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1、n次牛顿插值多项式为Nnx a0a1xx0a2xx0 xx1anxx0 xx1xxn1定义零阶差商为fxi fxi定义fx在点xi,xj处的一阶差商为f xi,xjfxj fxixj xifxifxjxi xjxi xj定义fx在点xi,xj,xk处的二阶差商为f xi,xj,xkf fxjfxifxkxj,xk f xi,xjxk xixi xjxi xkxj xixj xkxk xixk xj定义fx在点x0,x1,xm处的m阶差商为fx0,x1,xmfx1,xmx0,x1,xm1xm x0j0mxj x0 xj xj1xj xj1xj xmfxj通过上式可以发现差商具有对称性，即任意调换
2、节点的次序，不会影响差商的值，例如fx0,x1,x2 fx1,x2,x0 fx1,x0,x2通过满足插值条件Nnxi fxi i 0,1,2,n，有Nnx0 fx0 a0 a0 fx0Nnx1 fx1 a0a1x1 x0 a1fx1 fx0 fx0,x1x1 x0Nnx2 fx2 a0a1x2 x0a2x2 x0 x2 x1fx2 fx0 fx0,x1fx2 fx0 fx0,x1x2 x0fx0,x2 fx1,x0 x2 x0 a2x2 x0 x2 x1x2 x1x2 x1 fx1,x0,x2 fx0,x1,x2同理可证ak fx0,x1,xkk 0,1,2,n可以得到n次牛顿插值多项式为Nn
3、x fx0 fx0,x1x x0 fx0,x1,x2x x0 x x1 fx0,x1,xnx x0 x x1x xn1已知函数表x10010121111441216913x用线性插值得115 N111510.7143用抛物线插值得115 N211510.7228Matlab 代码function NewtonPolyn=3;x=100,121,144,169;y=10,11,12,13;xq=115;DiffCoeffs=DifferenceCoeffsCal(x,y,xq);yq=y(1)+sum(DiffCoeffs(1:n,1).*DiffCoeffs(1:n,2)return;function DiffCoeffs=DifferenceCoeffsCal(x,y,xq)mnum=length(x)-1;DiffCoeffs=zeros(mnum,2);for m=1:mnuma=x(1:m+1);b=y(1:m+1);DiffCoeffs(m,2)=prod(xq-x(1:m);for j=1:length(a)c=a(j);a2=a(j)-a;a2(j)=1;d(j)=prod(a2);endDiffCoeffs(m,1)=sum(b./d);endreturn;
差商与牛顿基本插值公式
