双曲线及其标准方程

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1、2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程问题问题引航引航1.1.双曲线的定义是什么双曲线的定义是什么?2.2.双曲线的标准方程是什么双曲线的标准方程是什么?如何推导双如何推导双曲线的标准方程曲线的标准方程?1.1.双曲线的定义双曲线的定义(1)(1)定义定义:平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1,F,F2 2的距离的差的的距离的差的_等于等于非零常数非零常数(_|F(_|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹的点的轨迹.(2)(2)符号表示符号表示:|MF:|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a(|=2a(常数常数)(02a|F)(02a|F1 1F F2 2|).|).(3)

2、(3)焦点焦点:两个两个_._.(4)(4)焦距焦距:_:_的距离的距离,表示为表示为|F|F1 1F F2 2|.|.绝对值绝对值小于小于定点定点F F1 1,F,F2 2两焦点间两焦点间2.2.双曲线的标准方程双曲线的标准方程焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上标准方程标准方程_焦点坐标焦点坐标_a,b,ca,b,c关系关系c c2 2=_=_2222xy1 a0,b0ab2222yx1 a0,b0ab(-c,0),(c,0)(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)(0,-c),(0,c)a a2 2+b+b2 21 1判一判判一判 (正确的打正确的打“”，错误的打

3、，错误的打“”)”)(1)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间小于两定点间距离距离)的点的轨迹是双曲线的点的轨迹是双曲线.().()(2)(2)在双曲线标准方程在双曲线标准方程 中，中，a a0 0，b b0 0且且abab.().()(3)(3)双曲线标准方程中双曲线标准方程中,a,b,a,b的大小关系是的大小关系是a ab.()b.()2222xy1ab【解析【解析】(1)(1)错误错误.点的轨迹为双曲线的一支点的轨迹为双曲线的一支,故错误故错误.(2)(2)错误错误.当当a=ba=b时时,方程也表示双曲线方程也表示双曲线,故该说法错

4、误故该说法错误.(3)(3)错误错误.在双曲线中规定在双曲线中规定b b2 2=c=c2 2-a-a2 2,而而a a与与b b的大小关系不确定的大小关系不确定,故该说法错误故该说法错误.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)2 2做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)在双曲线在双曲线 中中,a=_,b=_.,a=_,b=_.(2)(2)方程方程mxmx2 2+ny+ny2 2=1=1表示双曲线表示双曲线,则则m,nm,n满足条件满足条件_._.(3)(3)若双曲线若双曲线 上一点上一点M M到左焦点的距离为到左焦点的距离为8,8,则点则点M M到

5、到右焦点的距离为右焦点的距离为_._.22yx14522xy1416【解析【解析】(1)(1)由双曲线的标准方程由双曲线的标准方程 知知a a2 2=4,b=4,b2 2=5,=5,所以所以a=2,a=2,答案：答案：2 2(2)(2)方程方程mxmx2 2+ny+ny2 2=1=1要表示双曲线要表示双曲线,m,n,m,n的符号应相反，故的符号应相反，故m mn n0.0.答案：答案：m mn n0 022yx145，b5.5(3)(3)设双曲线的左、右焦点分别为设双曲线的左、右焦点分别为F F1 1,F,F2 2,则则|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a=4,|=2a=4,所

6、以所以|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=|=4,4,又又|MF|MF1 1|=8,|=8,所以所以|MF|MF2 2|=4|=4或或12.12.答案：答案：4 4或或1212 【要点探究【要点探究】知识点知识点 双曲线的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程1.1.对双曲线定义的两点说明对双曲线定义的两点说明(1)(1)定义中距离的差要加绝对值定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支否则只为双曲线的一支.设设F F1 1,F,F2 2表示双曲线的左、右焦点表示双曲线的左、右焦点,若若|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a,|=2a,则点则点M M在右支上在右支上

