统计与概率的教学策略

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1、统计与概率的教学策略节选自教学数学教学策略 张丹 著统计与概率的内容在新课程中得到了较大重视，经过几年的实践教师们在教学中积累了丰富的策略，当然也产生了一些困惑。目前已经完成的义务教育数学课程标准修订稿对这部分做了一些调整，因此本文将在主要阐述标准要求的基础上渗透修订的精神。在课程标准修订中，确定了数据分析观念的核心词，对小学阶段统计的内容做了一些调整，同时减少了可能性的内容。但对于“随机”的学习并没有减弱，而是换了一个角度，从数据的角度体会随机，同时将数据随机作为了数据分析观念的内涵之一。本章分为两节，第一节，概述了统计与概率的内涵、教育价值和教学原则等，这是确定教学策略的基础，也是整体把握

2、小学数学课程的应有之义。第二节将围绕了数据分析观念这个核心词对于小学统计教学提出具体策略和建议。第一节 统计与概率的教学概述一、统计与概率的内涵数据能够帮助我们认识世界、做出决策和预测，而统计正是与数据打交道的科学，它是在人们对现实生活中数据资料的收集、整理、分析的过程中发展起来的。这里引用不列颠百科全书对统计学的一个定义：“统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术”。定义中有三个核心词，第一，数据。“数据”和“数”的区别是数据应有实际背景，而“数”并不一定。从这个意义上就可以理解为什么把“统计”从过去“数的运算”单独出来，成为一个独立的学习领域，统计正是通过数据处理来提取信息从而帮助人们进行决

3、策。进一步，“随着信息的迅速增长，我们需要扩大对数据的认识。事实上，现在的数据不仅仅是数，图是数据、语句也是数据。只要蕴含着一定信息，无论是什么表现形式，就是数据”史宁中，张丹，赵迪. “数据分析观念”的内涵及教学建议J.课程教材教法.2008(6)。第二，收集和分析数据。运用统计处理数据的步骤一般包括：确定需要解决的问题；决定收集数据的方法并收集数据；整理并尽可能清晰地描述数据；分析数据，并做出决策和推断。第三，科学和艺术。统计学有其科学的一方面，但也有艺术的一方面。对于同样的数据，由于背景和目标不同可以有多种分析的方法，需要根据问题背景选择合适的方法。也就是统计的方法没有简单意义上的对和错

4、，只有“好”和“不好”。 对于前两个方面广大教师通过学习和实践已经有了普遍认识，可能对第三方面还不熟悉。这里不妨来举一个案例，这是三年级教学平均数的一个片段。案例1 孩子的想法有道理吗课前教师以组为单位统计了这个班同学一分钟踢毽子的情况，并从中引用了以下两组数据在课上讨论：第三小组：25、23、34、30、47、25、26第五小组：25、31、40、33、29、31然后提出问题：请你来评判一下，哪个小组踢的好？（我们以为学生肯定会想到用第三小组平均数和第五小组的平均数来比较，然而学生却出现了很多想法，下面列举出来。）（1）我可以比较两个队中踢的最高的，也就是拿第三小组最多的那个和第五小组踢最多

5、的去比，所以第三个小组踢得好。（2）比较总数。（这个观点很容易就被其他同学否定了，觉得不公平）。（3）我可以一个一个的比，把最高的比完了，比第二高的。就是第三小组的第一名和第五小组的第一名俩俩比，然后第二名两两比，就是一个一个的对应的去比。（4）既然人数不一样，就把第五小组再增加一个或者是把第三小组去掉一个。（5）跟前面那个一个一个比差不多，比完了以后发现第三小组只有前两名比第五小组的好，其他的都不如第五小组的好。（6）用总数除以每个组的人数，也就是用平均数来比。这个案例引发了不少讨论。第一，学生这么多方法都有道理吗？第二，有的教师会说这节课的目标是认识平均数，课堂上是否是有必要花这么长时间讨

6、论不同的方法，反而冲淡了对平均数的理解。其实，这个案例正好帮助我们理解刚才提到的，同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。“要判断哪个组拍得好，首先得定义什么叫好。好的标准跟研究的目的有关。如果是提倡全民运动的话，当然大家平均下来都拍得多比较好；如果目的是选拔拔尖学生的话，当然哪组有人拍的最多就好。所要研究的问题、要达到的目标不同，选择的方法也会不同。史宁中，张丹，赵迪. “数据分析观念”的内涵及教学建议J.课程教材教法.2008(6)”那么，花这个时间值不值？这牵扯到教师对于本节课甚至是统计教学目标的理解。如果认为这节课就是在讲计算平均数，教师的直接讲授和学生练习就

7、是一个好的方法；如果认为这节课的目标还应包括对平均数意义的理解，那么就要把平均数放在实际背景中去应用，但也似乎不必需要时间来讨论其他方法；但是，如果认为平均数的教学是放在整个统计教学中的，这节课还有一个目标是帮助学生体会统计处理问题的特点，那么这个讨论就是有价值的。当然，不同的人会有不同的选择，也不是在所有的课中都要全面体现统计的内涵，只是希望教师能对统计的内涵有一个初步认识，这样在进行教学时就能有更宽的视野。最初统计工作的目的就是了解统计对象的概况、现状和趋势，所涉及的数学方法几乎都是算术的知识。处于这个水平的统计工作存在着一些很明显的缺陷，其中重要的一条是它必须观测统计对象的每一个个体。随

8、着科学技术的进步和社会的发展，现实世界中的数量关系越来越复杂，人们不可能也没有必要将涉及某一数量关系的所有数据都收集到，而经常会根据部分数据对总体所具有的规律做出“推断”，为了使这种推断科学化，就需要概率来帮忙了。概率是研究随机现象的科学，人们逐渐认识到生活中大量存在着随机现象，并且认识到这些现象表面看无规律可循，在相同的条件下出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量重复试验时，试验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。如掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数是随机的，但大量重复投掷骰子，点数的分布会呈现某种规律（即所有掷出点数的频率均稳定在1/6）。于是人们希望寻找随机现象的规律。如果也用一句话来

