2023年中考数学压轴题及解析分类汇编

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2、数学压轴：平行四边形问题2023中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)2023中考数学压轴题函数平行四边形问题(二)2023中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)2023中考数学压轴：梯形问题2023中考数学压轴题函数梯形问题(一)2023中考数学压轴题函数梯形问题(二)2023中考数学压轴题函数梯形问题(三)2023中考数学压轴：面积问题2023中考数学压轴题函数面积问题(一)2023中考数学压轴题函数面积问题(二)2023中考数学压轴题函数面积问题(三)2023中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1、直线分别交x轴、y轴于A、B两点，AOB绕点O按逆时针方向旋转90后得到COD，抛物

3、线yax2bxc经过A、C、D三点(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与COD相似？假设存在，请求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由图1思路点拨1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标3第3题判断ABQ90是解题的前提4ABQ与COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个总分值解答1A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D

4、(1，0)2因为抛物线yax2bxc经过A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三点，所以 解得所以抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，顶点G的坐标为(1，4)3如图2，直线BG的解析式为y3x1，直线CD的解析式为y3x3，因此CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x1)，那么RtCOD的两条直角边的比为13，如果RtABQ与RtCOD相似，存在两种情况：当时，解得所以，当时，解得所以，图2 图3考点伸展第3题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明ABBG；二是我们换

5、个思路解答第3题：如图3，作GHy轴，QNy轴，垂足分别为H、N通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG90在RtBGH中，当时，在RtBQN中，当Q在B上方时，；当Q在B下方时，当时，同理得到，例2、 RtABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图像与BC边交于点D4，m，与AB边交于点E2，n，BDE的面积为21求m与n的数量关系；2当tanA时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；3设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在2的条件下，如果AEO与EFP 相似，求点P的坐标图1思路点拨1探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标

6、，是解题的突破口2第2题留给第3题的隐含条件是FD/x轴3如果AEO与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况总分值解答1如图1，因为点D4，m、E2，n在反比例函数的图像上，所以 整理，得n2m2如图2，过点E作EHBC，垂足为H在RtBEH中，tanBEHtanA，EH2，所以BH1因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)BDE的面积为2，所以解得m1因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因为点D4，1在反比例函数的图像上，所以k4因此反比例函数的解析式为设直线AB的解析式为ykxb，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，因此直线AB的函数解析式为图2

7、图3 图43如图3，因为直线与y轴交于点F0，1，点D的坐标为4，1，所以FD/ x轴，EFPEAO因此AEO与EFP 相似存在两种情况：如图3，当时，解得FP1此时点P的坐标为1，1如图4，当时，解得FP5此时点P的坐标为5，1考点伸展此题的题设局部有条件“RtABC在直角坐标系内的位置如图1所示，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第1题的结论m与n的数量关系不变第2题反比例函数的解析式为，直线AB为第3题FD不再与x轴平行，AEO与EFP 也不可能相似图52023中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3、如图1，梯形OABC，抛物线分别过点O0，0、A2，0、

8、B6，31直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；2将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标；3在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存

9、在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？假设存在，请求出t的值；假设不存在，请说明理由图1 图2思路点拨1第2题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第3题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此此题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第3题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交

10、点G在x轴的上方总分值解答1抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M1，2 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到由于，所以整理，得因此得到当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为6，33设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的GAF与GQE，有一个公共角G在GEQ中，GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF中，GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD由于，所以解得图3 图4例4、 如图1，点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上1求m

11、、n；2向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，假设四边形A ABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；3记平移后抛物线的对称轴与直线AB 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B、C、D为顶点的三角形与ABC相似图1 思路点拨1点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色第1题用在待定系数法中；第2题用来计算平移的距离；第3题用来求点B的坐标、AC和BC的长2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变3探求ABC与BCD相似，根据菱形的性质，BACCBD，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论总分值解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都

12、在抛物线上，所以 解得，(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB5因为四边形A ABB为菱形，所以A ABB AB5因为，所以原抛物线的对称轴x1向右平移5个单位后，对应的直线为x4因此平移后的抛物线的解析式为图2(3) 由点A (-2，4) 和点B(6，0)，可得A B如图2，由AM/CN，可得，即解得所以根据菱形的性质，在ABC与BCD中，BACCBD如图3，当时，解得此时OD3，点D的坐标为3，0如图4，当时，解得此时OD，点D的坐标为，0图3 图4考点伸展在此题情境下，我们还可以探求BCD与AB B相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况