7、;若若|MF|MF2 2|-|MF|-|MF1 1|=2a,|=2a,则点则点M M在左支上在左支上.(2)(2)双曲线定义的双向运用双曲线定义的双向运用:若若|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a(02a|F|=2a(02a|F1 1F F2 2|),|),则动点则动点M M的轨迹为双曲线的轨迹为双曲线.若动点若动点M M在双曲线上在双曲线上,则则|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a.|=2a.2.2.对双曲线标准方程的三点说明对双曲线标准方程的三点说明(1)(1)标准方程中两个参数标准方程中两个参数a a和和b,b,是双曲线的定形条件是双曲线的定形条件,确定了

8、其确定了其值值,方程也即确定方程也即确定.并且有并且有b b2 2=c=c2 2-a-a2 2,与椭圆中与椭圆中b b2 2=a=a2 2-c-c2 2相区别相区别.(2)(2)焦点焦点F F1 1,F,F2 2的位置是双曲线定位的条件的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准它决定了双曲线标准方程的类型方程的类型,若若x x2 2的系数为正的系数为正,则焦点在则焦点在x x轴上轴上,若若y y2 2的系数为正的系数为正,则焦点在则焦点在y y轴上轴上.(3)(3)双曲线的标准方程可统一表示为双曲线的标准方程可统一表示为:mx:mx2 2+ny+ny2 2=1(m=1(mn0).nb0)(a

9、b0)22222222xy1abyx1ab(a0,b0,a(a0,b0,a不一定大于不一定大于b)b)【微思考【微思考】(1)(1)双曲线的定义中双曲线的定义中,若若2a=|F2a=|F1 1F F2 2|,|,则点则点P P的轨迹是什么的轨迹是什么?提示提示:点点P P的轨迹为以的轨迹为以F F1 1,F,F2 2为端点的两条射线为端点的两条射线.(2)(2)若若2a|F2a|F1 1F F2 2|,|,则点则点P P的轨迹是什么的轨迹是什么?提示提示:点点P P的轨迹不存在的轨迹不存在.(3)(3)定义中若常数为定义中若常数为0,0,则点则点P P的轨迹是什么的轨迹是什么?提示提示:若定义

10、中常数为若定义中常数为0,0,此时点此时点P P的轨迹为线段的轨迹为线段F F1 1F F2 2的垂直平分的垂直平分线线.【即时练【即时练】1.1.双曲线双曲线 的左焦点坐标为的左焦点坐标为_._.2.2.点点P P到两定点到两定点F F1 1(-2,0),F(-2,0),F2 2(2,0)(2,0)的距离之差的绝对值为的距离之差的绝对值为2 2，则，则点点P P的轨迹方程为的轨迹方程为_._.22xy132【解析【解析】1.1.由由 得得a a2 2=3,b=3,b2 2=2,=2,所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=5,=5,即即 所以左焦点坐标为所以左焦点坐标为答案：答案：

11、2.2.因为因为|F|F1 1F F2 2|=4=2c,|=4=2c,所以所以c=2,c=2,又又2a=2,a=1,2a=2,a=1,故故b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=3,=3,所以点所以点P P的轨迹方程为的轨迹方程为答案：答案：22xy132，c5,5,0.(5,0)22yx1.322yx13 【题型示范【题型示范】类型一类型一 双曲线定义的应用双曲线定义的应用【典例【典例1 1】(1)(1)若双曲线若双曲线 上一点上一点P P到点到点(5,0)(5,0)的距离为的距离为15,15,则点则点P P到到点点(-5,0)(-5,0)的距离为的距离为()()A.7 B.23 A.7

12、B.23 C.5 C.5或或25 25 D.7D.7或或232322xy1169(2)(2014(2)(2014安庆高二检测安庆高二检测)已知点已知点F F1 1,F,F2 2是双曲线是双曲线 (a(a0,b0,b0)0)的左、右焦点，点的左、右焦点，点P P是双曲线上的一点，且是双曲线上的一点，且 则则PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为()()2222xy1ab12PF PF0,uur uuu rg221A.ab B.ab C.b D.a2【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)中中(5,0)(5,0)与双曲线有什么关系与双曲线有什么关系?2.2.题题(2)(2)由条件由条件