9、描述概率的话，概率是从数量上研究随机性的学科，它从偶然性因素和影响中寻求必然的数量规律，并对这些偶然性影响给以数量的刻画和分析。统计在收集数据和运用数据做出推断等方面吸收了概率的成果和方法，产生了以抽样为特征的数理统计学。数理统计学是运用统计方法研究随机现象、描述随机现象总体趋势的数学模型，它不把注意力停留在个别现象的特征上，而是了解大量随机现象的总体变化趋势，并由此得出随机现象的统计规律，进而获得关于社会发展、科学发现的统计预测。最后，再简单地分析一下统计与概率的关系。实际上，统计与概率都是研究随机现象的学科。“不论怎么说，机遇（或说偶然性)无所不在，机遇伴随着人的一生(当然随人的情况而有异

10、)，这是一个无法回避的现实” 陈希孺.机会的数学M.北京：清华大学出版社，广州：暨南大学出版社，2000：3。统计与概率正是从不同的角度研究如何刻画随机现象，统计侧重于从数据来刻画随机，概率侧重于建立理论模型来刻画随机。另一方面，概率为统计提供了理论基础。在运用样本估计总体的过程中，抽样的合理性、样本推断总体的合理性，包括犯错误的风险，都需要概率的知识来提供科学依据（这在下文还要论述）。“机遇(机会)的数学，它包含数学中的两个学科分支概率论和数理统计学。大体上说，前者属于机遇数量化的理论基础。而后者则是其应用。 陈希孺.机会的数学M.北京：清华大学出版社，广州：暨南大学出版社，2000：5”二

11、、统计与概率课程的教育价值由上可以看出，客观地提炼和表述现实世界中广泛存在的随机信息，准确地分析和把握随机信息中关键因素的规律性，科学地应用数据做出正确决策是统计与概率的主要任务，而这也构成了在义务教育阶段学习统计与概率的重要原因。具体来说，学习统计与概率将有助于学生适应现代社会的需要；有助于培养学生形成运用数据进行推断的思考方式；有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。1有助于学生适应现代社会的需要义务教育的重要目标是培养适应现代生活的合格公民。而在以信息和技术为基础的现代社会里，充满着大量的数据和随机现象，各种信息量成倍地增长，需要人们面对它们做出合理的决策。事实上，每个人几

12、乎每天都会遇到需要判断和推测的事情。在商店购物时，要对商店的信誉做出判断；出门时，要对未来的天气做出预测；上班时，要对上班路线及交通工具做出选择；对于商业部门管理人员来说，经营哪种商品需要估计风险、利润；许多公共政策的制定都需要基于对数据进行分析；至于抽样方法在验货、检查产品质量时不可避免地要用到；各种保险、商品有奖销售、股票行情这些与数据、机会联系在一起的现象成为街头巷尾议论的热题。总之，生活已先于数学课程将统计与概率推到了学生的面前，统计与概率的思想已渗入人们日常生活和社会生活的方方面面。众多的例子表明，随着计算机等信息技术的飞速发展，数据日益成为一种重要的信息，21世纪的公民面临着更多的

13、机会和挑战，常常需要在不确定情境中，根据大量无组织的数据，做出合理的决策，这就需要人们能对纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，具有一定的收集与处理信息、做出决策的能力，并且能够进行有效的表达与交流。而统计与概率正是通过对数据的收集、整理和分析，来为人们更好的制定决策提供依据和建议。因此，要培养学生具有收集并处理数据、做出恰当的选择和判断的能力，以适应现代社会的发展，就必须将统计与概率的基本思想、方法和知识作为义务教育阶段数学课程的重要组成部分。统计与概率的学习必将为数学与学生的日常生活及其他学科联系起来提供一条自然的途径。2有助于培养学生形成运用数据进行推断的思考方式除了能解决实际问题以外，统

14、计与概率还提供了“运用数据进行推断”的思考方式，这种思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式，它主要包括两个方面的内涵：一方面，应用统计与概率方法由部分推断总体具有随机性，用统计与概率来解决的问题，其结论往往是以不确定现象和不完全的信息作为依据，这样的结论是可能犯错误的，这一思想方法与确定性思维存在着很大的差异。但统计与概率的基本思想又是一种重要的思维方式，它和确定性思维一样成为人们不可缺少的思想武器，由样本数据进行推断同样也是有力而普遍的方法。因为，在自然界和人类事物中，严格确定性的范围十分有限，随机现象却是大量存在的，而统计与概率正是对随机变化的数学描述，它能够帮助我们做出

15、合理的决策，并能告诉我们犯错误的概率。统计不只是一套技术，它是处理数据中的一种态度，尤其是它承认数据和数据收集中不确定性和可变性的事实。因此，统计与概率内容是义务教育阶段唯一培养学生从随机的角度来观察世界的数学内容，它能使人们在面对这种不确定性时做出决策。二是从科学思维方法上看，科学起源于经验的观测。经验性的观察积累了数据，然后从数据做出某种判断。这种科学活动当然要依据各门学科自身的规律，但是统计方法正发挥着越来越大的作用。统计与概率发展到今天，它的理论和方法不仅越来越深入地渗透到物理、化学、生物、医学、地质、文学等几乎所有学科中，而且还越来越普遍地应用到工农业生产、气象与地震预报、经济管理、

