圆锥曲线与圆

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1、教师版圆与圆锥曲线间的位置关系题 1：已知 A (-2, 0)、B (2, 0),点 C、点 D 满足I AC 1= 2,1 AD 1= 2(AB + AC).(1) 求点D的轨迹方程；(2) 过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆与M、N两点，线段MN的中点到y轴的4AB =(4,距离为5，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程。 【解题思路】：先求出轨迹，再将几何条件转化为等量关系求解. 【解析】：(1)设C、D点的坐标分别为C(x0, y0), D(x, y),则AC =(x0+2, y), 0)则 AB + AC = (x0+6, y0)，故AD = 2(AB + AC)=(牛 + 3

2、,又 AD = (x + 2, y),故4).a 2 a 2 一 4,、12k I ,1因为直线l与圆x2 +y 2 =1相切，故=1，解得k2 =-3),求的a2 =8,经检验，此时 0.a 2 一 35x 2y 2故所求的椭圆方程为+宁=1.84题2.(在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的圆心在第二象限，半径为2J2且与直线X 2y 2y = x相切于原点O .椭圆= 1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 a 2910.(1) 求圆C的方程；(2) 圆C上是否存在点Q，使O、Q关于直线CF(C为圆心，F为椭圆右焦点)对 称，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1)

3、由题意知：圆心(2,2),半径242，圆C： (x + 2)2 + (y - 2)2 = 8X 2y2(2)由条件可知a = 5，椭圆25+=1， F (4,0)懈法1)若存在，直线CF的方程的方程为y = -3(兀- 4)即x + 3y - 4 = 0y=3x，X + 型-4 = 0，12 24x = 5一 4 1212，所以存在点Q， Q的坐标为(5，5) y =丿5I (x + 2)2 + (y 一 2)2 = 8(解法 2)由条件知 OF=QF，设 Q(x , y),则(：一4_= , 题4.设A、B是椭圆3x2 + y2二九上的两点，点N (1, 3)是线段AB的中点，线段AB的 垂

4、直平分线与椭圆相交于C、D两点.4X =512 y =- 丿54 12所以存在点Q，Q的坐标为(5,-5).x2y 2题3.已知椭圆C :+ a2b2=1 (a b 0)的离心率为，过坐标原点0且斜率I AB 1= 2 J0 .为2的直线1与C相交于A、B,求a、b的值；若动圆(x- m)2 + y2 = 1与椭圆C和直线1都没有公共点，试求m的取值范围.x依题意，1 : y = 21分，不妨设设A(2t, t)、B(2t, t)( t 0)2分,由丨AB I= 2Q1得20t2 = 40，t = J23分，所以-8+A = 1a2 b25分,_ fa2 b2 _ J32解得a = 4， b

5、= 26 分.x 2y 2+ = 14消去y得3x2 8mx + 4m2 +12 = 07分，动圆与椭圆没有(x m)2 + y 2 = 1公共点，当且仅当 A = (8m)2 一 4 x 3 x (4m2 +12) = 16m2 一 144 59 分,x解得I m I 510分。动圆(x - m)2 + y2 = 1与直线y =亍没有公共点当且仅由S 16I m II1 m | 5当 1，即I m I 512分。解彳一或-5卩 m I、：5卩叫5围为m I v5 m 5或 一 3 m 5 或 m 0且x + x二由N(l,3)是线段AB的中点12 k 2 + 3得 x1 ；x2 = 1,k(

6、k 3) = k2 + 3.解得k=-1，代入得，九12，即九的取值范围是(12, + 0 ). 于是，直线AB的方程为y 3 (x 1),Wx ； y 4 0.法 2：设 A(x , y ),B(x , y ),则有1 1 2 213x2 ; y2 九，11、a 3(x x )(x ; x ); (y y )(y ； y ) 0.13 x 2 ; y 2 九12121 一- 一223( x ； x ) 依题意，x 丰 x k 12 .12 AB y ； y6,从而 k 1.AB12t N(1,3)是AB 的中点, x ； x 2, y ; y1 2 1 2又由N(1,3)在椭圆内,九3 x

7、12 ; 32 12.九的取值范围是(12,；0).直线AB的方程为y 3 (x 1),即x ； y 4 0.(II)法1： t CD垂直平分AB,.直线CD的方程为y 3 x 1,即x y 2 0.代入椭圆方程，整理得4 x 2 ; 4 x ; 4 九0.又设C(x ,y ),D(x ,y ),CD的中点为M(x ,y ),则33441.x ； x34111, 且x (x ； x ) , y420x,x0034x ； 2 ,0 2是方程的两根，13即必(-苗)于是由弦长公式可得1 CD | J1 ；( k)2 1 x3 x4 | J2(九一3).将直线AB的方程x ； y 4 0,代入椭圆方

