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1、朝阳区 选修2-3 计数原理 教材分析北京市陈经纶中学 黎宁 2012.3计数原理是数学（选修2-3）第一章的内容，包括“1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理计数”，“1.2排列与组合”，“1.3二项式定理”三节。这一章的内容包括学习两个基本计数原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。一、知识结构框图二、课程标准的要求与建议课程标准关于这部分的内容与要求：计数原理(约14课时)（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际
2、问题。（2）排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。（3）二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。三、考试说明中“计数原理”部分的考试范围与要求层次：考试内容要求层次ABC计数原理加法原理、乘法原理分类加法计数原理、分步乘法计数原理用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题排列与组合排列、组合的概念排列数公式、组合数公式用排列与组合解决一些简单的实际问题二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题与2009年考试说明比较，2010年北京考试说明删去了组合数的两
3、个性质的要求，将分类计数原理与分步计数原理的要求由C层次降为B层次。2011年北京考试说明对于本章知识的要求没有变化。四、近几年北京考题浏览 (2005北京理7 ) 北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （A） （B） （C） （D） 答案：A(2005北京理11) 的展开式中的常数项是 （用数字作答）答案：15 (2005北京文8) （8）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（A）种 （B）种 （C）种 （D）种答案
4、：B(2005北京文10)的展开式中的常数项是 （用数字作答）答案：20(2006北京理3)在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A）36 个 （B）24 个 （C）18 个 （D）6 个 答案：B(2006北京理10)在的展开式中，的系数中_（用数字作答）.答案：14 (2006北京文4)在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（A）36个 （B）24个 （C）18个（D）6个答案：A(2006北京文10)在的展开式中，x3的系数是 .（用数字作答）答案：84(2007北京理7)记者要为5名志愿都
5、和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）1440种960种720种480种答案：B(2007北京文5)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）个个个个答案：A(2008北京理11)若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 （用数字作答）答案：5，10(2008北京文12)的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 （用数字作答）答案：10，32(2009北京理6)若为有理数），则 A45 B55 C70 D80答案:C(2009北京理7)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的
6、个数为 A324 B328 C360 D648答案:B(2009北京文3)若为有理数），则 A33B29C23D19答案：B(2009北京文5)用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为A8B24C48D120答案：C(2010北京理4)8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A） （B） （C） （D） 答案：A(2011北京理12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个。（用数字作答）答案：14五、课时安排1本章有三节内容，共14课时，具体分配如下（供参考）：11分类加法计数原理与分步乘法计数原理-约4课时12排列与组合
7、-约6课时13二项式定理-约3课时小结与复习-约1课时六、本章的重点和难点（1）重点：两个计数原理，排列、组合的意义及排列数、组合数计算公式，二项式定理两个计数原理是最基本而重要的（2）难点：正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题七、教材分析及教学建议（一）分类加法计数原理和分步乘法计数原理（二）排列与组合（三）二项式定理A、B版教材的比较：两个原理部分，A版教材举出9个例题，其中5个例题背景复杂，涉及物理、生物、计算机的专业知识，而B版教材只举了3个例题，且偏重“数学化”。我想B版教材这样的安排并不是说明两个原理不重要，而是它们将渗透在后面的排列组合问题当中。我们在处理这部分教
8、学时，不要被教材中繁难的应用背景困住了手脚，重在让学生能够分析问题，利用分类和分步将问题简单化而得以解决。八、例题分析【排列与组合】分步计数1.（2010年，湖北文）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是AB. C. D.答案：A解析：根据分步乘法计数原理可得2.（2009年，宁夏海南卷）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答）。解析：，答案：1403.（2010年，崇文区一模，7题）2位男生和3位女生共5位同学站成一排若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则
9、不同排法的种数为 （A）36 （B）42 （C） 48 （D） 60答案：C分类讨论的思想(2011北京理12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个。（用数字作答）答案：14解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：144.（2010湖南理）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信
10、息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10 B.11 C.12 D.15答案：B解析：分0个相同、1个相同、2个相同分类讨论：若0个相同，共有1个；有1个相同，共有个；若2个相同，共有个，共有1+4+6=11个5（2011年1月，海淀期末）由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是A 72 B. 60 C. 48 D. 12答案：B解析：分“首项”为奇数或偶数两种情况，同时注意到六位数的首项不能为0，所以满足条件的六位数的个数是，故选D.6.（2009年，重庆卷，改编）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙
11、馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的取法为 种。答案：720解析：所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类。间接法7.（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种 答案：A解析：直接法一男两女,有C51C425630种,两男一女,有C52C4110440种,共计70种 间接法任意选取C9384种,其中都是男医生有C5310种,都是女医
12、生有C414种,于是符合条件的有8410470种. “插空”与“捆绑”8.（2010北京理）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A） （B） （C） （D） 答案：A9.（2009年，浙江卷，改编）在这个自然数中，任取个数设X为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时组数是），则组数X= 0的取法有 种，组数X=1的取法有 种，组数X=2的取法有 种。答案：35，42，7.*附原题：（2009浙江卷理）在这个自然数中，任取个数 （I）求这个数中恰有个是偶数的概率； （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此
13、时的值是）求随机变量的分布列及其数学期望先分组再排序10.（2009浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）答案：336 解析：对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种. 平均分组11.，改编）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的分法有 种。答案：315解析：=315【二项式定理】（2011年，全国新课标卷，8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40答案：D解析：令，求的展开式的常数项为.本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题12.（2010年，海淀一摸，12题）在二项式的展开式中，的系数是，则实数的值为 . 答案：113（2010辽宁理）的展开式中的常数项为_.答案：-5解析：的展开式的通项为，当r=3时，当r=4时，因此常数项为-20+15=-5。7
高二计数原理教材分析(印刷-黎宁2012-3-26
