函数周期性和对称性

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1、函数周期性和对称性函数的性质函数的性质 -对称性、周期性对称性、周期性函数周期性和对称性()(2)f xfax (1)(1)若若 关于直线关于直线 对称对称()yf x xa 一、函数的对称性一、函数的对称性若函数若函数 上任意一点关于某直线（或某点）上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在的对称点仍在 上，就称上，就称 关于某直线关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为自对称。（或某点）对称，这种对称性称为自对称。yfx fx yfx()()f xaf ax()(2)2f xfaxb (2)(2)若若 关于点关于点 对称对称()yf x ,a bf x af a xb ()()2两个恒等式

2、的形式均不唯一，要记住本质构造两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造.函数周期性和对称性定理：若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。)(xf)()(xafxafax cor.若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。)(xf)2()(xafxfax 即：)(,()(,(xafxaBxafxaA)()(xafxaf)2()(xafxfYXOABX=a对称轴为ax)2(,2()(,(xafxaBxfxA函数周期性和对称性定理：若函数 满足 ，那么函数关于点 对称。)(xf)()(xafxaf)0,(acor.若函数 满足 ，那么函数关于点 对称。)(xf)2()(xafxf)0,(a即：)(,()(

3、,(xafxaBxafxaA)()(xafxaf)2()(xafxf对称点为0,a)2(,2()(,(xafxaBxfxAYXOAB(a,0)函数周期性和对称性2)2)若若 ,则函数则函数 关于关于_对称对称;fxaf bxc fx注：注：1.1.当当 时时,函数关于直线函数关于直线 对称对称0a 0 x ()()f xfx 2.2.当当 时时,函数关于点函数关于点 对称对称0a (0,0)()()0f xfx 偶函数偶函数-特殊的轴对称函数特殊的轴对称函数奇函数奇函数-特殊的点对称函数特殊的点对称函数一般地一般地,1),1)若若 ,则函数则函数 关于关于 对称对称.fxafxb fx2abx

4、 ab c,22函数周期性和对称性y=f(x)对称源对称源性质性质点点(0,0)y轴轴y=xx=m点点(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)()()(),33,fxfxfx-=+且且Ex:Ex:若函数若函数 ()12341,2fxxxxx=使使的的 解解 是是1234=求 xxxx-+12函数周期性和对称性关于关于x=0对称对称例例1 1：已知：已知 的图象的图象,画出画出 和和 的图象，并指出两者的关系。的图象，并指出两者的关系。yfx 1fx 1fx yfx(-1,0)(-1,0)1yfx 1yfx(

5、1,0)(1,0)若函数若函数 上任意一点关于某直线（或某点）上任意一点关于某直线（或某点）的对称点在的对称点在 上，就称上，就称 和和 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互对关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互对称。称。yfx yg x yfx yg x 函数周期性和对称性一般地一般地,函数函数 和和 关于关于_对称对称.yfxa yfxb2bax 记忆：令记忆：令x+a=-x+bx+a=-x+b，可求得对称轴，可求得对称轴.变化前变化前对称源对称源变化后变化后y=f(x)y=f(x)点点(0,0)(0,0)x x轴轴y y轴轴y=xy=xy=-xy=-x直线直线x=mx=m直线

6、直线y=ny=n点点(m,n)(m,n)y=-f(-x)y=-f(-x)y=-f(x)y=-f(x)y=f(-x)y=f(-x)y=fy=f-1-1(x)(x)y=-fy=-f-1-1(-x)(-x)y=f(2m-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)y=2n-f(2m-x)函数周期性和对称性例例3 3：设：设 的图象与的图象与 的图象关的图象关于直线于直线 对称，求对称，求 的解析式。的解析式。1x fxx 21 g x g x 例例2:2:将函数将函数 右移右移2 2个单位得到图像个单位得到图像C C1 1，有，有C C1 1和和C C2 2的图

7、像关于点的图像关于点 对称，求对称，求C C2 2的的函数解析式。函数解析式。()yf x(1,2)利用对称性求解析式利用对称性求解析式4()yfx 212g xx （一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式函数周期性和对称性例例4 4：设：设 图象关于直线图象关于直线 对称对称,在在 上，上，求当求当 时时 的解的解析式。析式。21,fxx fx1x ,1 1,x ,fx例例5 5：设：设 是定义在是定义在R R上的偶函数，它的图上的偶函数，它的图象关于直线象关于直线 对称，已知对称，已知 时时,函数函数 求当求当 时时 的解析式的解析式 fx1x 1,

8、1x 21,f xx 3,1x fx 212,3,1f xxx 212,1,)fxxx (二二)、自对称问题常联系恒等式进行、自对称问题常联系恒等式进行x的变换的变换函数周期性和对称性2:(0)egyaxbxc a 关于直线关于直线 对称对称2bxa 关于直线关于直线 对称对称(0)ya xbm axb(0)ayxax 关于关于 对称对称(0)ByABCCxD 关于点关于点 对称对称,DAC 常见函数的对称性常见函数的对称性一个函数本身的对称性称为自对称一个函数本身的对称性称为自对称,分成分成 关于某直线对称或某点对称关于某直线对称或某点对称.yfx 原点原点函数周期性和对称性二、函数的周期性

9、二、函数的周期性理解理解（1 1）.是否所有周期函数都有最小正周期？是否所有周期函数都有最小正周期？1.1.定义定义:对于函数对于函数 ，若存在非零，若存在非零常数常数T T，使得，使得 恒成立，则称恒成立，则称 为周期函数，为周期函数，T T是函数的一个周期。若所有周期是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周期。期。,yfxxD fxTfx yf x (2).2).若若T T是是 的一个周期，则的一个周期，则kTkT（k k是非是非零整数）均是零整数）均是 的周期吗？的周期吗？(3)(3)周期函数的定义域周期函数的定义域