16、电子技术与计算机等各个部门。为此，义务教育阶段应当使学生了解统计与概率的基本思想和方法，初步形成运用数据进行推断的思考方式，养成尊重事实、用数据说话的态度，能明智地应付变化和不确定性，自信而理智地面对充满信息和变化的世界。3有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展在运用统计与概率的知识和方法解决实际问题的过程中，学生需要从日常生活中发现与数据有关的问题；从实际问题中收集最有用的信息；根据收集到的数据构建一个适当的数学模型；利用多种知识来求解数学模型；根据数学模型的解做出决策，以解决实际问题。在这一过程中，学生不仅仅将综合运用所有领域的知识来解决问题，还将促进自身多方面的发展，包括对

17、日常生活中蕴涵的数学信息比较敏感，具备一定的应用意识；具备观察、操作、推理、交流的能力；具备提出问题和综合运用所学知识和方法解决问题的能力；了解数学与客观世界的广泛联系以及数学内部的联系，获得对数学较为全面的认识；形成尊重事实、用数据说话的科学态度；逐步形成数学学习的兴趣和自信心，获得对数学学习的良好情感体验等。三、统计与概率课程的教学原则综上所述，统计与概率的思想、方法和知识将有助于学生更好地认识人、自然和社会，在面对大量数据和不确定情境中制定较为合理的决策，它是学生未来生活所必需，是他们就业和进一步学习所不可缺少的素养。使学生具备一些统计与概率的基本思想、方法和知识，学习从随机的角度来观察

18、世界，具备一定的收集数据、整理数据、分析数据、根据数据进行合理推断、并进行交流的能力，是义务教育阶段统计与概率课程的主要目标。为了实现上面的目标，在教学上应注意遵循以下原则：首先必须明确的一个原则是，应该把统计与概率思想作为义务教育数学课程的主线之一，而不仅仅作为数与代数的某个单元。这主要基于两个原因，一是这部分内容具有重要的教育价值，这在前面已经讨论过，特别是现代社会中每一个合格公民应具备的收集数据、整理数据、分析数据的能力，需要从小进行培养。同时，统计与概率以随机现象为研究对象，是从随机中去寻找规律，这对学生来说是一种全新的观念，如果缺乏对随机现象的丰富体验，学生往往较难建立这一观念，因此

19、应该尽早把随机的思想渗透到教学中。当然统计与概率的教学必须符合学生的年龄特征，采取循序渐进的方式。为此，标准将“统计与概率”作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一，从小学起就安排了有关的学习内容。第二，要使学生接受统计特有的观念，最有效的方法是让他们真正投入到产生和发展统计思想的全过程。因此，在教学上应鼓励学生经历收集、整理、分析数据的全过程，体会统计与概率的基本思想和方法。第三，统计与概率的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用。因此，教学中，应通过选择现实情景中的数据，使学生理解概念、原理的实际意义；着重于对现实问题的探索，解决一些实际问题，使学生认识到统计与概率在日常

20、生活及各学科领域中的广泛应用。第四，计算器、计算机的普遍应用不仅使信息越来越以数据的形式表现，同时可以使学生将主要精力放在对统计与概率意义的理解上。计算器可以处理复杂的数据，计算机可以大大提高数据整理和显示的效果，在建立、记录和研究信息方面，为学生提供了一个良好的工具，可以使学生有充足的时间来研究现实世界中的问题，理解统计的思想方法。当学生对一个随机现象进行实验时，计算器和计算机可以产生足够的模拟结果，使学生理解随机现象的特点。因此，教学中，应强调运用计算器来处理复杂的数据，以使学生有更多的精力来处理更为现实的问题。对于有条件的地方，要充分开发和利用计算机的作用，发挥其在处理数据和进行概率模拟

21、实验中的作用。第五，统计与概率的内容和其他数学领域的内容有着紧密的联系。这部分课程的教学，应为发展和运用比、分数、百分数、度量、图象等概念提供活动背景，为培养学生综合运用知识解决问题提供机会。同时，要引导学生注意概率与统计之间的联系。统计过程不只是纯数字的运算，学生应初步体会其中所蕴含的随机性；而很多事件发生概率的获得是建立在大量数据统计的基础上的。第二节 小学统计的教学策略随着大家对统计教学的不断探索和实践，人们逐渐认识到对于这个领域的学习而言，重要的绝不仅仅是画统计图、求平均数等技能的学习。标准中将统计观念作为了核心词，在课程标准修订中，又将数据分析观念作为了核心词。那么，统计观念、或者说

22、数据分析观念到底体现在哪些方面呢？如何教学，才能更好地发展学生的统计观念呢？标准（2001）指出，统计观念主要表现在：“认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑” 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）S.北京:北京师范大学出版社，2001：4-5。不难看出，统计意识、统计过程、质疑评价是统计观念的三个方面。在课程标准修订稿中，将数据分析观念解释为：“第一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体

23、会数据中是蕴涵着信息的。第二，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。第三，通过数据分析体验随机性”史宁中、张丹、赵迪“数据分析观念”的内涵及教学建议J课程教材教法，2008（6）。与标准一样，仍将统计意识（数据意识）仍然放在了首位，并且将统计过程进一步明晰为统计的两个核心特征：通过数据分析提取信息、通过数据体会随机。我们来看一个例子，力求体现数据分析观念的内涵：为了合理安排售货员，需要人们具有数据意识，去收集必要的数据（如顾客的人数）；当数据收集后，根据背景和目的，人们会选择不同的整理数据的方法，然后分析数据提取信息，以帮助商店经历做出决策；顾客人数是随机的

24、，事先无法确定，但我们可以根据数据寻找一定的规律。案例2 售货员的人数 张饴慈等.大学文科数学M.北京：科学出版社，2001：77商店经理要合理地安排售货员的人数。售货员过多显然对商店是浪费，售货员太少将使一些顾客离去而减少商店收入。安排多少售货员依赖于顾客的人数，而顾客的人数是随机的，事先无法确定。商店经理有办法吗？假定商店经理知道任一时刻来到k个顾客的概率p如下： k 0 1 2 3 4 5 6 7 7 p 0.03 0.10 0.14 0.19 0.21 0.19 0.09 0.04 0.01 尽管经理无法预料任一时刻顾客的确切人数。也不排除某一天一个顾客也没有，而另一天有上百名顾客涌入