13、能得出什么结论？能得出什么结论？【探究提示【探究提示】1.1.由双曲线方程可知，由双曲线方程可知，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=25,=25,故故(5,0)(5,0)是双是双曲线的焦点曲线的焦点.2.2.由条件由条件 能得出能得出12PF PF0uur uuu rg，12PF PF0uur uuu rg12PFPF.uuruuu r【自主解答【自主解答】(1)(1)选选D.D.因为双曲线因为双曲线所以所以2a=82a=8，(5,0),(-5,0)(5,0),(-5,0)是两个焦点是两个焦点,因为点因为点P P在双曲线上在双曲线上,所以所以|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2

14、|=8,|=8,因为点因为点P P到点到点(5,0)(5,0)的距离为的距离为15,15,则点则点P P到点到点(-5,0)(-5,0)的距离是的距离是15+8=2315+8=23或或15-8=7,15-8=7,故选故选D.D.22xy1,169(2)(2)选选C.C.因为因为 所以所以 不妨设点不妨设点P P在右支上，在右支上，所以会得到所以会得到所以所以 所以所以12PF PF0uur uuu rg，12PFPF,uuruuu r2221212PFPF4c,PFPF2a,uuruuu ruuruuu r212PF PF2buur uuu r，1 22PFF121SPF PFb.2Vuur

15、uuu r【方法技巧【方法技巧】双曲线中的焦点三角形双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点双曲线上的点P P与其两个焦点与其两个焦点F F1 1,F,F2 2连接而成的三角形连接而成的三角形PFPF1 1F F2 2称为焦点三角形称为焦点三角形.令令|PF|PF1 1|=r|=r1 1,|PF,|PF2 2|=r|=r2 2，F F1 1PFPF2 2=,=,因因|F|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,所以有所以有(1)(1)定义：定义：|r|r1 1-r-r2 2|=2a.|=2a.(2)(2)余弦公式：余弦公式：4c4c2 2=r=r1 12 2+r+r2 22 2-2r-2r1 1r

16、r2 2cos.cos.(3)(3)面积公式：面积公式：一般地，在一般地，在PFPF1 1F F2 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决解决.1 2PFF1 21Srr sin.2V【变式训练【变式训练】(2014(2014赤峰高二检测赤峰高二检测)设双曲线设双曲线 的两的两个焦点为个焦点为F F1 1,F,F2 2,P,P是双曲线上的一点，且是双曲线上的一点，且|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=34|=34，则则PFPF1 1F F2 2的面积等于的面积等于()()【解析【解析】选选C.C.依题意依题意|F|F1 1F F2 2|=6,|P

17、F|=6,|PF2 2|-|PF|-|PF1 1|=2|=2，又，又|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=34=34，所以，所以|PF|PF1 1|=6,|PF|=6,|PF2 2|=8|=8，所以等腰，所以等腰PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为22yx18A.10 3 B.8 3 C.8 5 D.16 52218S86()8 5.22【补偿训练【补偿训练】已知双曲线方程为已知双曲线方程为 (a0,b0),(a0,b0),点点A,BA,B在在双曲线右支上双曲线右支上,线段线段ABAB经过双曲线的右焦点经过双曲线的右焦点F F2 2,|AB|=m,F,|AB|=m,F1 1为另为另一个

18、焦点一个焦点,则则ABFABF1 1的周长为的周长为()A.2a+2m B.4a+2mA.2a+2m B.4a+2mC.a+m D.2a+4mC.a+m D.2a+4m2222xy1ab【解析解析】选选B.B.设设ABFABF1 1的周长为的周长为Z,Z,则则Z=|AFZ=|AF1 1|+|BF|+|BF1 1|+|AB|+|AB|=(|AF=(|AF1 1|-|AF|-|AF2 2|)+(|BF|)+(|BF1 1|-|BF|-|BF2 2|)+|AF|)+|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|+|AB|+|AB|=(|AF=(|AF1 1|-|AF|-|AF2 2|)+(|BF|)+(|