13、我们也可以讨论BCD与CB B相似，这两个三角形有一组公共角B，根据对应边成比例，分两种情况计算2023中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 、 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B1，0)、C0，2三点1求此抛物线的解析式；2P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？假设存在，请求出符合条件的 点P的坐标；假设不存在，请说明理由；3在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,图1思路点拨1抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用

14、点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA总分值解答 1因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标0，2，解得所以抛物线的解析式为2设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点P的坐标为2，1如图3，当点P在点A的右侧时，x4，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为2，1或或图2 图3 图43

15、如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以因此当时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为2，1图5 图6考点伸展第3题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积设点D的横坐标为m，n，那么由于，所以例6 、 如图1，ABC中，AB5，AC3，cosAD为射线BA上的点点D不与点B重合，作DE/BC交射线CA于点E.(1) 假设CEx，BDy，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在

16、AB边上时，BC边上是否存在点F，使ABC与DEF相似？假设存在，请求出线段BF的长；假设不存在，请说明理由图1 备用图 备用图思路点拨1先解读背景图，ABC是等腰三角形，那么第3题中符合条件的DEF也是等腰三角形2用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第2题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况3求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意4第3题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题总分值解答 1如图2，作BHAC，垂足为点H在RtABH中，AB5，cosA，所以AHAC所以BH垂直平分AC，A

17、BC为等腰三角形，ABCB5 因为DE/BC，所以，即于是得到，2如图3，图4，因为DE/BC，所以，即，因此，圆心距图2 图3 图4在M中，在N中，当两圆外切时，解得或者如图5，符合题意的解为，此时当两圆内切时，当x6时，解得，如图6，此时E在CA的延长线上，；当x6时，解得，如图7，此时E在CA的延长线上，图5 图6 图73因为ABC是等腰三角形，因此当ABC与DEF相似时，DEF也是等腰三角形如图8，当D、E、F为ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF2.5根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF4.1如图9，当DE为等腰三角形DEF的底

18、边时，四边形DECF是平行四边形，此时图8 图9 图10 图11考点伸展:第3题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是ABC的高，D、E、F为ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形例 7 如图1，在直角坐标系xOy中，设点A0，t，点Qt，b平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B、C两点OBOC，连结A，B1是否存在这样的抛物线F，使得？请你作出判断，并说明理由；2如果AQBC，且tanABO，求抛物线F对应的二次函数的解析式思路点拨1数形结合思想，把转化为 2如果AQBC，那么以OA、AQ为邻边的矩形是正方形，数形结合得到tb3分类讨论ta

19、nABO，按照A、B、C的位置关系分为四种情况A在y轴正半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；A在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况总分值解答1因为平移的图象得到的抛物线的顶点为t，b，所以抛物线对应的解析式为因为抛物线与x轴有两个交点，因此令，得，所以)( )|即所以当时，存在抛物线使得2因为AQ/BC，所以tb，于是抛物线F为解得当时，由，得如图2，当时，由，解得此时二次函数的解析式为如图3，当时，由，解得此时二次函数的解析式为图2 图3如图4，如图5，当时，由，将代,可得，此时二次函数的解析式为或图4 图5考点伸展第2题还可以这样分类讨论：因为AQ/BC，所以tb，于

20、是抛物线F为由，得把代入，得如图2，图5把代入，得如图3，图42023中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1、如图1，正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0,m)是线段OC上一动点C点除外，直线PM交AB的延长线于点D1求点D的坐标用含m的代数式表示；2当APD是等腰三角形时，求m的值；3设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H如图2当点P从O向C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长不必写解答过程图1 图2思路点拨1用含m的代数式表示表示APD的三边长，为解等腰三角形做好准备2探求APD是等腰三

21、角形，分三种情况列方程求解3猜想点H的运动轨迹是一个难题不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？RtOHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C总分值解答1因为PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到点D的坐标为(2，4m)2在APD中，当APAD时，解得如图3当PAPD时，解得如图4或不合题意，舍去当DADP时，解得如图5或不合题意，舍去综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为，或图3 图4 图53点H所经过的路径长为考点伸展第2题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图3，当APAD时，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如图4，

22、当PAPD时，P在AD的垂直平分线上所以DA2PO因此解得第2题的思路是这样的：如图6，在RtOHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，COH45，CGH90图6 图7例2 如图1，一次函数yx7与正比例函数的图象交于点A，且与x轴交于点B1求点A和点B的坐标；2过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，