25、商店的极端情形。但是知道了上面的数据，经理就可以知道，安排7个售货员能以99%的概率使顾客不用等待。安排6个售货员能以95%的概率使顾客不用等待。安排3个售货员顾客要等待的概率大于50% 等等。这些信息无疑对经理安排售货员的决策起着根本的作用。为了发展学生的统计观念或数据分析观念，教师在教学中应该注意以下几个方面。一、首要是发展学生的统计意识“统计观念”的首要方面是“能有意识地从统计的角度思考有关问题，当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据，即发展学生的统计意识”张丹，吕建生，张春莉 统计观念的发展和培养J 数学教育学报 2002（2）。发展学生的统计意识最主要的方式就是让学生体会到统计是

26、有用的，数据是有信息的，也就是说统计能够帮助人们做出决策，能够帮助人们了解一些情况。在教师新课程实践中，已经积累了发展学生统计意识的教学策略，主要体现在以下几个方面：1.设计问题情境使学生体会需要收集数据要使学生接受统计特有的观念，最有效的方法是让他们真正投入到产生和发展统计思想的全过程，因此，教学中应注重设计贴近学生生活的情境，使他们经历收集数据、整理数据和分析数据的过程，逐步形成统计意识。一方面，教师要有效利用教材中创设的情境。例如,青岛版教材在一年级安排了“我换牙了”的统计活动，以儿童自己的身体创设了有趣的情境，使学生体会到收集整理数据能够帮助我们了解一些有关自己的情况。又如，北师大版新

27、世纪教材在二年级安排了学生所熟悉的“组织比赛”等活动，为了更好地组织比赛，需要调查全班同学最喜欢的体育活动，由此鼓励学生收集数据，运用统计图表示数据，分析数据，根据数据作出决定：“你认为你们班最好组织什么比赛”，以体会统计的必要性。在这里需要注意的是， 教材开始设计的问题“组织什么比赛好呢”，需要教师引导学生就“好”开展讨论，以确定“好”的标准，如组织的比赛是使尽可能多的学生喜欢，那么我们就需要“去问同学最喜欢什么活动。”另一方面，教师还需要自己善于收集和积累生活中的数据，并根据学生的特点加以有效改造，设计成学生可以学习的情境。来看下面的一个例子。案例3折线统计图的应用 执教者：北京市西城区阜

28、成门外第一小学 刘国朝片段1：上课伊始，教师请同学们欣赏一首诗:春风吹细柳，夏日荷花红。秋季枫叶美，冬雪压青松。请同学们说一说这首诗描写的是什么情景？描写四季不同的情景还可以用什么形式？学生们谈到可以是音乐、美术。教师又请同学们欣赏了春夏秋冬的四季的景色，如图41。导入：数学知识是怎样表现四季和温度的不同的变化的呢？图41然后鼓励学生思考如何运用数学知识表现四季和温度的不同变化。由此引入到可以用每月平均气温来进行刻画，以体会数据的作用以及数学刻画问题和其他学科的不同。片段2：在学生对折线统计图进行了初步练习和应用后，提供给北京和悉尼月平均气温的折线图，如图42。图42鼓励学生能从上图中获取两座

29、城市每月的平均气温，以及气温的变化情况。进一步，教师鼓励学生思考：“悉尼为什么在2000年9月15日10月1日召开夏季奥运会？北京将在2008年召开夏季奥运会，请你为召开的夏季奥运会定一个时间，并说出理由。”在讨论中学生又一次感受到数据是人们做出决策的重要依据。这样的例子还有很多，随着年级的增长，一次一次地积累经验，学生们将渐渐体会到统计能帮助人们了解事情、作出判断，也就渐渐建立起统计意识。2.分析数据能帮助人们做什么还可以在数据整理完毕以后，有一个反思的过程，讨论这些数据除了能帮助我们解决刚才提到的问题以外，还能够帮助我们解决什么问题？下面提供一个案例。案例4老师组织大家调查班级同学的身高情

30、况，把数据调查出来以后，进行了分析。最后老师鼓励学生思考：看到这些身高的数据，它们能帮助我们解决什么问题。生1：我可以了解到我们班同学的身高情况。我可以知道我自己的身高在班内处于什么情况。生2：我们班有8岁的有9岁的，我今年8岁，看到9岁同学的身高就可以先预测一下我到9岁时大概多高。生3：学校可以根据我们班的身高情况确定我们课桌椅的高度。在这个案例中，数据收集完毕以后教师组织了一个讨论，除了根据身高数据分析谁高谁矮以外，这些数据能帮助人们解决什么问题。所以，有的学生想到能帮助自己预测身高，还有的同学想到桌椅高度与身高的数据有关系。尽管孩子的想法不一定完全符合实际，但可贵的是在此过程中他们再一次

31、认识到了数据的作用。3.收集和积累统计应用的例子无论是教材中的例子也好，还是在生活中遇到的例子也好，教师应该鼓励学生积累起来并适时展示交流，学生就能体会到统计在方方面面的应用。比如，2008年北京奥运会结束了，奥运会里有哪些运用统计的例子，教师可以鼓励学生以此为情境收集数据。又如，现在商场很多地方都会设计一些摸奖游戏，有心的教师可以把它们做一些适当的改动，引进到我们的课堂教学中，这不仅仅为统计与概率的学习提供了现实的素材，还可以引导学生对生活中的一些现象树立正确的认识。还有一点是非常重要的，就是适当的做一些调研，了解学生感兴趣的素材。海淀的五一小学曾经做了一次调研，他们调查了各个年级学生在生活