19、BF1 1|-|BF|-|BF2 2|)+2|AB|)+2|AB|=2a+2a+2m=4a+2m.=2a+2a+2m=4a+2m.类型二类型二 求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014成都高二检测成都高二检测)与椭圆与椭圆 有共同焦点且过有共同焦点且过点点 的双曲线的标准方程为的双曲线的标准方程为_._.(2)(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程.a=4,c=5a=4,c=5，焦点在，焦点在x x轴上轴上;a=4a=4，经过点，经过点22xy1255(3 2,2)4 10A(1,).3【解题探究【解题探究】1.1

20、.题题(1)(1)由椭圆的方程由椭圆的方程 可得椭圆的焦可得椭圆的焦点位置及焦点坐标是什么点位置及焦点坐标是什么?2.2.题题(2)(2)焦点在焦点在x x轴上的双曲线方程可如何表示？轴上的双曲线方程可如何表示？当双曲线的焦点位置不确定时，求标准方程时应如何考虑当双曲线的焦点位置不确定时，求标准方程时应如何考虑?【探究提示【探究提示】1.1.由椭圆的方程可知焦点在由椭圆的方程可知焦点在x x轴上，且焦点的坐轴上，且焦点的坐标为标为2.2.双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为可分焦点在可分焦点在x x轴上和轴上和y y轴上两种情况讨论轴上两种情况讨论.22xy1,2552 5,0.2222xy1

21、.ab【自主解答【自主解答】(1)(1)椭圆椭圆 的焦点为的焦点为 设双曲线的方程为设双曲线的方程为 则则a a2 2+b+b2 2=20.=20.又双曲线过点又双曲线过点 所以所以综上可得综上可得故所求双曲线的方程为故所求双曲线的方程为答案：答案：22xy1255 2 5,0,2 5,0，2222xy1,ab3 2,2,221821,ab22a202 10,b2 10,22xy1.202 102 1022xy1202 102 10(2)(2)设双曲线方程为设双曲线方程为 (a(a0,b0,b0).0).因为因为a=4,c=5,a=4,c=5,所以所以b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=

22、25-16=9.=25-16=9.所以双曲线的标准方程为所以双曲线的标准方程为若所求的双曲线标准方程为若所求的双曲线标准方程为 (a(a0,b0,b0),0),则将则将a=4a=4代入得代入得2222xy1ab22xy1.1692222xy1ab222xy1.16b因为点因为点 在双曲线上在双曲线上,所以所以由此得由此得b b2 20,0,不合题意舍去不合题意舍去.若所求的双曲线标准方程为若所求的双曲线标准方程为 (a(a0,b0,b0),0),同理解得同理解得b b2 2=9.=9.所以双曲线的标准方程为所以双曲线的标准方程为4 10A(1,)3211601,169b2222yx1ab22y

23、x1.169【方法技巧【方法技巧】求双曲线方程的两个步骤求双曲线方程的两个步骤(1)(1)定位定位:确定双曲线焦点的位置确定双曲线焦点的位置,以判断方程的形式以判断方程的形式.(2)(2)定量定量:确定方程中参数确定方程中参数a,ba,b的具体的值的具体的值,常根据条件列方程常根据条件列方程(组组)求解求解.【变式训练【变式训练】(2014(2014北京高考北京高考)设双曲线设双曲线C C的两个焦点为的两个焦点为(-,0),(,0),(-,0),(,0),一个顶点是一个顶点是(1,0),(1,0),则则C C的方程为的方程为 .【解题指南【解题指南】利用双曲线的几何性质求出利用双曲线的几何性质