23、点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求t的值；假设不存在，请说明理由 图1 思路点拨1把图1复制假设干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况总分值解答1解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)令，得所以点B的坐标是(7，0)2如图2，当P在OC上运动时，0t4

24、由，得整理，得解得t2或t6舍去如图3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6因此，当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8图2 图3 图4我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如图4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴因此AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中，为定值，如图5，当APAQ时，解方程，得如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP

25、2(OROP)解方程，得如7，当PAPQ时，那么因此解方程，得综上所述，t1或或5或时，APQ是等腰三角形图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QPQA时，也可以用来求解2023中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P(1)求证：MNNP为定值；(2)假设BNP与MNA相似，求CM的长；(3)假设BNP是等腰三角形，求CM的长图1思路点拨1第1题求证MNN

26、P的值要根据点N的位置分两种情况这个结论为后面的计算提供了方便2第2题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似3第3题探求等腰三角形，要两级两层分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况4探求等腰三角形BNP，N在AB上时，B是确定的，把夹B的两边的长先表示出来，再分类计算总分值解答(1)如图2，图3，作NQx轴，垂足为Q设点M、N的运动时间为t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t ，AQ3t在图2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在图3中，QO3t6，MQ5t10，所以M

27、NNPMQQO53(2)因为BNP与MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似如图4，BNPMNA，在RtAMN中，所以解得此时CM图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，即所以当N在AB上时，在BNP中，B是确定的，()如图5，当BPBN时，解方程，得此时CM()如图6，当NBNP时，解方程，得此时CM()当PBPN时，解方程，得t的值为负数，因此不存在PBPN的情况如图7，当点N在线段AB的延长线上时，B是钝角，只存在BPBN的可能，此时解方程，得此时CM图5 图6 图7考点伸展如图6，当N

28、BNP时，NMA是等腰三角形，这样计算简便一些例4、如图1，在矩形ABCD中，ABmm是大于0的常数，BC8，E为线段BC上的动点不与B、C重合连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy1求y关于x的函数关系式；2假设m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？3假设，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1思路点拨1证明DCEEBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式2第2题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值3第3题头绪复杂，计算简单，分三段表达一段是说理，如果DEF为等腰三角形，那么得到xy；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方

29、程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值总分值解答(1)因为EDC与FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因为CB90，所以DCEEBF因此，即整理，得y关于x的函数关系为(2)如图2，当m8时，因此当x4时，y取得最大值为2(3) 假设，那么整理，得解得x2或x6要使DEF为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCEEBF，所以CEBF，即xy将xy 2代入，得m6如图3；将xy 6代入，得m2如图4图2 图3 图4考点伸展此题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第1题得到，那么不管m为何值，当x4时，y都取得最大值对应的几何意义是，不管AB边为多长，当E是BC的

30、中点时，BF都取得最大值第2题m8是第1题一般性结论的一个特殊性再如，不管m为小于8的任何值，DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程总有一个根的第3题是这个一般性结论的一个特殊性2023中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 ：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA2，OC3，过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E1求过点E、D、C的抛物线的解析式；2将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与1中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为

31、，那么EF2GO是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由；3对于2中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？假设存在，请求出点Q的坐标；假设不存在成立，请说明理由图1思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第2、3题的计算中要用到2过点M作MNAB，根据对应线段成比例可以求FA的长3将EDC绕点D旋转的过程中，DCG与DEF保持全等4第3题反客为主，分三种情况讨论PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标总分值解答1由于OD平分AOC，所以点D的坐标为2，2，因此BCAD1

32、由于BCDADE，所以BDAE1，因此点E的坐标为0，1设过E、D、C三点的抛物线的解析式为，那么 解得，因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为2把代入，求得所以点M的坐标为如图2，过点M作MNAB，垂足为N，那么，即解得图2因为EDC绕点D旋转的过程中，DCGDEF，所以CGEF2因此GO1，EF2GO3在第2中，GC2设点Q的坐标为如图3，当CPCG2时，点P与点B3，2重合，PCG是等腰直角三角形此时，因此。由此得到点Q的坐标为如图4，当GPGC2时，点P的坐标为1，2此时点Q的横坐标为1，点Q的坐标为如图5，当PGPC时，点P在GC的垂直平分线上，点P、Q与点D重合此时点Q的坐标为2，