10、D D可以为闭区间吗？可以为闭区间吗？yfx yfx T=(a-b)思考：若思考：若 ,函数函数 具有什么性质？具有什么性质？fx ,fxafxbab 函数周期性和对称性函数周期性和对称性 1()(),01(2)()()(3)()()1(4)()(5)()1()()1()1(6)()7f(x)=1-1()f(x+a)1()(8)()(9)(1()（且）（）f xaf xaaRaf xaf xf xaf xf xaf xaf xf xf xf xaf xf xf xaf xf x )()(-a)af xf x 注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分非必要

11、条件非必要条件2()-()即：若推不出Taf xaf x 2Ta 2Ta 2Ta 2Ta 4Ta 2 2、常见的判断周期的恒等式、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明可用递推法证明)2Ta 2Ta 3Ta 6Ta 函数周期性和对称性3.函数的对称性与周期性的几个常见性质函数的对称性与周期性的几个常见性质。性质1.若函数 以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=)(xf）（ba,bxaxba2X=aX=b()()()()()()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)()(22),()2|(,fxxaxbfaxfaxf bxf bxfxfaxfaxfbxfxfbxtaxbxtb

12、af tf tbafxfxbafxbaa b证 明：由图 象 有 两 条 对 称 轴，令则即所 以 函 数以为 周 期 因 不 知 道的 大 小 关 系为 保 守 起 见 我 加 了 一 个 绝 对 值函数周期性和对称性性质性质2.若函数 以 为对称点，那么此函数是周期函数，周期T=)(xf 0,0,baba 2)2()(xafxf)2(2(xabf)22(abxfab 假定(a,0)(b,0)函数周期性和对称性性质性质3.若函数 以 为对称点，以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期 T=)(xf0,aba4)2()(xafxf)2(2(xabf)22(22(abxabfab 假定bx)22

13、(xabf)44(xabfX=b(a,0)XYO函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性函数周期性和对称性练习练习1:1:定义在定义在R R上的函数上的函数 满足满足且方程且方程 有有10011001个根，则这个根，则这10011001个根的个根的和？和？()f x()(4)f xfx ()0f x 4:4:如果如果 那么那么 1,xxaf xaaa 129_.101010fff 12310_.11111111ffff 3 3：如果：如果 那么那么 4,42xxfx 592

14、2:2:函数函数 图象关于点图象关于点 对称，则对称，则 yf x 11,22 (3)(2)(1)(0)(1)(2)(3)(4)ffffffff 4 2002函数周期性和对称性5:(1)5:(1)定义在定义在R R上偶函数上偶函数 满足满足 则方程则方程 在区间在区间 上至少有上至少有()()个根。个根。(2)(2)将上题中的将上题中的“偶函数偶函数”改成改成“奇函数奇函数”，其余，其余条件不变，则在区间条件不变，则在区间 至少有至少有()()个根。个根。yfx 20,3,fT 0fx 0,6 0,66 6：定义在：定义在R R上函数上函数 满足条件满足条件:不是不是 常值常值函数；函数；则下

15、则下列命题中正确的是列命题中正确的是()()yfx fx 2;fxfx 11.fxfxA.A.是周期函数是周期函数 B.B.关于关于 对称对称 C.C.关于关于y y轴对称轴对称 D.D.关于原点中心对称关于原点中心对称 fx1x fx fx fx47,A B C重要结论：若重要结论：若 奇，且周期为奇，且周期为T T，则必有，则必有 fx02Tf 注：可用模拟图，直观明了注：可用模拟图，直观明了TTTTTx=-f(-+T)=f(-)=-f()f()=022222令，由得函数周期性和对称性思考：若思考：若 周期为周期为 ，又，又 关于关于 对称，能否推出对称，能否推出 是偶函数？若能，是偶函数

16、？若能，能否严格证明？能否严格证明？yf x 2Ta yfx xa yfx 练习练习:1.1.若若 为定义在为定义在R R上的奇函数，且关上的奇函数，且关于直线于直线 对称，问：对称，问：是否为周是否为周期函数？若是，求出它的一个周期。期函数？若是，求出它的一个周期。yfx 0 xb b yfx 2.2.若若 为定义在为定义在R R上偶函数且满足上偶函数且满足 问：问：是否关于直线是否关于直线对称？若是，请给出证明。对称？若是，请给出证明。yfx yfx 1,f xf x 1x 3 3：设奇函数：设奇函数 ，且，且当当 则则 ,yfxxR 13,fxfx 32,2,xfxx 113.5_.f

17、15 4Tb 函数周期性和对称性()()(4),()236(),(),(4)55yf xf xfxf xfff4.已知函数满足且在（，）上为增函数，比较的大小.33176614f=f-ff=f-f5555551417fx+45563ff55解：（）（4）=（）（）（4）=（）又（）在（2，）上单调递增，而（）（）f(4)函数周期性和对称性5 5：设：设 是定义在是定义在R R上的偶函数，它的图象关于上的偶函数，它的图象关于直线直线 对称，已知对称，已知 时时,函数函数 求当求当 时时 的解析式。的解析式。fx1x 1,1x 21,fxx 3,1x fx 212,3,1f xxx 6 6：函数：函数 是定义在是定义在R R上的偶函数，且对任意上的偶函数，且对任意的实数的实数x x，都有，都有 成立，若当成立，若当 时，时，(1)(1)求求 时，函数时，函数 的表达式；的表达式；(2)(2)求当求当 函数函数 的表达式；的表达式；(3)(3)若函数若函数 的最大值为的最大值为 解关于解关于x x不等式不等式 yfx 11fxfx 1,2x log1.ayx a 1,1x fx 21,21,xkkkZ fx fx1,2 1.4fx