24、求出a,b,ca,b,c,进而求出进而求出C C的方程的方程.【解析【解析】由焦点坐标可得由焦点坐标可得c=c=且焦点在且焦点在x x轴上轴上,由顶点坐标由顶点坐标(1,0)(1,0)知知a=1,a=1,所以所以b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=2-1=1,=2-1=1,所以所以C C的方程为的方程为x x2 2-y-y2 2=1.=1.答案答案:x x2 2-y-y2 2=1=1222【补偿训练【补偿训练】双曲线的焦点为双曲线的焦点为(-4,0)(-4,0)和和(4,0),(4,0),且且b=2,b=2,则双曲线则双曲线的标准方程是的标准方程是_._.【解析【解析】由条件知双曲线焦点

25、在由条件知双曲线焦点在x x轴上轴上,且且c=4,b=2,c=4,b=2,所以所以a a2 2=c=c2 2-b-b2 2=4=42 2-2-22 2=12,=12,所以双曲线的标准方程为所以双曲线的标准方程为答案：答案：22xy1.12422xy1124类型三类型三 由双曲线标准方程求参数由双曲线标准方程求参数【典例【典例3 3】(1)“3(1)“3m m5”5”是是“方程方程 表示双曲线表示双曲线”的的 ()()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2)已知双曲线已知双曲线8k

26、x8kx2 2-ky-ky2 2=8=8的一个焦点为的一个焦点为(0,3),(0,3),求求k k的值的值.222xy1m5mm6【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)方程方程 表示双曲线的表示双曲线的充要条件是什么充要条件是什么?2.2.题题(2)(2)双曲线双曲线8kx8kx2 2-ky-ky2 2=8=8化为标准方程的形式是什么化为标准方程的形式是什么?【探究提示【探究提示】1.1.方程方程 表示双曲线的充要条表示双曲线的充要条件是件是(m-5)(m(m-5)(m2 2-m-6)-m-6)0.0.2.2.由由8kx8kx2 2-ky-ky2 2=8,=8,得标准形式为得标准形式为

27、222xy1m5mm6222xy1m5mm622xy1.18kk【自主解答【自主解答】(1)(1)选选A.A.方程方程 表示双曲线的表示双曲线的充要条件是充要条件是(m-5)(m(m-5)(m2 2-m-6)-m-6)0,0,即即 或或可解得可解得m m-2-2或或3 3m m5 5，故，故“3 3m m5”5”是是“方程方程 表示双曲线表示双曲线”的充分不必要条件的充分不必要条件.故选故选A.A.222xy1m5mm62m5 0,mm6 02m5 0,mm6 0,2xm522y1mm6(2)(2)由由8kx8kx2 2-ky-ky2 2=8,=8,得得由于一个焦点坐标为由于一个焦点坐标为(0

28、,3),(0,3),故方程可化为故方程可化为k k0,0,且且 得得k=-1.k=-1.22xy1,18kk22yx1,81kk819.kk【延伸探究【延伸探究】题题(2)(2)若将条件若将条件“一个焦点为一个焦点为(0,3)”(0,3)”改为改为“焦距焦距为为6”6”，求，求k k的值的值.【解析【解析】由由8kx8kx2 2-ky-ky2 2=8,=8,得得当焦点在当焦点在x x轴上时轴上时,得得 解得解得k=1.k=1.22xy1,18kkk0189,kk，当焦点在当焦点在y y轴上时轴上时,方程可化为方程可化为所以所以 解得解得k=-1,k=-1,所以所以k k的值为的值为1.1.22

