判断一致性

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1、层次分析法中矩阵的判断致性研究（北京理工大学管理与经疥学院，北京100081）（华北工学院数学鞍研室，030051 ）摘要 目的研究层次分析法中判断矩阵可接受性及一致性的改善问题*方法引 入”刈新一致性矩阵槪念，利用判断平均特性修止知阵的方法*进行出次分析法 （AHP）的灵敏性分析研究,在严格证明了理论结果的基础上，对更般的情况进 行了统计模拟匚结果与结论刈断-致性为在实麻应用中合理接矍判断矩肝打开 了-个新的思路*利用判断平均特件修止矩阵法町以仃效地改善判断矩阵的一致 性对层次分析法（AP的冋学运円有匝要意义 关键词；丿止次分析法.判断矩阵，一致性分类号.0223出次分析法（AHP）見産性9

2、産彊相结介进行多II标决慣分析的重要方法“通 过判断矩阵求出排序权重是AHP的核心工作。理论上讲 产生的判断知軒应是- 致性如旳，*出 胞；：w、.:：离致性，从而影响决策结果。出放分析法川-建性检验来评价人们时客观囁物判 断估计的合理性、亠致性 AHP的创始人T.L.Saaty引入了一致性比率（Consistency Ratio,记为UR.）的概念，建议在C.EKD.10时认为拒阵具有可接受的-致性 或旃盘的一致性.随着AHP在实践中的应川不断广泛和深入，愈来愈多的反例对这个满盘-致 性标准提出疑义亠运筹学工作者用某些方法对UR.的临界值进行了研究，并通过合 理的方式对初始判断矩阵予以修正。

3、卜者从AHP的应用背景出发研究了判断矩阵 叮接受标推，逋过研究判断-致性矩阵满意一致性矩阵的差异,讨论单純通过- 致性指标决定接受矩阵的局阻性;提出了一种新的利用判断平均特性修正矩阵法 以改进判断矩阵的-致性亠1判断矩阵一致性检验1. 1矩阵判断徴性概念次分析袪的用途之-是从仃眼多个方案屮选择坡优方熱刿断知曲足经网两 比较以后得到的正互反矩阵，其中第j列是以第j方枭为标旌对讥方案晅翌性作出 的判断:其中j方案的重要度为1,比j重要的方案重要度大于1,反之则重要度 小于1。将第j列元素化阳得到的向量即是对j方案而言，诸方卜重要性的近 似权朿由此可把亠个n阶判断矩阵看柞各方案针对不同方案的n次重要

4、性排序. 如果这nC排序第果相同,则认为它具有判断一致性。定义1设判新他阵儿 如果其每-列向量具有相同的排序结果,则称A为 判析-致性如陷在实际操作中，当判断矩阵具有屮断致性时，町以认为决策者思錐是淸晰有 序的。闵此判新亠致性作为可接受矩阵的个参考标准是合理的。1.2判断致性与通常的满惠亠致性判断合理性的,一致性矩阵是刈断-致牲姬卉，也是满意一致性知网下面的两个例卜说明判断一致性炖阵不淀満足 CEL0.l（）.同时，判断削昨B不是刿断致性矩阵*如果用 咯B4+ B紛別表川 表的方案,可以看到,在各列中恥畛B4禺在这5次判断中相互矛 用，I 用特彳啣袪容扇得到C.RT.0901兀切.1根K；AH

5、P的；T匕I 厲满总徴 性的矩限例2峪左I例矩;TA IL 21/2C= 212 21/2L；通过简单的讣算叮初，乂內=无，即两炖阵IMj和同的-致性比率 URT.44,但矩阵A是判断|阵；而G中三列的伺断相互矛盾,用是刈断 -致性也小匕則旳徴件比率屛唯反映穴斷致性。通过分析町如*造成以上悄况的原闵之一是9标皮法以及甬翌度比较9上观兇 断讹化之间的矛盾*III円可题的冥杂性及标度的限制,在因冲较蚩的时候得到判断一致性矩阵存 在定的”难;另一方面，当各因素的重要度相差不大时，应允许AHP出现淀 程度的不一致,但应将其限制在一定范围内。判断致性知阵，实质上是符合一种序棲递性质的矩阵闵此，& A1I

6、P中考 察判断矩阵可接受性时，若C.R.O.10不成立，还战进擁阵的判断一致性。当用层次分析肚在从-准则下确定某 访案为优势方案即目标圧选择-个权 重最大的方案时，若某-力案丁応余方案和比具仃某种局部序棲逆性，也于以接受定义2疋“反北曲N （a,. jn / 如果对仁总k,仃3；5或対总 有晞“加 则称i行尤索号j疔尤索之间存在局部序传递仏由于单准则决策工翌川来选择址优方案畀月此如果我们求得右上特征向量的 最大分量wt，且t行与其余各行元素存在局部序传递性，！4我们仍接受该判新 轨阵“这址肉为黒管其余方案之间的朿陛性比较是混乱的，但决策祈对t方案的 好却是刖确的.致的例3考虑业甘炬阵131/5

