仰角,

3、目标视线在水平视线下方的,叫俯角(如图(a)所示). (2)方位角 指从某点的正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图(b)所示).,(3)坡角 指坡面与水平面所成的锐二面角.,利用正、余弦定理解三角形 解三角形时,要注意用正弦定理,还是用余弦定理更方便、简捷. 基本原则:(1)若已知一条边和两个角,则用正弦定理;(2)若已知两条边和其中一边的对角,则既可以用正弦定理,也可以用余弦定理;(3)若已知两条边和两边的夹角,则用余弦定理;(4)若已知三条边,则用余弦定理. 例1(2017浙江名校协作体期初,17)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2,C=.

4、(1)当2sin 2A+sin(2B+C)=sin C时,求ABC的面积; (2)求ABC周长的最大值.,方法技巧,解题导引 (1)三角变换,分cos A=0和cos A0讨论利用正、余弦定理得a、b的值由面积公式得结论 (2)由余弦定理得关于a,b的关系利用基本不等式得a+b的最大值结论,解析(1)由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C,得4sin Acos A+sin(A-B)=sin(A+B),即2sin Acos A=sin Bcos A, 当cos A=0时,A=,B=,由正弦定理得a=,b=, 当cos A0时,sin B=2sin A,由正弦定理得b=2a,由余弦定理得

5、a2+b2-ab=4,解得a=,b=,(6分) 故SABC=absin C=.(7分) (2)由余弦定理可得a2+b2-ab=4, 所以(a+b)2=4+3ab4+,得(a+b)216, 所以0a+b4,当且仅当a=b=2时取等号.(13分) 故ABC周长的最大值为6.(15分),评析本题考查了利用正弦、余弦定理解三角形,三角形面积公式,三角恒等变换,利用基本不等式求最大值等基础知识,考查运算求解能力.,利用正、余弦定理解决实际问题 1.常见几种类型 测量距离问题、高度问题、角度问题,计算面积问题,航海问题,物理问题等. 2.解题时需要注意的几个问题 (1)要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找到这些角; (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件. 例2(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度,CD=m.,解析依题意有AB=600,CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45, 在ABC中,由=, 得=, 有CB=300, 在RtBCD中,CD=CBtan 30=100, 则此山的高度CD为100 m.,答案100,