29、yx181kk，k0819,kk，【误区警示【误区警示】本题易忽略焦点的位置，直接由本题易忽略焦点的位置，直接由 得得k=1,k=1,而遗漏另一情况致错而遗漏另一情况致错.189,kk【方法技巧【方法技巧】方程表示双曲线的条件及参数范围求法方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)(1)对于方程对于方程 当当mnmn00,m0,n0n0时表示焦点在时表示焦点在x x轴上的双曲线轴上的双曲线;当当m0m0时表示焦点在时表示焦点在y y轴轴上的双曲线上的双曲线.(2)(2)对于方程对于方程 则当则当mnmn00时表示双曲线时表示双曲线.且当且当m0,n0m0,n0时表示焦点在时表示焦点在x x轴上的

30、双曲线轴上的双曲线;当当m0,n0m0,n0时表示焦点在时表示焦点在y y轴上的轴上的双曲线双曲线.22xy1,mn22xy1,mn(3)(3)已知方程所代表的曲线已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时求参数的取值范围时,应先将方程应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值再根据方程中参数取值的要求的要求,建立不等式建立不等式(组组)求解参数的取值范围求解参数的取值范围.【变式训练【变式训练】已知方程已知方程kxkx2 2+y+y2 2=4=4，其中，其中k k为实数，对于不同范围为实数，对于不同范围的的k k值分别指出方程所表示的曲线类

31、型值分别指出方程所表示的曲线类型.【解题指南【解题指南】利用分类讨论的思想解决利用分类讨论的思想解决.【解析【解析】(1)(1)当当k=0k=0时，时，y=y=2 2，表示两条与，表示两条与x x轴平行的直线轴平行的直线.(2)(2)当当k=1k=1时，方程为时，方程为x x2 2+y+y2 2=4=4，表示圆心在原点，半径为，表示圆心在原点，半径为2 2的圆的圆.(3)(3)当当k0k0时，方程为时，方程为 表示焦点在表示焦点在y y轴上的双曲线轴上的双曲线.(4)(4)当当0k10k1k1时，方程为时，方程为 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆.22yx1,44k22xy1,4

32、4k22xy144k，【补偿训练【补偿训练】已知椭圆已知椭圆 与双曲线与双曲线 有相同有相同的焦点的焦点,则则a a的值是的值是()()A.B.1A.B.1或或-2-2C.1C.1或或 D.1D.1【解析【解析】选选D.D.依题意有依题意有:解得解得a=1.a=1.222xy14a22xy1a2121222a0,0a4,4aa2,【拓展类型【拓展类型】定义法求双曲线的方程定义法求双曲线的方程【备选例题【备选例题】(1)(1)与圆与圆A A：(x+5)(x+5)2 2+y+y2 2=49=49和圆和圆B:(x-5)B:(x-5)2 2+y+y2 2=1=1都外都外切的圆的圆心切的圆的圆心P P的

33、轨迹方程为的轨迹方程为_._.(2)(2)在周长为在周长为4848的的RtRtMPNMPN中，中，MPN=90MPN=90,tan,tanPMN=PMN=求以求以M M，N N为焦点，且过点为焦点，且过点P P的双曲线方程的双曲线方程.3,4【解析【解析】(1)(1)设动圆设动圆P P的半径为的半径为R R，且，且P(x,yP(x,y)，则则|PA|=R+7|PA|=R+7，|PB|=R+1|PB|=R+1，所以所以|PA|-|PB|=6|PA|-|PB|=610=|AB|10=|AB|，所以点所以点P P的轨迹是以的轨迹是以A A，B B为焦点的双曲线的右支为焦点的双曲线的右支,这里这里a=

34、3,c=5,a=3,c=5,所以所以b b2 2=16.=16.故方程为故方程为 (x3).(x3).答案：答案：(x3)(x3)22xy191622xy1916(2)(2)因为因为MPNMPN的周长为的周长为4848，且，且tanPMNtanPMN=所以设所以设|PN|=3k,|PM|=4k,|PN|=3k,|PM|=4k,则则|MN|=5k,|MN|=5k,由由3k+4k+5k=483k+4k+5k=48得得k=4.k=4.所以所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.3,4以以MNMN所在直线为所在直线为x x轴，以轴，以MNMN