32、中遇到的统计活动，并且鼓励学生从中挑选自己最感兴趣的内容。下面是一、二年级同学们收集的例子：（1）统计爸爸一周开车次数；（2）统计小区保安一小时敬礼次数； （3）统计每天写作业的时间；（4）统计作业本上小印章数量；（5）统计家里一周扔几个塑料袋；（6）统计放学后户外活动时间；（7）统计一年级同学掉牙情况；（8）统计最爱收看的电视节目。在此基础上，一年级的五个班和二年级的四个班一共360个学生，找出了自己最感兴趣的活动是“统计最爱收看的电视节目”，第二是“统计作业本上小印章的数量”，第三是统计“爸爸一周开车次数”。实际上，这个调查可以给教学带来思考和启发。比如针对最爱收看的电视节目这个素材，教师

33、就可以引导学生进一步分析男生和女生分别最爱收看什么类型的电视节目，是否有不同等有趣的问题。总之，了解学生会为我们进行教学提供非常好的依据。4.开展一些实践活动我们必须要认识到统计意识的培养，绝不能仅仅靠课堂教学，而且课堂教学由于时间和空间的限制，往往很难完整地展示统计调查全过程，所以在教学中可以适当的设计一些实践活动，将课内外结合起来。需要特别指出的是，教师要适时鼓励学生讨论收集数据的方法。我们知道，数据的来源有两种，一种是现成的数据，一种是需要自己收集的数据。在小学阶段两种来源都应该让孩子有所体验，特别是自己收集的数据。常用的收集数据方法包括统计调查、科学实验、查阅资料等。学生应该对收集数据

34、的方法都有比较丰富的体验，并且根据问题的需要来选择合适的方式来获取数据。看下面的一个案例。案例5 二年级统计图教学 执教者 清华大学附属实验小学 安华老师开始创设了一个情境：有4部动画片，想要统计班里同学最喜欢看的动画片是什么，有多少人（每人只能选择1部）。老师询问学生用什么方法收集数据，学生得出用“举手”的方法来统计比较好，于是，就采取了这个方法。统计过后出现了问题，计算合计后的举手总次数与班里实际的总人数不相等，多了3次，有人重复多举了。一般老师的处理就是问问谁多举了，然后修改一下数据，最多是再重新举一遍手，仔细再统计一次。而这位老师则组织学生进行了讨论：看来“举手”的方法有一定的局限性，

35、那么还可以采用哪种收集数据的方法。孩子们想到了不少方法，比如全体按最喜欢看的4部动画片站成四列，又如每人写一个纸条然后进行统计（类似“无记名”投票）。最后，老师组织大家先独立从4部动画片中任选一部（从四个纸条中任选一个），然后分别贴在黑板上，自然地形成了一个条形统计图。在上面的案例中，这位老师最大的不同，就是学生通过“举手”方法收集数据中出现了错误后，不是简单地修改数据，而是让学生讨论怎么办，实际上就是组织学生讨论如何来更好的收集数据，即在收集数据的方法上进行讨论。 总之，发展学生的数据意识是小学统计教学的首要目标，还需要大家继续研究实践。比如进一步积累发展学生统计意识的教学策略，包括一些富有

36、启发的情境和教学案例。特别的，我们还应深入了解学生的思维过程，研究他们是从什么时候开始初步具有统计意识的，在小学阶段的发展情况如何。二、鼓励学生有效地从数据中提取信息，体会数据蕴含着信息1.鼓励学生用多种手段整理和描述数据分类是整理数据的开始。当人们调查了一大堆数据以后，看起来很杂乱，很自然的想法是把它们分类。当然怎么分类，要根据分类的标准。教师应重视分类的教学，将分类与计数结合在一起，在分类后统计每类的数量。例如，苏教版一年级设计的统计活动（如图43），不是直接让学生计数并填写统计表。而是展示了学生不同的记录方法，在此基础上，鼓励学生讨论哪种记录方法比较清楚和方便，使学生体会到按照分类的方法

37、记录会比较清晰。又如西南版（见图44），直接呈现了从互联网上获得的原始数据，引导学生通过分类整理，从中获取信息。图43 图44我们还可以对数据进行分组。比如，苏教版四年级，设计了购买服装的情境，对于收集来的队员身高的原始数据，如果不加整理，很难从中发现一些信息，从而使学生体会到对数据进行分组的价值，如图45。图45统计图表是描述数据的重要手段，对于统计图表的学习，教师们已经积累了很多经验，这里就不赘述了，只是提出几点建议。第一，不要急于的引入常规的统计图表，而是鼓励学生用自己的方式来描述数据。早期经验的多样化，有助于儿童建立乐意创造常规图表的兴趣，也是未来学习的基础。第二，引导学生体会到引入统

38、计图表的必要性。比如说引入条形统计图，以前象形统计图是一个一个实物往上贴，此时鼓励学生想到是不是必须使用实物才行，能否用统一的记号来表示。第三，在描述数据的过程中，使学生不断体会各种统计图的特点，能根据实际问题选择合适的统计图来描述数据。第四，鼓励学生读懂媒体中的一些统计图表。2.鼓励学生分析数据，从中获取信息（1）从统计图表中获取信息统计图表教学的一个重要目标是，鼓励学生能够从统计图表中有效获取信息。这个问题也是大家普遍困惑的，到底引导学生从哪些方面来“读图”呢。Curcio (1987 )把学生对数据的“读取”分为三个水平：（1）数据本身的读取（reading the data），包括用能

39、够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有明显的答案。(2)数据之间的读取（reading between the data），包括插入和找到图表中数据的关系。这包括做比较(例如比较好、最好，最高、最小等)和对数据进行操作(例如加减乘除)。(3)超越数据本身的读取（reading beyond the data），包括通过数据来进行推断预测推理，并回答具体的问题。受这个框架的启发，教师可以从以下几个方面引导学生进行读图。第一，要读统计图表中能直接看见到或简单推理能得到的信息。包括：单个数据的多少，数据的比较（多少、倍数、百分比等）。第二，要读统计图表中蕴含的信息。包括数据的整体变化（最大、