33、2图3 图4 图5考点伸展在第2题情景下，EDC绕点D旋转的过程中，FG的长怎样变化？设AF的长为m，那么点F由E开始沿射线EA运动的过程中，FG先是越来越小，F与A重合时，FG到达最小值；F经过点A以后，FG越来越大，当C与O重合时，FG到达最大值4例6 、在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为1，0，点C的坐标为0，4，直线CM/x轴如图1所示点B与点A关于原点对称，直线yxbb为常数经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD1求b的值和点D的坐标；2设点P在x轴的正半轴上，假设POD是等腰三角形，求点P的坐标；3在2的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径图1思路点拨1

34、第1题情景简单，内容丰富，考查了对称点的坐标特征、待定系数法、代入求值、数形结合2分三种情况讨论等腰三角形POD的存在性，三个等腰三角形的求解各具特殊性3圆O与圆P的半径、圆心距都是随点P而改变，但是两圆外切，圆心距等于半径和的性质不变总分值解答1因为点A的坐标为1，0，点B与点A关于原点对称，所以点B的坐标为1，0将B1，0代入yxb，得b1将y4代入yx1，得x3所以点D的坐标为3，42因为D3，4，所以OD5，如图2，当PDPO时，作PEOD于E在RtOPE中，所以此时点P的坐标为如图3，当OPOD5时，点P的坐标为如图4，当DODP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为图2 图

35、3 图43圆P的半径，两圆的圆心距为OP当两圆外切时，圆O的半径如图2，当PDPO时，此时圆O不存在如图3，当OPOD5时，作DHOP于H在RtDHP中，DH4，HP2，所以此时如图4，当DODP时，考点伸展如图5，在此题情景下，如果圆P与圆C外切，那么点P的变化范围是什么？如图6，当圆P经过点C时，点P在CD的垂直平分线上，点P的坐标为因此当点P在x轴上点的右边时，圆P与圆C外切图5 图62023中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)例1 、如图1，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点点A在点B左侧，与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D1求抛物线的函

36、数表达式；2求直线BC的函数表达式；3点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段时，求tanCED的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标温馨提示：考生可以根据第3问的题意，在图中补出图形，以便作答图1思路点拨1第1、2题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题2第3题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系3根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了总分值解答1设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，3)，得所以抛

37、物线的函数表达式为2由，知A(1，0)，B(3，0)设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，3)，得 解得，所以直线BC的函数表达式为3因为AB4，所以因为P、Q关于直线x1对称，所以点P的横坐标为于是得到点P的坐标为，点F的坐标为所以，进而得到，点E的坐标为直线BC:与抛物线的对称轴x1的交点D的坐标为1，2过点D作DHy轴，垂足为H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，图2 图3 图4考点伸展第3题求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是

38、点P的横坐标例2 、设直线l1：yk1xb1与l2：yk2xb2，假设l1l2，垂足为H，那么称直线l1与l2是点H的直角线1直线；和点C(0，2)，那么直线_和_是点C的直角线填序号即可；2如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，假设l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式 图1答案1直线和是点C的直角线2当APB90时，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如图2，当OP6时，l1：， l2：y2x6如图3，当OP1时，l1：y3x1， l2：图2 图320

39、23中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)例 5 、如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是-2，01试说明ABC是等腰三角形；2动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S4的情形？假设存在，求出对应的t值；假设不存在请说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值图1思路点拨1第1题说明ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点2不管M在AO上还是在OB

40、上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论3将S4代入对应的函数解析式，解关于t的方程4分类讨论MON为直角三角形，不存在ONM90的可能总分值解答1直线与x轴的交点为B3，0、与y轴的交点C0，4RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5点A的坐标是-2，0，所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形2如图2，图3，过点N作NHAB，垂足为H在RtBNH中，BNt，所以如图2，当M在AO上时，OM2t，此时定义域为0t2如图3，当M在OB上时，OMt2，此时定义域为2t5图2 图3把S4代入，得解得，舍去负值因此，当点M在线段OB上运动时，存在S4的情形

41、，此时如图4，当OMN90时，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如图5，当OMN90时，N与C重合，不存在ONM90的可能所以，当或者时，MON为直角三角形图4 图5考点伸展在此题情景下，如果MON的边与AC平行，求t的值如图6，当ON/AC时，t3；如图7，当MN/AC时，t2.5图6 图7例6、RtABC中，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N1当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：；思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了请你完成证明过程2当扇形CEF绕点C旋转至图2的位

