大一高数微分

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1、三、微分运算法则三、微分运算法则四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用二、微分的几何意义二、微分的几何意义第七节一、微分的概念一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA 0 xx面积的增量为2020)(xxxA 20)(2xxxxx 020 xA xx 02)(x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其机动 目录 上页 下

2、页 返回 结束 的微分微分,定义定义:若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy(A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理:函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy,)(0 xfA且)(xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:0)(0 xf时,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷

3、小,(4)当故当机动 目录 上页 下页 返回 结束;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量 xdy;)()()3(高阶无穷小是比yxxodyy;)(,)2(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA 定理定理:函数证证:“必要性必要性”已知)(xfy 在点 可微,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)(xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:函

4、数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy)(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在点 的可导,0 x则机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、微分的几何意义二、微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记机动 目录 上页 下页

5、 返回 结束 例如例如,求求,3xy yd02.0d2xx23xxd02.0d2xx24.0,arctanxy ydxxd112基本初等函数的微分公式(见 P136表)又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则)(d.1vu)(d.2uC(C 为常数)(d.3vu)0()(d.4vvu分别可微,)(,)(xuufy)(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.,)1

6、(ln2xey求.dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设,0)cos(sinyxxy求.dy解解:利用一阶微分形式不变性,有0)d(cos()sin(dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d)sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd)d()1(tt dcos)d()2(221xtsin1说明说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意:数学中

7、的反问题往往出现多值性.)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224数学中的反问题往往出现多值性,例如注意 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解解:已知球体体积为334RV镀铜体积为 V 在01.0,1RR时

8、体积的增量,VVVd01.01RRRR 2401.01RR)(cm13.03因此每只球需用铜约为16.113.09.8(g)用铜多少克.)cmg9.8:(3铜的密度估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,机动 目录 上页 下页 返回 结束 180 x29sin的近似值.解解:设,sin)(xxf取300 x,629x则1802918029sin6sin6cos2123)0175.0(485.0)180(例例5.求29sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 4848.029sin特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1()1(x很小)

9、x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4()1ln()5(x证明证明:令)1()(xxf得,1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 5245的近似值.解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048.3例例6.计算xx1)1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:uufufd)()(d(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差*机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题 因因为为一一元元函函数数)

10、(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答说法不对说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数与微分的区别导数与微分的区别:.)(),()(.10

11、000Rxxxxfdyxfxxf域是域是其定义其定义的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数 .)(,()()()(,)(,()()(,.200000000的的纵纵坐坐标标增增量量方方程程在在点点处处的的切切线线在在点点是是曲曲线线而而微微分分处处切切线线的的斜斜率率点点在在是是曲曲线线从从几几何何意意义义上上来来看看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习1.设函数)(xfy 的图形如下,试在图中标出的点0 x处的yy,d及,dyy 并说明其正负.yd0 xx00 xxyoy00yyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand.3x3secxxd2sin)(d.4Cx2cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P142 1-10复习题复习题 一、一、1，2；二、1 6；8