40、最小、平均情况、变化情况、偏差、极端数据）。可以鼓励学生看一看极端数值，去思考这个极端的数据可能说明了什么，因为极端数据往往可能会反映一种很有意思的现象，或者有时候会提醒极端数据的出现是不是在收集数据中出现了什么问题等。第三，对统计图的解释。数据是含着信息的，人们光看见了数据还不够，还要尝试去解释它。包括统计图表的名字和图标（这个统计图表是用来说明什么问题的），为什么数据会呈现这种情况，统计数据能否回答开始提出的问题，能否解决其他问题，能否进行预测。第四，更进一步，就是评价意识。不仅要去阅读图表，还要对统计图表中的指标、收集数据的方法、统计图使用的是否合理、得出的结论是否有道理等进行评价。 在

41、实际教学中，教师已经开始重视上述的几个方面，特别是鼓励学生从数据中获取信息，并且进一步尝试由信息来进行预测。但是，在教学中还存在了一些误区。比如，笔者曾经遇到过不止一次这样的案例：如图46，教师鼓励学生根据某女生出生到12岁的身高，由此去预测这个学生15岁的身高（图46到图411中纵轴的身高单位为厘米）。 图46有的学生（虽然是很少数）脱离了数据去进行“预测”：“我觉得她应该能长到190厘米，因为我希望她去打篮球”。就是基于数据，学生也有五花八门的答案，有的说：“8岁到10岁长了10厘米，10岁到12岁长了24厘米，照这个趋势12到14岁要长30多厘米，我估计她到15岁要到2米了”；有的说：“

42、8岁到10岁长了10厘米，10岁到12岁长了24厘米，12岁到14岁又会回到长10厘米，我估计她到15岁快到180厘米”；还有的说：“到12岁就不怎么长了，我估计她到15岁差不多170厘米。”面对五花八门的答案，教师也觉得都有道理，不知如何引导。 这里需要注意两点。第一，预测需要基于数据。对于脱离数据进行“预测”的学生，要引导他用数据说话，虽然这个预测也有可能，但可能性不会大；第二，有时候为了更合理地预测，需要我们收集更多的数据。教师可以引导学生思考：几个学生的想法都有道理，但是要比较合理地预测，还需要我们掌握更多的信息，比如，可以收集曾经和她差不多情况的人15岁的身高来帮助预测；或者把她与当

43、地女生平均身高进行对比，看看12岁与平均身高的对比情况，由此预测15岁与平均身高的对比情况。当然，无论哪种预测都不能肯定是正确的，但会比单纯依靠这个学生以前的情况进行预测要合理。进一步，如果条件允许的话，还可以鼓励学生实际去做。在这样的思考下，一位老师做了如下的设计： 执教者 北京大学附属实验小学 李宁案例6根据统计图来进行“三次”预测第一次，教师呈现小婷（女生）出生到12岁的身高数据（如图46），鼓励学生预测她15岁的身高。和前面叙述的一样，学生基于这个数据给出了不同答案。教师没有就此结束，而是给出了小婷15岁的身高，引起学生的反思：“实际上，小婷今年已经15岁了，她的身高是168厘米”，并

44、得到图47。图47在此基础上再鼓励学生预测小婷18岁的身高。学生发现小婷1215岁增长的幅度不大，由此推断1518岁增长的幅度也会不大。那么是这样吗？有的学生提出可以找一些和小婷情况差不多的女孩，看看她们18岁时的身高。根据学生的想法，教师呈现了如下三个女生的身高（如图48，图49，图410）鼓励学生进行第二次预测。 图48 图49 图410学生发现虽然她们的身高具体数值不同，但1518岁变化趋势却比较一致，增长的幅度都不大，由此可以预测小婷到18岁很可能只比15岁时增长2厘米左右，即她18岁的身高在170厘米左右。还有的同学发现小婷的身高值与图410所表示的女生比较接近，并且比这个女生略矮一

45、些，由此根据这个女生18岁171厘米预测小婷170厘米。进一步，有的学生提出只有这三个女生的数据是否太少了，不说明一般情况，还可以收集更多的数据。于是，教师给出了北京城市女生平均身高统计图（如图411），鼓励学生进行第三次预测.图411学生发现这组数据也有这个趋势：15到18岁的身高增长的不多，由此预测小婷的身高是170厘米左右。有的学生则根据15岁时小婷的身高比平均身高多6厘米，由此估计小婷18岁时也要多6厘米，所以是169厘米左右。当然，这些预测也并不能保证一定正确。以上“三次预测”的案例是鼓励学生从数据中获取合理信息的有益尝试，在实践中我们还需要更多的案例，以及如何鼓励学生有效获取信息的

46、策略，这也构成了需要进一步研究的问题。同时，学生在读图过程中的困难有哪些等也是非常值得研究的。（2）运用统计量来分析数据目前小学阶段要求的平均数、中位数、众数，它们都是刻画一组数据集中趋势的统计量。教师们困惑的问题，这三个量之间到底有什么区别，什么时候该用什么统计量？其实，我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的（如图412）。图412只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。这也就是我们常说的平均数容易受极

47、端数据的影响。但是，平均数具有许多优点，与中位数和众数相比，平均数能更多地利用所有数据的信息。除此之外，在数学上还有一个原因：假设我们得到了2个数据，令为平均数，利用中学的知识就可以证明：是与这2个数据差的平方和达到最小的实数，即对任意的实数有。“这说明了进行数据分析时经常使用平均数的理由：使误差平方和达到最小，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。而利用中位数代表数据，是使一次损失（误差绝对值的和）最小”史宁中、张丹、赵迪“数据分析观念”的内涵及教学建议J课程教材教法，2008，（6）。而我们都知道，二次函数有着很好的数学性质，所以人们选择用平均数来进行研究，在义务教育阶段更加注重