8、程得4x2 8x ; 16 -九0.同理可得丨AB 1= 1; k2 丨x x 1= 2(九12). 1 2t当九 12时&2(九-3) ,；2(九12)., AB 112，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.，点 M 到直线 AB 的距离为-4|-41于是，由、式和勾股定理可得上3 =i CD |22 2I MA |2 =| MB |2 = d 2 + I 竺 |2 = 9 + 二122 2 2故当当 12时，A、B、C、D四点在以M为圆心，罟为半径的圆上即A、B、C、D 四点共圆x2 y 2题5设椭圆C1： + b = 1(a b 0)的左、右焦点分别是F、F2,下

9、顶点为A，线段OA的中点为 B(O 为坐标原点)，如图若抛物线 C2： y = X2 - 1与y轴的交点为B,且经过F, F2点.(I) 求椭圆C1的方程；4(II) 设M (0，-)，N为抛物线C上的一动点，过52点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求 AMPQ面积的最大值.(I)解：由题意可知B (0，-1)，则A (0，-2)，故 b=2令 y=0 得 x2 -1 = 0 即 x = 1，则 F1(-1，0), F2 (1，0)，故 c=1.所以 a2 = b2 + c2 = 5于是椭圆 C1 的方程为5分(II)设N (t,t2 -1 )，由于y = 2x知直线PQ的方程为:

10、7分y - (t 2 -1) = 2t( x - t ) .即 y = 2tx - t2 - 1 .代入椭圆方程整理得： 4(1+5t2)x2 - 20t(t 2 +1)x+5(t2 +1)2 -20 =0,5t(t2 +1)x + x =121 + 5t 25(t2 +1)2 - 20x x =1 24(1+ 5t 2)故 |PQ I = J1 + 4t2 兀兀2x + x )2 -4xx1 2 1 25 1 + 4t2 耳一14 + 18t2 + 31 + 5t 210 分A = 400t2(t2 +1)2 -80(1+5t2)(t2 +1)2 - 4 = 80(-t4 + 18t2 +

11、3),设点M到直线PQ的距离为d,则d =4 + 12 15=|t 2+5& + 4t 2&+ 4t 212 分所以，AMPQ的面积S = 2PQ卜d =1 5 - 1 + 4t2 - -t4 + 18t2 + 32 1 + 5t 21 + 4t 2=滸ETi=執-E4匕看阿=晋14 分当t二3时取到“=”，经检验此时A 0，满足题意.综上可知，AMpQ的面积的最大值为丄导-15 分练习:题6已知椭圆E : - +琴=l(a 3)的离心率e =1.直线x = t (t 0 )与曲线E交于 a232不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C .(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 若圆C与

12、y轴相交于不同的两点A,B，求AABC的面积的最大值.本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解：椭圆E :+=1(a 3)的离心率e =,a232a 2 一 312分4分 a 2解得a = 2.x2y 2椭圆E的方程为T + y = 1(2)解法1：依题意，圆心为C(t,0)(0 t 2).x = t,12 - 3t 2由x 2y 2得 y 2 = = 1,443圆C的半径为r=12 - 3t 226分圆C与y轴相交于不同的两点A,B，且圆心C到y轴的距离d =

13、 t，2莎7弦长 I AB 1= 2 r2 d2 = 2;12 3t 2 厂t2 = 12 7128分9分+12 - 7t 2AABC 的面积 S = 2 -:n - 7/2=丄 X CTt )：12 7t22蕩12分42、即Pt -时，等号成立.317AABC的面积的最大值为7 -解法2：依题意，圆心为C(t,0)(0 t 2).x t,当且仅当= J12 -72 ,14分12 - 3t2x 2y 2得 y 2 =4 1,443圆C的半径为r 26分圆C的方程为(x-1)2 + y2 n .4圆C与y轴相交于不同的两点A,B，且圆心C到y轴的距离d t,12 - 3t 2门 2何. 0 t

14、，即 0 t 1 1则 AM = (m - x , -y ), MB = (x - m, y ),1 1 2 2x - m =九(m - x )21y =九 y21因为点A, B在抛物线C上，所以 y2=4x , y2=4x ,1 1 2 2由2，消去x , y , y得九x = m .2 1 2 1所以(2)10分若此直线l使得I AM I, I OM I, I MB I成等比数列，贝川OM |2=| MB I -1 AM I,-m )2 + y 2即I OM I2=X I AM I -1 AM I，所以m2 =X(x因为y2=4x，九x = m，所以m2 =(x -m)2 + 4x ，11

