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1、几何组合应用题舒云水几何图形中的计数问题通常是组合问题，例如：求某类三角形的 个数、四面体的个数和异面直线的对数等解答几何组合应用题要注 意两点：第一点，要善于观察研究几何图形的特征、性质，从不同类 型的几何计数问题抽象出组合问题；第二点，要注意图形中的隐含条 件，分析有哪些限制条件，各种情况都要考虑到，防止多计或少计， 在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数.例1圆周上有2n个等分点(n 1)，以其中三个点为顶点的直角 三角形的个数为 解析：根据“直径所对的圆周角是直角”可得：一条直径的两个 端点与其余的(2n-2)个点的连线均构成直角，而连圆周上2n个等分点 有且仅有n条直径
2、，故可构成直角三角形的个数为：n(2n-2)二2n2-2n点评：运用几何性质“直径所对的圆周角是直角”是解决本题的 切入点，观察研究发现“共有n条直径”(图形特征)是解决本题的 关键可从最简单的n二2， 3入手探究观察发现规律.例 2 从正方体 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选 法共有A.8 种B.12 种C.16 种D.20 种解析：从6个面中选取3个面的不同取法共有c 3种，取出的36个面可分为两类：一类是 3 个面两两相邻，即 3 个面有公共点，这时，该公共点必为正方体的顶点，故属于这一类的共有8 种；另一类是 3个面中有两个面不相邻（平行），另一个面与两个平行面都相
3、交，根 据加法原理，属于这后一类的不同选法种数为：C 3 8 =12 选B -6点评：解决本题的关键是研究发现由正方体 3 个面组成的几何图 形有两类：3个面两两相邻和两个面不相邻善于观察研究几何图形 的特征是解决几何组合问题必备素养.例 3 （1）以三棱柱的顶点为顶点的四面体共有A.6 个 B.12 个 C.18 个 D.30 个（2）过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有 A.18 对 B.24 对 C.30 对D.36 对解析：（1）从正三棱柱的六个顶点中任取四个，有C4种方法，6其中四个点在同一平面内的有三 3 种（3 个侧面），共有四面体： C46-3=12 （个）.
4、选 B （2）法 1：过三棱柱任意两顶点的 15 条直线中相互配对的对数 为C 2 ，其中平行的直线有（C 2 +3）对，相交的直线有（6 C 2 +3）1535对，故异面直线有C2 - （ C2 +3） - （6C2 +3） =36对.选D .1535法 2：侧面对角线 6 条中，成异面直线的有 6 对；与每条侧面对 角线异面的棱有 3 条，共 18 对；底面各棱与每条侧棱异面的有 1 条， 共6对；在两底面上的棱相互异面的有6对所以共有6+18+6+6=36 对.以空间任意不共面的四点 A、B、C、D 为顶点都可确定一个四面 体（如图 1），而以过顶点 A、B、C、D 中的任意两点作直线一
5、共可以 作C 2 =6条，其中有3对异面直线：AB和CD、AC和BD、AD和BC,4即一个四面体的6条棱中有3对异面直线根据这个结论，可将求异 面直线的对数问题转化为求四面体的个数问题，求解就简单多了.法3：由(1)小题知以三棱柱的顶点为顶点的四面体有12个，而每个四面体中有3对异面直线，所以共有异面直线12x 3=36对选D 点评：(2)小题的解法1是间接法，解法2是直接法这两种方 法都需分类计算，比较复杂，而解法3 简洁多了，是求异面直线对数 的最好方法.练习： 1.过一个正方体任意两个顶点的直线共 28 条，这些直线 中共有多少对异面直线？2. (2007年广东卷)如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多 面体的所有顶点所确定的直线共有 _条这些直线中共有f(n)对 异面直线，则f (4)二 ； f (n) = .答案：1.174； 2. n2 + n，12，n(n 1)(n 2).2 2
几何组合应用题