48、平均数的教学是有道理的。在课程标准修订中在小学只要求学生正式学习平均数，而将中位数、众数的正式学习放入了初中。但是目前平均数教学也存在着问题，比如有人做过调查，学生学习了平均数会进行计算，但当遇到真正的数据需要分析时，他们却很少想到用平均数。所以说，平均数教学关键之一是发展他们的数据分析观念，使他们想到用平均数，愿意用平均数来刻画数据。我们来看下面的一个案例，学生在学习了平均数以后，师生共同讨论了三条信息，来体会平均数的意义和价值执教者 北京大学附属实验小学 王杰。案例7体会平均数的意义1利用节约用水信息深入理解平均数的意义。师：我这也有条信息，我们一起看看。（1）出示：节约用水图。师：为什么

49、要节约用水？（根据学生回答评价学生的节能意识）那我们来看看我们国家的淡水情况。（2）出示：我国淡水资源总量为28000亿立方米，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位。师：找一名同学读一读。看到这条信息你有什么感觉？（学生可能产生疑问：水并不少，世界100多个国家，我们排第四名。）（3）我们再来看看下面这条信息。出示：我国人均水资源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。师：请大家静静的读一读这条信息，你发现了什么？（这里想让学生通过名次下降或贫乏再次提起对平均数的理解。“贫乏”这个词是什么意思？有那么多水，怎么用贫乏来形容我们国家了呢？）总结：言之有理

50、，看来同学们对平均数的理解越来越深刻了，光比总量是不行的，还要看我们的人均水资源。好，那对于我们国家来说，就更应该去节约用水了。2.出示：儿童乘车免票线“长个”了的标题。师：你知道什么叫“儿童乘车免票线”吗？没错，就是这条线，我们来看看（图略）。经过市发改委与相关部门研究决定，将北京市六岁以下儿童1.1米乘车免票线提高到了1.2米。师：为什么要提高？（学生自然会想到：孩子们都长高了。）师：我们怎么去确定这个标准的呢？ （学生可能会回答：我们可以调查一下。）师：调查谁？如果数据来了，有高的、有矮的，如何处理？（这里要明确调查六岁儿童的身高，渗透抽样调查的想法。学生结合平均数的理解，回答调查完了可

51、以计算平均数。）师：总结：我们同学真了不起，既能准确理解平均数的意义，又能想到可操作的办法。那我们一起看看实际是怎样做的。据统计，目前我市6岁男童身高的平均值为119.3厘米，女童身高平均值为118.7厘米。和你们想的一样，市发改委就是参照了我市6岁儿童的平均身高，才确定了免票线的高度。看来，这平均数的作用真是不小，连确定免票线的高度都可以参照它。3. 那你们能利用平均数帮我解决判断一件事情吗？出示据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过1号桥的车辆为1756辆，需要通过2号桥的车辆965辆（两个桥的宽度等条件差不多）。王老师回家这两条路都可以，并且驾车路程差不多你们觉得我走哪好？那我走

52、那一定快吗？为什么？（学生建议教师走2号桥，但偶尔也不一定快）总结：同学们理解得很好，平均数可以用来作参考，但是它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。理解平均数有三个角度：算法理解、概念理解、统计理解，对于统计教学，概念理解和统计理解是非常重要的。在上面的案例中，第一个信息，首先提出我国为什么要节约用水，引发学生思考，然后出示我国的淡水资源情况，使学生体会我国的淡水总量很多，世界排第四位，最后出示我国的人均水资源情况。在这个过程中，学生体会到了在水资源这个问题上，我们光看总量不能说明问题，还要看人均水资源，从而体会了平均数的价值。第二个信息，儿童乘车免票线问题。这个环节不但能够使学生

53、再次体会平均数的价值，而且还渗透了抽样的想法。第三个信息，走哪条路。学生根据平均需要通过的车辆，帮助老师选择路线并且进行分析，使学生可以体会到，一方面，平均数可以用来做重要依据；另一方面，它反映的只是一般情况，并不排除某种特殊情况。从而既体会平均数的意义，又体会了数据的随机性。在实际教学中，教师普遍感觉到平均数的教学素材不够丰富，需要大力开发。同时，学生对于平均数的理解存在着不少困难，到底是什么困难，如何帮助学生克服它们。进一步，小学阶段学生对于平均数理解的层次有哪些，都需要我们认真研究。三、体会数据的随机性数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面

54、只要有足够的数据就可能从中发现规律。举一个例子，袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。再举一个案例，学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的，可以让学生感悟数据的随机性；更进一步，让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很多信息，比如，通过一个星期的调查可以知道“大概”需要多少时间。不少老师有这样的一个

55、困惑，概率也是研究随机现象的，在概率中教师也组织学生做了很多摸球、掷硬币等游戏。那么为什么又提出数据的随机性呢？下面是课程标准修订组组长史宁中教授的回答史宁中、张丹、赵迪“数据分析观念”的内涵及教学建议J课程教材教法，2008，（6）。我听了一些课，老师们经常这样处理：比如对于掷一枚均匀的硬币，先得到出现正面或反面的概率是，然后让学生通过反复掷硬币去验证这个结果（）。这里有两个问题。第一，一个硬币，先假定它出现正面和反面的可能性是，这是数学（或者称为概率）。这个是通过概率的定义得到的，不是依靠掷硬币验证出来的。实际上，学生做了很多次实验也得不到，反而更加糊涂了。第二，运用定义的方式教学随机，不