35、的中点为原点建立直角坐标系，如的中点为原点建立直角坐标系，如图所示图所示.设所求双曲线方程为设所求双曲线方程为 (a(a0,b0,b0).0).由由|PM|-|PN|=4|PM|-|PN|=4得得2a=42a=4，a=2,aa=2,a2 2=4.=4.由由|MN|=20|MN|=20得得2c=20,c=10,2c=20,c=10,所以所以b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=96.=96.所以所求双曲线方程为所以所求双曲线方程为 (x(x2).2).2222xy1ab22xy1496【方法技巧【方法技巧】定义法求双曲线方程的注意点定义法求双曲线方程的注意点(1)(1)注意条件中是到定点距离

36、之差注意条件中是到定点距离之差,或是差的绝对值或是差的绝对值.(2)(2)当差为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题当差为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题.(3)(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上所给的曲线上.【巧思妙解【巧思妙解】巧设方程妙解题巧设方程妙解题 【典例【典例】设双曲线与椭圆设双曲线与椭圆 有相同的焦点，且与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点相交，一个交点A A的纵坐标为的纵坐标为4 4，则此双曲线的标准方程为，则此双曲线的标准方程为_._.22xy12736【教你审题【教你审题

37、】【常规解法【常规解法】设双曲线方程为设双曲线方程为 (a(a0,b0,b0)0)，由题意知：由题意知：c c2 2=36-27=9,c=3,=36-27=9,c=3,又又A A点的纵坐标为点的纵坐标为4,4,则横坐标为则横坐标为于是有于是有 解得解得所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为答案：答案：2222yx1ab15,2222221541,abab9,22a4,b5,22yx1.4522yx145【巧妙解法【巧妙解法】由题意设双曲线方程为由题意设双曲线方程为:(27:(2736),36),将将 代入得代入得=32,=0(=32,=0(舍舍)，所以所求双曲线方程为，所以所求双曲线方程为答案：

38、答案：22xy12736A(15,4)22yx1.4522yx145【方法对比【方法对比】常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解解法利用曲线系方程求解,解法简单，计算量小解法简单，计算量小.【教你一招【教你一招】曲线系方程的应用技巧曲线系方程的应用技巧 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为共焦点的曲线系，将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为共焦点的曲线系，利用曲线系方程求解会大大简化步骤利用曲线系方程求解会大大简化步骤.常用曲线系有常用曲线系有:(1)(1)与椭圆与椭圆 (a(ab b0)0)有共同焦点的双曲线

39、方程为有共同焦点的双曲线方程为 (b(b2 2a a2 2).).(2)(2)与双曲线与双曲线 共焦点的双曲线方程可表示为共焦点的双曲线方程可表示为 (-b(-b2 2k ka a2 2).).本题就是将方程设为本题就是将方程设为 (27(2736)36)求解求解.2222xy1ab2222xy1ab2222xy1ab22xak22y1bk22xy12736【类题试解【类题试解】已知某双曲线与双曲线已知某双曲线与双曲线 有公共焦点，有公共焦点，且过点且过点 则此双曲线的标准方程为则此双曲线的标准方程为_._.【常规解法【常规解法】设双曲线的标准方程为设双曲线的标准方程为因为因为 的焦点坐标为的

40、焦点坐标为22xy11643 2 2，2222xy1.ab22xy11642 5,0.故故a a2 2+b+b2 2=20 =20 又因为双曲线过点又因为双曲线过点 即即 由由,得得a a2 2=12,b=12,b2 2=8.=8.所以双曲线的标准方程为所以双曲线的标准方程为答案：答案：3 2,2，221841ab22xy1.12822xy1128【巧妙解法【巧妙解法】设双曲线的方程为设双曲线的方程为 (-4(-4k k16).16).将点将点 代入得代入得k=4,k=4,所以双曲线的标准方程为所以双曲线的标准方程为答案：答案：22xy116k4k(3 2,2)22xy1.12822xy1128