42、置时，关系式是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由图1 图2思路点拨1此题的证明思路是构造ACMDCM，证明BCNDCN2证明BCNDCN的关键是证明3证明的结论是勾股定理的形式，根本思路是把三条线段AM、BN、MN集中在一个三角形中，设法证明这个三角形是直角三角形总分值解答1如图3，将沿直线对折，得，连，那么因此，又由，得 由，得又，所以因此，所以在Rt中，由勾股定理，得即图3 图42关系式仍然成立如图4，将沿直线对折，得，连，那么所以，又由，得 由，得又，所以因此，又由于，所以在Rt中，由勾股定理，得即考点伸展当扇形CEF绕点C旋转至图5，图6，图7的位置时，关系式仍然成立

43、图5 图6 图72023中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)例 1 、平面直角坐标系xOy如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MOMA二次函数yx2bxc的图像经过点A、M1求线段AM的长；2求这个二次函数的解析式；3如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标思路点拨1此题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是根本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据MOMA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第3题求点C的坐标，

44、先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m总分值解答1当x0时，所以点A的坐标为(0，3)，OA3如图2，因为MOMA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为将代入，得x1所以点M的坐标为因此2因为抛物线yx2bxc经过A(0，3)、M，所以解得，所以二次函数的解析式为3如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AECD，垂足为E在RtADE中，设AE4m，DE3m，那么AD5m因此点C的坐标可以表示为(4m，32m)将点C(4m，32m)代入，得解得或者m0舍去因此点C的坐标为2，2 图2 图3考点伸展如果第3题中，把“四边形ABCD是菱

45、形改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为图4 例2 、将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示1请直接写出抛物线c2的表达式；2现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？假设存在，请求出此时m的值；假设不存在，请说明理由图1思路点拨1把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的

46、坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来2B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程3根据矩形的对角线相等列方程总分值解答1抛物线c2的表达式为2抛物线c1：与x轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为抛物线c2：与x轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB2抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、所以AE(1m)(1m)2(1m)B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE6

47、所以2(1m)6解得m2情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE3所以2(1m)3解得图2 图3 图4如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AEMN2OM而OM2m23，所以4(1m)24(m23)解得m1如图4考点伸展第2题，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB2，AB边上的高为，所以ABM是等边三角形同理DEN是等边三角形当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合因为起始位置时BD2，所以平移的距离m12023中考数学压轴题函数平行四边形问题(二)例3 、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点1求抛物线

48、的解析式；2假设点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；3假设点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标图1 图2思路点拨1求抛物线的解析式，设交点式比较简便2把MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA3当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程总分值解答(1) 因为抛物线与x轴交于A(4,0)、C(2,0)两点，设ya(x4)(x2)代入点B(0,4)

49、，求得所以抛物线的解析式为(2)如图2，直线AB的解析式为yx4过点M作x轴的垂线交AB于D，那么所以因此当时，S取得最大值，最大值为4(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ/OB，PQOB4设点Q的坐标为，点P的坐标为当点P在点Q上方时，解得此时点Q的坐标为如图3，或如图4当点Q在点P上方时，解得或与点O重合，舍去此时点Q的坐标为(4,4) 如图5图3 图4 图5考点伸展在此题情境下，以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图6，Q(2,2)；如图7，Q(2,2)；如图8，Q(4,4)图6 图7 图8例4 、在直角梯形OABC中，CB/OA，COA90

50、，CB3，OA6，BA分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系1求点B的坐标；2D、E分别为线段OC、OB上的点，OD5，OE2EB，直线DE交x轴于点F求直线DE的解析式；3点M是2中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？假设存在，请求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由图1 图2思路点拨1第1题和第2题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第3题讨论菱形提供了计算根底2讨论菱形要进行两次两级分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边总分值解答(1)如图2，作BHx轴，垂足为H

51、，那么四边形BCOH为矩形，OHCB3在RtABH中，AH3，BA，所以BH6因此点B的坐标为(3,6)(2) 因为OE2EB，所以，E(2,4)设直线DE的解析式为ykxb，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，所以直线DE的解析式为(3) 由，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF10，DF如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(5,)如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO5，延长MN交x轴于P由NPODOF，得，即解得，此时点N的坐标为图3 图4 考点伸展如果第3题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形图5 图62023中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例 5 、如图1，等边ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EHAC于H，过E作EFAC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PEEB设ECx0x21请直接写出