56、能很好的培养学生的随机观念。需要指出的是，我们赞成做实验，赞成运用统计的思想来做实验。统计是通过数据来获取一些信息，来帮助人们做出一些判断。同样是掷硬币的问题，在统计上就会这样设计实验：先让学生多次掷硬币，计算出现正面的比例（频率），然后用频率来估计一下出现正面的可能性是多大。如果这个可能性接近的话，就推断这个硬币大概是均匀的，这是统计的思想。对于先给出定义，教师往往比较习惯，而对于“逆过来”通过数据来进行推断，教师往往比较陌生。为了帮助大家理解，再阐述一下摸球的例子。同样是一个袋子里有5个球，4个白球、1个红球，如果让学生通过摸来验证出现白球的可能性是、出现红球的可能性是，这不是统计。统计是

57、这样的，告诉学生们袋子里有很多球，有白颜色的和红颜色的。让孩子们去摸，摸到一定程度的时候，学生发现摸出白球的次数比红球的次数多，由此推断袋子里白球可能比红球多。进一步的话，能推断出白球和红球的比例大概是多少。再告诉球的总数的时候，能够估计出来几个白球和几个红球，这个是统计的过程。我并不是反对前一种教法本身，而是说如果这么教，蕴含的随机思想并不强，学生也不感兴趣，都知道了概率为什么还要做实验。而后来的这种教法，学生体会到每一次摸的结果事先都不知道，但是摸多了能够帮助我们做一些判断。这样一来，学生既体会了随机，又感受到了数据中蕴含着信息，我想这种类似于“猜谜”的活动学生也会很有兴趣。从上面的一段话

58、可以看出，并不是简单地赞成或反对做实验，而是做实验的目的。不是通过实验去验证概率是多少，而是通过实验从数据中获取信息，对总体做一些推断。有关这一思想，在一些实验教材中已经作出了一些尝试。比如，北师大新世纪版五年级设计的一个活动（如图413），就是通过统计摸球的情况对袋中所装的球的情况进行推断。 图413 下面对笔者看到的教学中的试验活动做一个总结，供大家参考。l 第一类：验证下面是一个五年级的课堂教学片段：老师拿出一个盒子，盒子里有9个白球、1个黄球。如果从中任意摸出1个球，可能是什么颜色的球?摸到白球的可能性有多大，黄球呢？ (学生略做思考后交流。) 生1：可能摸到白球，也可能是黄球。 生2

59、：摸到白球的可能性是9/10，因为有10个球，其中9个是白球。 （大家都表示同意）师:好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验证一下大家的想法。本活动的目的是验证摸到白球的概率是否为9/10，如前所述是不提倡的。因为学生完全可以通过分析推理得到摸到白球的概率，他们产生不了做试验的需求。如果做了实验，摸到白球的频率往往不是9/10，学生反而产生困惑，当然也体会不到数据的作用了。l 第二类：体会随机 看下面的一个二年级的课堂教学片段：组织小组活动：盒子里有3个黄球、3个白球。每次摸出1个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的球?每次你都猜对了么? 活动结束时，老师询问:有没有每次都猜对的同学?(全

60、班只有2人举手。) 师:为什么我们那么多的同学都没有猜对呢? (此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。) 生1:黄球和白球摸在手里的感觉不一样! 师:(饶有兴趣地)真的吗?让我们见识一下! 生1:(摸出一球，没看前猜测)黄色! (拿出后是白色，生1低头坐了下去。) 师:怎么不试了? 生1：没有信心了。 师:怎么就没有信心了? 生1:摸在手里分辨不出来. 生2:我有个办法，如果第1个摸出来的是黄球，把这个黄球放回盒子，放在哪个角落第二次还从那里摸，一定还是黄球。 生3:(反驳)放回去要摇摇，你这么做就不遵守规则了。 生4:如果第一次摸出来的是黄球，第二次就猜是白球。 师:你刚才就是这样猜的，结

61、果都对了吗? 生4连连点头。 师(半信半疑地)：还有这个规律?摸1个! (生4摸出1个白球，放回。) 生4:第二次一定是黄球。(第二次生4果真摸出一个黄球。)师：看来，下次生4:第三次该是白球了!(第三次生4摸出个黄球。)师:这个规律还成立么?学生们直摇头。师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么?生:盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可能是黄球，也可能是白球.这个案例乍一看和上面的案例一样，都是摸球，但仔细分析目的是不一样的。这个试验的目的是使学生体会随机，即事先无法确定实验的结果。其实，学生对于随机的认识并不是一帆风顺的，学生们总是希望找到“确定”的结论。有的学生认为可以凭手感判断段结果，有

62、的学生把球放在固定的地方从而“破坏”随机，有趣的是还有的学生通过几个数据的黄白相间规律就去推断整体是这样的。学生出现这些想法是正常，逐渐消除学生存在的误解正是统计与概率教学的目标之一。而最好的办法就是让学生亲自试验，案例中教师正是运用了这一策略。l 第三类：推断上面已经举过这样的例子，对于这样的活动是在课程标准修订中大力提倡的，即通过数据来进行推断。这里不妨再举一例。 执教者 北京第二实验小学特级教师 华应龙师：如果说让你来判断一个骰子是否是均匀的，你有什么办法？生：抛一下。师：我还真给大家准备了两种骰子，一种骰子是均匀的，另一种是骰子是不均匀的，但不知道哪种是均匀的，哪种是不均匀的。1、2、

63、3组是一种骰子，4、5、6组是另外一种骰子。每个小组抛15次，记录下来分别是几点，然后我们简单统计一下，只统计“1”点几次，“6”点几次，因为这两个点正好在相对的两个面上，记在表里。刚才我们已经有经验了，次数少了不能说明问题，所以小组做完后，大组要将四个小组的数据合计起来。记入另一个表中。学生进行试验，并汇总得到如下结果。点数“1”“6”点数“1”“6”1组8104组1372组6145组15113组1496组129合计2833合计4027师：请看着我们试验的数据，你能不能得出什么推断？生2：1、2、3组的骰子是均匀的，4、5、6组的骰子是不均匀的。师：他的结论你们同意吗？28和33也不一样呀？生：差距比较小。师：第二组呢？