15、11x 111整理得 x2 - (3m - 4)x + m2 = 0，212 分 因为存在直线l使得I AM I, I OM I, I MB I成等比数列,所以关于 x1 的方程23 有正根，因为方程23 的两根之积为 m20, 所以只可能有两个正根3m - 4 0所以 0，解得m 4.A = (3m - 4)2 - 4m2 0故当m 4时，存在直线l使得I AM I, I OM I, I MB I成等比数列. 14分方法二：(II)解：设使得I AM I, I OM I, I MB I成等比数列的直线AB方程为 x = m (m0)或 y = k (x m) (k h 0),当直线 AB 方

16、程为x = m 时，A(m, “4m), B(m,04m)，因为I AM I, I OM I, I MB I成等比数列，所以 I OM I2=I MB I -1 AM I，即 m2 = 4m，解得 m=4，或 m=0(舍)8 分 当直线AB方程为y = k(x m)时，由 ym)，得k2x2(2k2m + 4)x + k2m2=0，y 2 = 4 x设A, B两点坐标为A(x , y ), B(x , y ),1 1 2 22 k 2 加 + 4则x + x, xx m2,12k 21 2由 m0,得厶=(2k2m + 4)2 4k2 k2m2 = 16k2m +16 0.因为I AM I,

17、I OM I, I MB I成等比数列，所以I OM |2=| MB Il AM I,所以 m2 =、：(x -m)2 + y2 . (x -m)2 + y2，因为A, B两点在抛物线C上，22所以 y2=4x , y2=4x ,11 分1、1 2 2由，消去x ,y ,x ,y ,1122得m = 4(1 厶，k 2因为存在直线l使得I AM I, I OM I, I MB I成等比数列，所以 m = 4(1)4,k 2综上，当m 4时，存在直线l使得I AM I, I OM I, I MB I成等比数列.-14分题9:已知双曲线x2 - y2 = 1的左、右顶点分别为A、A，动直线l: y

18、 = kx + m与圆1 2x 2 + y2 = 1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为尸(兀),尸穴-).(I) 求k的取值范围，并求x - x的最小值；2 1那么,22 2叮k2是定值吗？证明你(II) 记直线PA的斜率为k，直线PA的斜率为k ,1 11 (I )l与圆相切，的结论.m2 = 1 + k2y = kx + mx 2 - y 2 = 1(1-k2)x2 -2mkx- (m2 +1) = 0,1 - k 2 丰 0A = 4m2k2 + 4(1-k2)(m2 +1) = 4(m2 +1 - k2) = 8 0 , m 2 +1 八x . x =v 012 k 2 -1 k2

19、 v 1,-1 v k v 1，故k的取值范围为(-1,1)2mk 2 迈2 迈由于x + x = x -x = (x + x )2 -4xx =12 1 - k 221*121 21 - k 2.0 k2 v 1当k2 = 0时，x -x取最小值222 11 2/. k =4, k =21 x +12 x -11 2(kx + m)(kx + m) =12(x + 1)(x -1)1 2(II)由已知可得A,A的坐标分别为(-1,0),(1,0)， k - k =1212(x + 1)(x - 1)1 2k2xx + mk(x + x ) + m2 1 2x x + (x x ) 11 2

20、2 1t m 2 +1 2mkk 2 -一 mk -+ m 2k2 _ 1k上 _ 1m 2 +12、；21k 2 -1 一 k 2 -1 一m2k 2 + k 2 一 2m2k 2 + m2k 2 一 m2k 2 一 m2m 2 +1 - 2迈 一 k 2 +1m 2 一 k 2 + 2 - 2迈由，得m2 - k2 = 1,一13 - 2迈-_(3 + 2 2)为定值.12分题10.已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为2朽.(I) 求椭圆C的标准方程；(II) 若直线l: y = kx + m(k丰0)与椭圆交于不同的两点M、N ( M、N不是椭圆的左、右顶点)，且以MN

21、为直径的圆经过椭圆的右顶点A. 求证：直线1过定点，并求出定点的坐标.解:(I)设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c,则2c = 2, 0,6分整理得：3 + 4k2 一 m2 0设 M (x , y )、N (x , y ) ，则1 1 2 28kmx + x =1 23 + 4k 24m2 一 12x x =1 23 + 4k 2且椭圆的右顶点为 A (2,0) y y = 0 .12由已知，AM丄AN， (x 2 )(x 2)+即 G + k2 )xx +(km 2)(x + x )+ m2 + 4 = 0 ,1 2 1 27分8分10分也即+k2)4m 2 128km+ 1 km 2 丿-3 + 4k23 + 4k2+ m2 + 4 = 0 ，整理得 7m2 +16mk + 4k2 = 0 .2k 解得m = 2k或m = 一帀，均满足当m = 2k时，直线1的方程为y = kx 2k，过定点(2,0)，不符合题意舍去; J 2)时，直线1的方程为y = k x-k 7丿2k当 m =-丁，过定点(|,0),11 分故直线1过定点，且定点的坐标为(7,0).13