7、1/31/3I1/53D =55150.1（），仍;0芟第 3 h 案为诂优 0 枭.2利用判断平均特性修正矩阵的方法：定理梓 设A为止九反矩阵.HJI；初雪闵子尉为胃性的,11：特祈根滿妃 z;| -h |A,. . W|.W叫 丄rMl应却|.交/i心彳|讣1慣系-卩|弋叫 为相应的线性无关的尤特征向慣系，AAjA的摄动炖阵，WJ A A的丄特彳匸根及右主特征向量的扰动为1、| 讨 IjJX|-右巴 Vlj .ill 13可以TTHh他阵A旳上特征根与其余特征根相差越远,其右主特征向 量越稳定,否则可能是敏感的按照线性代数的仃关理论，乍阵的亠致性越好.It 胖卅们J!L；余特征値怎得越远为

8、了保lilMJrfil-K U!冇较好li勺和辽件判断矩阵应当具有尽可能好的亠致性。有歸理的判断矩阵,其UR.有时比较大. 可能出现利对元素扰动比的问题,尤其在层次较多时数值敏感性可能会 影响最后的排序误差*为此从AHP的应用背景出乍出以下利冲判断平均特性 修疋知軒的方袪乎以改进。设A=(吗E M 丽为初始列断矩呱 构送新的正互反轨阵B=(bry )“称为九的修郵便B满足1/竹JU B的右主特征向量来作为判断矩阵A排序权重向量的一种判断矩阵A=(a.)中.碍(血方家方案的逍翌度比仏 血方案门方 卽/ J?XB案的TL接比较.111 %丄屮:J是以k方案为标准i方案f-jj方家间接比较的纺果也

9、n是i方枭巧j方案的币呱皮比值口闵此，一工乱lkak：建分别以诸方案为标准的i方11 k=n 案与j方聿朿耍度比值的用它来作为i方案与j方案的重要度比俏區然具 有一定的合理性,修止矩阵、达就是在此背景下点来的。定理2若入为-致件矩阵 U!康修免阵和致性结论皿然。推论1若丸为 谶件知隊B为其修止拒阵丄仃2 iEi =2j i：Aj ， C.R.iAj C.：)定理3对十总潸匸号反31阵丄B为I修曲阵-.1. 丁儿(B) 血(A) 1c Rz IC /?证叮:设A=I 1 dL. B =l/C1门0 : C 卜.J 丄 2 血f彳订3if3c3/.! i.Aj =1 i ( cd/f 严 i i

10、e/cd 严 区| 订对=I | :门正厂 I i E C!) jrjcdA Aedile - c(h(2/f- )2?!/(!/+ 2Cl)皿亠 IFt気2 令 u(u)=- li：u)=二r-/ 九门 + 2(：1)(2;/+ l：r引进函数 H(x)=l + x1/3 +x_1/3 (x0) 注意 H(x)具有性质:Hx)=H(l/x, 且x=l为其极小点,当 a 时H(为增甫数，x I I, Ll ill：i=11 X -2i I )=H 丿知以 L(u)：-2i I ) I*3(2?； - a令 G(u)=f)=_(i)L 册 G(l)=lI!(-!址仃 仃U)= - * J + :

11、 + d VO 所以(rill)Gl： I )= L HmuFu q 役3( ft- +2ft)到 1 g(u)u，再由 H(x)的单调性知冇 H(g(u)vH(u),即兄(B)v(A)。(3) u0，与完全类似地町以得到/+1)42j(B)0时总存在盒(B)5 2|(A),讦毕。进-步计算，可得到修正矩阵B的匸特征值的区间估计。因为 lim g(u)= 4/3 g7u)0 又 11(4/3)=3.0089w-wo所以ul时2,(B)g3, 3.0089 , 0ul时也可得同样结果。山此对见，对:一阶饰阵，修山知阵浓町以右效地皮讲矩阵的致竹:，从|何提 高了排序权向眾的稳定性。对于高阶矩阵,作

12、者对1500个随机正耳反矩阵进行了模拟计算,结果无例 外地表明利川判断平均特件修I 勺!阵的方法可以冇效地改进矩阵的致性。尽管利用判断平均特性修正矩阵的方法可以有效地夂进知阵的致性，但它并 不能克服判断的谋治Ib矩阵存在严d致性时仍然需要重新判断参考文献1. Saaty T.L. The analytic hierarchy process. McGraw Hill, Inc. 1980。2. Saaty T.L. How to make a decisionThe analytic hierarchy process , EuropeanJournal of Operationa. Research, 1990, 48： 9-26o3. 王莲芬，许树柏.以次分析法引论，北京：中国人民人学出版社1990.4陈光犬，燔明海.一致性指标临界值的改进，系统工程理论与践，1993, No.L5.王中腿层次分析法判断炬阵不致件的形成机理和种修正方法，系统IH 理论打实践,1995 1X0.9。